第2章 一元二次方程
答案：①__ __ ②__ __ ③__ __ ④__ __ ⑤__ __ ⑥ ⑦__ __ ⑧ ⑨ ⑩=__ __ __ __ __ __
考点1 一元二次方程及其相关概念
1．(2023·牡丹江中考)关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为( )
A．0 B．±3 C．3 D．－3
2．(2023·宿迁中考)若关于x的一元二次方程x2＋ax－6＝0的一个根是3，则a＝__ __．
3．(2023·青海中考)已知m是一元二次方程x2＋x－6＝0的一个根，则代数式m2＋m的值等于__ __.
【方法技巧】
一元二次方程的有关定义及根
(1)一元二次方程满足的四个条件：
① 整式方程
② 只含有一个未知数
③ 未知数的最高次数是2
④ 二次项系数不为0
(2)一元二次方程的项的系数包括它前面的符号，一次项的系数和常数项可以为0.
(3)一元二次方程的根能使方程左右两边相等，已知一个根，可代入确定方程中的字母系数．
考点2 一元二次方程的解法
4．(2023·丽水中考)用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方结果正确的是( )
A．(x－2)2＝5 B．(x－2)2＝3
C．(x＋2)2＝5 D．(x＋2)2＝3
5．(2023·常德中考)解方程：x2－x－2＝0.
6．(2023·齐齐哈尔中考)解方程：x(x－7)＝8(7－x).
7．(2023·兰州中考)解方程：x2＋4x－1＝0.
【方法技巧】
一元二次方程解法的适用说明
直接开平方法及因式分解法只适合特殊形式的方程，公式法适合于所有的一元二次方程，在运用公式法解方程时要确定好每项的系数．
考点3 根的判别式及根与系数的关系
8．(2023·广安中考)关于x的一元二次方程
(a＋2)x2－3x＋1＝0有实数根，则a的取值范围是( )
A．a≤且a≠－2 B．a≤
C．a<且a≠－2 D．a<
9．(2023·济宁中考)已知m，n是一元二次方程x2＋x－2 021＝0的两个实数根，则代数式m2＋2m＋n的值等于( )
A．2 019 B．2 020 C．2 021 D．2 022
10．(2023·随州中考)已知关于x的方程x2－(k＋4)·x＋4k＝0(k≠0)的两个实数根为x1，x2，若＋＝3，则k＝ ．
【加固训练】
(2023·黄石中考)已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x＋x＝12，求m的值．
【方法技巧】
根与系数的关系的应用的注意事项
1．一元二次方程根与系数的关系成立的条件
(1)二次项系数不为0.
(2)方程有实数根，即Δ≥0.
2．使用根与系数的关系的两点注意
(1)先将方程化成一般形式．
(2)在运用x1＋x2＝－ 时，不要漏“－ ”．
3.方程有两个实数根包括两种情况
(1)有两个相等的实数根．
(2)有两个不相等的实数根．
考点4 一元二次方程的实际应用
11．(2023·湘潭中考)为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得( )
A．100(1－x)2＝64 B．100(1＋x)2＝64
C．100(1－2x)＝64 D．100(1＋2x)＝64
【加固训练】
(2023·山西中考)2023年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答).
12．(2023·沈阳中考)某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列．
【加固训练】
(2023·滨州中考)某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
(1)求该商品每次降价的百分率；
(2)若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
【方法技巧】
1．求解后需要检验
(1)检验得到的解是否与实际情况相吻合．
(2)增长率大于0，降低率大于0且小于1.
2．善于挖掘题目中隐含的限制条件
如：“为了尽快消化库存”说明需要增大销量，“为了使购买者得到最大利益”说明降价幅度大等．
1．(2023·荆州中考)定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q.有[m，p]※[q，n]＝mn＋pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5＋3×4＝22.若关于x的方程[x2＋1，x]※[5－2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A．k<且k≠0 B．k≤
C．k≤且k≠0 D．k≥
2．(2023·南充中考)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
(1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．单元复习课
第2章 一元二次方程
答案：①__一__ ②__2__ ③__整式__ ④__配方__ ⑤__一般形式__ ⑥ ⑦__a＝0或b＝0__ ⑧ ⑨ ⑩=__两个不相等__ __两个相等__ __没有__
考点1 一元二次方程及其相关概念
1．(2023·牡丹江中考)关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(D)
A．0 B．±3 C．3 D．－3
【解析】(m－3)x2＋m2x＝9x＋5，
(m－3)x2＋(m2－9)x－5＝0，
由题意得：m－3≠0，m2－9＝0，解得m＝－3.
2．(2023·宿迁中考)若关于x的一元二次方程x2＋ax－6＝0的一个根是3，则a＝__－1__．
【解析】把x＝3代入方程x2＋ax－6＝0得9＋3a－6＝0，解得a＝－1.
3．(2023·青海中考)已知m是一元二次方程x2＋x－6＝0的一个根，则代数式m2＋m的值等于__6__.
【解析】将x＝m代入方程x2＋x－6＝0，
得m2＋m－6＝0，即m2＋m＝6.
【方法技巧】
一元二次方程的有关定义及根
(1)一元二次方程满足的四个条件：
① 整式方程
② 只含有一个未知数
③ 未知数的最高次数是2
④ 二次项系数不为0
(2)一元二次方程的项的系数包括它前面的符号，一次项的系数和常数项可以为0.
(3)一元二次方程的根能使方程左右两边相等，已知一个根，可代入确定方程中的字母系数．
考点2 一元二次方程的解法
4．(2023·丽水中考)用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方结果正确的是(D)
A．(x－2)2＝5 B．(x－2)2＝3
C．(x＋2)2＝5 D．(x＋2)2＝3
【解析】方程x2＋4x＋1＝0，
整理得：x2＋4x＝－1，
配方得：(x＋2)2＝3.
5．(2023·常德中考)解方程：x2－x－2＝0.
【解析】因式分解得：(x－2)(x＋1)＝0，
可得x－2＝0或x＋1＝0，
解得x1＝2，x2＝－1.
6．(2023·齐齐哈尔中考)解方程：x(x－7)＝8(7－x).
【解析】∵x(x－7)＝8(7－x)，
∴x(x－7)＋8(x－7)＝0，
∴(x－7)(x＋8)＝0，∴x＝7或x＝－8.
7．(2023·兰州中考)解方程：x2＋4x－1＝0.
【解析】∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，∴x＝－2±，
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
【方法技巧】
一元二次方程解法的适用说明
直接开平方法及因式分解法只适合特殊形式的方程，公式法适合于所有的一元二次方程，在运用公式法解方程时要确定好每项的系数．
考点3 根的判别式及根与系数的关系
8．(2023·广安中考)关于x的一元二次方程
(a＋2)x2－3x＋1＝0有实数根，则a的取值范围是(A)
A．a≤且a≠－2 B．a≤
C．a<且a≠－2 D．a<
【解析】∵关于x的一元二次方程(a＋2)x2－3x＋1＝0有实数根，∴Δ≥0且a＋2≠0，
∴(－3)2－4(a＋2)×1≥0且a＋2≠0，
解得a≤且a≠－2.
9．(2023·济宁中考)已知m，n是一元二次方程x2＋x－2 021＝0的两个实数根，则代数式m2＋2m＋n的值等于(B)
A．2 019 B．2 020 C．2 021 D．2 022
【解析】∵m是一元二次方程x2＋x－2 021＝0的实数根，
∴m2＋m－2 021＝0，
∴m2＋m＝2 021，
∴m2＋2m＋n＝m2＋m＋m＋n＝2 021＋m＋n，
∵m，n是一元二次方程x2＋x－2 021＝0的两个实数根，
∴m＋n＝－1，
∴m2＋2m＋n＝2 021－1＝2 020.
10．(2023·随州中考)已知关于x的方程x2－(k＋4)·x＋4k＝0(k≠0)的两个实数根为x1，x2，若＋＝3，则k＝．
【解析】∵关于x的方程x2－(k＋4)x＋4k＝0(k≠0)的两个实数根为x1，x2，
∴x1＋x2＝k＋4，x1·x2＝4k，
∴＋＝＝＝3.
解得k＝.
经检验，k＝是原方程的解．
【加固训练】
(2023·黄石中考)已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x＋x＝12，求m的值．
【解析】(1)根据题意得Δ＝(2m)2－4(m2＋m)≥0，解得m≤0.
故m的取值范围是m≤0；
(2)根据题意得x1＋x2＝－2m，x1x2＝m2＋m，
∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝12，
∴(－2m)2－2(m2＋m)＝12，
即m2－m－6＝0，
解得m1＝－2，m2＝3(舍去).
故m的值为－2.
【方法技巧】
根与系数的关系的应用的注意事项
1．一元二次方程根与系数的关系成立的条件
(1)二次项系数不为0.
(2)方程有实数根，即Δ≥0.
2．使用根与系数的关系的两点注意
(1)先将方程化成一般形式．
(2)在运用x1＋x2＝－ 时，不要漏“－ ”．
3.方程有两个实数根包括两种情况
(1)有两个相等的实数根．
(2)有两个不相等的实数根．
考点4 一元二次方程的实际应用
11．(2023·湘潭中考)为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得(A)
A．100(1－x)2＝64 B．100(1＋x)2＝64
C．100(1－2x)＝64 D．100(1＋2x)＝64
【解析】根据题意得：100(1－x)2＝64.
【加固训练】
(2023·山西中考)2023年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答).
【解析】设这个最小数为x，则最大数为(x＋8)，
依题意得：x(x＋8)＝65，
整理得：x2＋8x－65＝0，
解得x1＝5，x2＝－13(不合题意，舍去).
答：这个最小数为5.
12．(2023·沈阳中考)某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列．
【解析】设增加了x行，则增加的列数为x，
根据题意，得：(6＋x)(8＋x)－6×8＝51，
整理，得x2＋14x－51＝0，
解得x1＝3，x2＝－17(舍).
答：增加了3行3列．
【加固训练】
(2023·滨州中考)某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
(1)求该商品每次降价的百分率；
(2)若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
【解析】(1)设该商品每次降价的百分率为x，
60(1－x)2＝48.6，
解得x1＝0.1，x2＝1.9(舍去).
答：该商品每次降价的百分率是10%；
(2)设第一次降价售出a件，则第二次降价售出(20－a)件，
由题意可得，[60(1－10%)－40]a＋(48.6－40)×(20－a)≥200，
解得a≥5，
∵a为整数，
∴a的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．
【方法技巧】
1．求解后需要检验
(1)检验得到的解是否与实际情况相吻合．
(2)增长率大于0，降低率大于0且小于1.
2．善于挖掘题目中隐含的限制条件
如：“为了尽快消化库存”说明需要增大销量，“为了使购买者得到最大利益”说明降价幅度大等．
1．(2023·荆州中考)定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q.有[m，p]※[q，n]＝mn＋pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5＋3×4＝22.若关于x的方程[x2＋1，x]※[5－2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是(C)
A．k<且k≠0 B．k≤
C．k≤且k≠0 D．k≥
【解析】根据题意得k(x2＋1)＋(5－2k)x＝0，
整理得kx2＋(5－2k)x＋k＝0，
因为方程有两个实数解，
所以k≠0且Δ＝(5－2k)2－4k2≥0，解得k≤且k≠0.
2．(2023·南充中考)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
(1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．
【解析】(1)∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4×(k2＋k)＝1>0，
∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)∵x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，即(x－k)[x－(k＋1)]＝0，
解得x＝k或x＝k＋1.
∴一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0的两根为k，k＋1，
∴＝＝1＋或＝＝1－，
如果1＋为整数，则k为1的约数，
∴k＝±1，
如果1－为整数，则k＋1为1的约数，
∴k＋1＝±1，
则k＝0或－2.
∴整数k的所有可能的值为±1，0或－2.
