三十一 解直角三角形的应用(第2课时)
1.(2023·泰安中考)如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑来根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为(参考数据：≈1.732)( )
A．136.6米 B．86.7米
C．186.7米 D．86.6米
2.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为____km( )
A．30＋30 B．30＋10
C．10＋30 D．30
3．(2023·山西中考)太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比).王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为__ __米．
4．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为__ __海里．
5.如图，已知点C与某建筑物底端B相距306 m(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195 m至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，求建筑物AB的高度约为多少？(精确到0.1 m，参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，
tan 20°≈0.364)
【加固训练】
(2023·巴中中考)学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12 m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A，B，C，D在同一平面上．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51，≈1.73.)
(1)求灯杆AB的高度；
(2)求CD的长度．
6.(2023·岳阳中考)某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80 m，坡面AB的坡度i＝1∶0.7(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°.
(1)求山脚A到河岸E的距离；
(2)若在此处建桥，试求河宽EF的长度．(结果精确到0.1 m)
(参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)
7.因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临摹亭和P2处的遗爱亭都在东北方向，当游船向正东方向行驶600 m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向，当游船继续向正东方向行驶400 m到达C处时，游客发现临摹亭在北偏西60°方向．
(1)求A处到临摹亭P1处的距离；
(2)求临摹亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离．(计算结果保留根号)三十 解直角三角形的应用(第1课时)
知识点 仰角、俯角
1．(2023·衡阳中考)如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为(sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75)(D)
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，∵sin ∠BAC＝＝
sin 37°≈0.6＝，
∴AB≈BC＝×6＝10(米).
2．小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在D处测得顶端P的仰角∠PDC＝α，D到旗杆的距离CD＝5米，测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度表示为(A)
A．(5tan α＋1)米 B．(5sin α＋1)米
C．(5cos α＋1)米 D．(＋1)米
【解析】根据题意可知：四边形ABDC是矩形，
∴∠PCD＝90°，AC＝BD＝1米，
在Rt△PCD中，PC＝CD tan α＝5tan α，
∴PA＝PC＋AC＝(5tan α＋1)米．
3．(2023·黄冈中考)如图，建筑物BC上有一高为8 m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为__24.2__m.(结果保留小数点后一位)(参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
【解析】在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，则BC＝CD，设BC＝CD＝x，则AC＝x＋8，
在Rt△ACD中，tan ∠ADC＝＝，则x＋8＝x·tan 53°，
∴x≈24.2(m)，故建筑物BC的高约为24.2m.
【加固训练】
如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为__12__米．(结果保留根号)
【解析】根据题意可知：
在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，
∴CD＝AD·tan 30°＝9×＝3(米)，
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，
∴BD＝AD·tan 60°＝9(米)，
∴BC＝CD＋BD＝3＋9＝12(米).
4．(2023·新疆生产建设兵团中考)如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15 m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.41，≈1.73)
【解析】在Rt△BCD中，BC＝DC·tan 30°＝15×＝5≈5×1.73＝8.65(m)，
在Rt△ACD中，AC＝DC·tan 37°≈15×0.75＝11.25(m)，
∴AB＝AC－BC＝11.25－8.65＝2.6(m).
答：广告牌AB的高度为2.6 m．
5.(2023·自贡中考)在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．(结果精确到0.1，参考数据：tan 37°≈0.75，tan 53°≈1.33，≈1.73)
【解析】由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，
∴tan ∠BDA＝＝≈1.33，
∴AD≈≈18.05(米).
∵tan ∠CAD＝tan 30°＝＝＝，
∴CD＝18.05×≈10.4(米).
故办公楼的高度约为10.4米．
6.小明同学在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知他的目高AB为1.5米，他先站在A处看路灯顶端O的仰角为30°，向前走3米后站在C处，此时看灯顶端O的仰角为60°(≈1.732)，则灯顶端O到地面的距离约为(B)
A．3.2米 B．4.1米
C．4.7米 D．5.4米
【解析】过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F.
设DF＝x米，则BF＝(3＋x)米，
∵tan 60°＝，∴OF＝x米，
∵tan 30°＝，∴OF＝(3＋x)·，
∴x＝(3＋x)，
∴x＝1.5，∴OF＝1.5×≈2.60(米)，
∴OE≈2.60＋1.5＝4.1(米).
【加固训练】
五一期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角为30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为____米．(≈1.41，≈1.73)(C)
A．14 B．15 C．19 D．20
【解析】作BF⊥DE于点F，AH⊥BF于点H，∵∠EBF＝45°，∴∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝DF＝8×＝4(米)，
在Rt△ECF中，tan ∠ECF＝，则CF＝EF，
在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，
∴BF＝EF，由题意得，CF－BF＝EF－EF＝10，
解得，EF＝5＋5(米)，则DE＝EF＋DF＝5＋5＋4≈19(米).
7．(2023·黄石中考)如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得BC＝5米，CD＝4米，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为45°，则电线杆AB的高度约为__10.5__米．
(参考数据：≈1.414，≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数)
【解析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，∵∠BCD＝150°，
∴∠DCF＝30°，又CD＝4米，
∴DF＝2米，CF＝CD·cos 30°＝2(米)，
由题意得∠E＝45°，∴EF＝DF＝2米，
∴BE＝BC＋CF＋EF＝5＋2＋2
＝(7＋2)米，
∴AB＝BE＝7＋2≈10.5(米).
8.某数学活动小组要测量商场外部楼面一块电子显示屏的高度，在正对电子显示屏的地方选一观测点C，测得电子显示屏顶端A的仰角为75°，底端B的仰角是60°，测角仪支架CD到楼的距离是6米，则电子显示屏的高度AB＝__12米__.
【解析】
作CF⊥AE于点F，
在Rt△BCF中，∠BCF＝60°，cos ∠BCF＝，
∴BC＝＝12(米)，
∵∠ACF＝75°，∴∠ACB＝15°，∠CAB＝∠CBF－∠ACB＝15°，∴∠ACB＝∠CAB，
∴AB＝BC＝12(米).
9．(2023·烟台中考)数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为__14__米．(结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)
【解析】过O点作OC⊥AB，垂足为C，
∵当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，
∴AC＝45米，∠CAO＝30°，
∴OC＝AC·tan 30°＝45×＝15(米)，
∴旗杆的高度＝40－15≈14(米).
10．(2023·眉山中考)“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？(精确到0.1米，参考数据：sin 24°≈，cos 24°≈，tan 24°≈)
【解析】如图所示：过C作CF⊥AD于F，
则AF＝CE，
由题意得：AB＝20米，∠AEC＝90°，∠CAE＝24°，∠CBE＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，∴BE＝CE，
设BE＝CE＝x米，则AF＝x米，
在Rt△ACE中，tan ∠CAE＝＝tan 24°≈，∴AE＝x米，
∵AE－BE＝AB，∴x－x＝20，解得：x≈16.4，∴AF≈16.4(米)，
∴DF＝AD－AF＝60－16.4＝43.6(米)，
即这栋建筑物的高度为43.6米．
【加固训练】
小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B处，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F，G，D，B在同一水平直线上，且EF，CD，AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB.(小平面镜的大小忽略不计)
【解析】如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5(米).
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5.
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°.
由题意，易知∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴＝，
即＝，
解得BD＝17.5(米)，
∴AB＝17.5＋0.5＝18(米).
答：这棵古树的高度AB为18米． 解直角三角形的应用(第1课时)
知识点 仰角、俯角
1．(2023·衡阳中考)如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为(sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75)( )
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
2．小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在D处测得顶端P的仰角∠PDC＝α，D到旗杆的距离CD＝5米，测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度表示为( )
A．(5tan α＋1)米 B．(5sin α＋1)米
C．(5cos α＋1)米 D．(＋1)米
3．(2023·黄冈中考)如图，建筑物BC上有一高为8 m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为__ __m.(结果保留小数点后一位)(参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
【加固训练】
如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为__ __米．(结果保留根号)
4．(2023·新疆生产建设兵团中考)如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15 m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.41，≈1.73)
5.(2023·自贡中考)在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．(结果精确到0.1，参考数据：tan 37°≈0.75，tan 53°≈1.33，≈1.73)
6.小明同学在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知他的目高AB为1.5米，他先站在A处看路灯顶端O的仰角为30°，向前走3米后站在C处，此时看灯顶端O的仰角为60°(≈1.732)，则灯顶端O到地面的距离约为( )
A．3.2米 B．4.1米
C．4.7米 D．5.4米
【加固训练】
五一期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角为30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为____米．(≈1.41，≈1.73)( )
A．14 B．15 C．19 D．20
7．(2023·黄石中考)如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得BC＝5米，CD＝4米，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为45°，则电线杆AB的高度约为__ __米．
(参考数据：≈1.414，≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数)
8.某数学活动小组要测量商场外部楼面一块电子显示屏的高度，在正对电子显示屏的地方选一观测点C，测得电子显示屏顶端A的仰角为75°，底端B的仰角是60°，测角仪支架CD到楼的距离是6米，则电子显示屏的高度AB＝__ __.
9．(2023·烟台中考)数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为__ __米．(结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)
10．(2023·眉山中考)“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？(精确到0.1米，参考数据：sin 24°≈，cos 24°≈，tan 24°≈)
【加固训练】
小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B处，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F，G，D，B在同一水平直线上，且EF，CD，AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB.(小平面镜的大小忽略不计)三十一 解直角三角形的应用(第2课时)
1.(2023·泰安中考)如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑来根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为(参考数据：≈1.732)(A)
A．136.6米 B．86.7米
C．186.7米 D．86.6米
【解析】如图，作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F.
在Rt△ADH中，AD＝130米，DH∶AH＝1∶2.4，∴DH＝50米，
∵四边形DHBF是矩形，∴BF＝HD＝50米，
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴EF＝BF＝50米，在Rt△EFC中，FC＝
EF·tan 60°，
∴CF＝50×≈86.6(米)，
∴BC＝BF＋CF＝136.6(米).
2.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为____km(B)
A．30＋30 B．30＋10
C．10＋30 D．30
【解析】根据题意得，∠CAB＝65°－20°＝45°，∠ACB＝40°＋20°＝60°，AB＝30 km，
过点B作BE⊥AC于点E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠BAE＝45°，AB＝30 km，∴AE＝BE＝AB＝30 km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴＝tan 60°，∴CE＝10 km，
∴AC＝AE＋CE＝(30＋10)km，
∴A，C两港之间的距离为(30＋10)km.
3．(2023·山西中考)太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比).王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为____米．
【解析】由题意得：∠ACB＝90°，AB＝0.5×40＝20(米)，∵扶梯AB的坡度i＝5∶12＝，∴设BC＝5a米，则AC＝12a米，
由勾股定理得：(5a)2＋(12a)2＝202，
解得：a＝(负值已舍去)，∴BC＝米．
4．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为__20__海里．
【解析】如图，过点A作AC⊥BD于点C，
根据题意可知：∠BAC＝∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，AB＝20，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝AB·sin 45°＝20×＝10，在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，
∴AD＝2AC＝20(海里).
5.如图，已知点C与某建筑物底端B相距306 m(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195 m至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，求建筑物AB的高度约为多少？(精确到0.1 m，参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，
tan 20°≈0.364)
【解析】作DE⊥BC于点E，作AF⊥DE于点F，如图，设DE＝x m，CE＝
2.4x m，
由勾股定理，得x2＋(2.4x)2＝1952，
解得x＝75，∴DE＝75 m，CE＝2.4x＝180 m，
∴EB＝BC－CE＝306－180＝126(m).
∵AF∥DG，∴∠1＝∠ADG＝20°.
∵AF＝EB＝126 m，tan ∠1＝＝tan 20°≈0.364，
∴DF≈0.364AF＝0.364×126≈45.9(m)，
∴AB＝FE＝DE－DF＝75－45.9＝29.1 m．
【加固训练】
(2023·巴中中考)学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12 m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A，B，C，D在同一平面上．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51，≈1.73.)
(1)求灯杆AB的高度；
(2)求CD的长度．
【解析】(1)延长BA交CG于点E，则BE⊥CG，在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12 m，∴AE＝AC＝×12＝6(m)，
CE＝AC·cos ∠ACE＝12×＝6(m)，
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE·tan ∠BCE＝6×＝18(m)，
∴AB＝BE－AE＝18－6＝12(m)；
(2)在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴CD＝DE－CE＝－6≈24．9(m).
6.(2023·岳阳中考)某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80 m，坡面AB的坡度i＝1∶0.7(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°.
(1)求山脚A到河岸E的距离；
(2)若在此处建桥，试求河宽EF的长度．(结果精确到0.1 m)
(参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)
【解析】(1)在Rt△ABC中，BC＝80 m，
∵AB的坡度i＝1∶0.7，∴＝，
∴＝，∴AC＝56 m，在Rt△BCE中，BC＝80 m，∠BEC＝∠DBE＝45°，
∴CE＝BC＝80 m，
∴AE＝CE－AC＝80－56＝24(m)，
答：山脚A到河岸E的距离为24 m；
(2)在Rt△BCF中，BC＝80 m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan ∠BFC＝，∴≈0.6，
∴CF≈133.33 m，
∴EF＝CF－CE＝133.33－80＝53.33≈53.3(m)，
答：河宽EF的长度约为53.3 m．
7.因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临摹亭和P2处的遗爱亭都在东北方向，当游船向正东方向行驶600 m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向，当游船继续向正东方向行驶400 m到达C处时，游客发现临摹亭在北偏西60°方向．
(1)求A处到临摹亭P1处的距离；
(2)求临摹亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离．(计算结果保留根号)
【解析】(1)作P1M⊥AC于M，设P1M＝x，
在Rt△P1AM中，∵∠P1AB＝45°，
∴AM＝P1M＝x，
在Rt△P1CM中，∵∠P1CA＝30°，
∴MC＝P1M＝x，
∵AC＝1 000，∴x＋x＝1 000，
解得x＝500(－1)，∴P1M＝500(－1)m，
∴P1A＝＝500(－)m，故A处到临摹亭P1处的距离为500(－)m.
(2)作BN⊥AP2于N，
∵∠P2AB＝45°，∠P2BA＝75°，
∴∠P2＝60°，在Rt△ABN中，
∵∠P1AB＝45°，AB＝600 m，
∴BN＝AN＝AB＝300，∴P1N＝500(－)－300＝500－800，
在Rt△P2BN中，∵∠P2＝60°，
∴P2N＝BN＝×300＝100，
∴P1P2＝100－(500－800)＝800－400.
故临摹亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离是(800－400)m.
