三十二 总体平均数与方差的估计
知识点1 用样本平均数估计总体平均数
1．“创建卫生城市领导小组”的成员，随机调查了“文明小区”10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下(单位：只)：10，6，9，8，7，5，11，10，7，9.利用上述数据估计该小区1 000户家庭一周内需要环保方便袋约(C)
A．7 200只 B．7 800只
C．8 200只 D．9 800只
【解析】这10户家庭一周内使用环保方便袋的数量的平均数为×(10＋6＋9＋8＋7＋5＋11＋10＋7＋9)＝8.2(只)，
∴估计该小区1 000户家庭一周内需要环保方便袋约1 000×8.2＝8 200(只).
2．某班为了解同学们一周在校参加体育锻炼的时间，随机调查了10名同学，得到如表数据：
锻炼时间(小时) 5 6 7 8
人数 1 4 3 2
则估计该班同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数是__6.6__小时．
【解析】这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数是＝6.6(小时)，故估计该班同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数是6.6小时．
3．小明家搬入新楼，为了估计一下该月的用水量(按30天计算)，小明对本月头6天的水表示数进行了记录，记录如表：
日期 1 2 3 4 5 6
水表读
数(吨) 15.26 15.50 15.80 16.12 16.59 17.04
而在搬家之前由于搞房屋装修等已经用了15吨水．求：
(1)这6天每天的用水量；
(2)这6天的平均日用水量；
(3)这个月大约需要用多少吨水．
【解析】(1)第一天：0.26吨； 第二天：0.24吨； 第三天：0.30吨； 第四天：0.32吨；
第五天：0.47吨； 第六天：0.45吨；
(2)(17.04－15)÷6＝0.34(吨)；
(3)0.34×30＝10.2(吨).
知识点2 用样本方差估计总体方差
4．(2023·柳州中考)某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分及方差s2如表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是(A)
甲 乙 丙
91 91 91
s2 6 24 54
A．甲 B．乙
C．丙 D．无法确定
【解析】∵s＝6，s＝24，s＝54，且平均数相等，∴s＜s＜s，
∴这三名同学数学成绩最稳定的是甲．
5．(2023·滨州中考)某芭蕾舞团新进一批女演员，她们的身高及其对应人数情况如表所示：
身高(cm) 163 164 165 166 168
人数 1 2 3 1 1
那么，这批女演员身高的方差为__2__cm2__．
【解析】＝
＝165(cm)，
s2＝×[(163－165)2×1＋(164－165)2×2＋(165－165)2×3＋(166－165)2×1＋(168－165)2×1]＝2(cm2).
6．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：
甲 3 1 2 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 3 1 3 2 2 1 2 1
(1)计算甲、乙两台机床每天出次品的平均数；
(2)若出次品的波动比较小的机床为性能较好的机床，试判断哪台机床性能更好，并说明理由．
【解析】(1)甲＝＝2，
乙＝＝2；
(2)乙机床的性能更好，理由如下：
s＝＝1.2，
s＝＝0.6，
∵s＜s，∴乙机床的性能比甲机床的性能好．
7．(2023·河池中考)甲、乙、丙、丁4名同学参加跳远测试各10次，他们的平均成绩及其方差如表：
测试者 平均成绩(单位：m) 方差
甲 6.2 0.32
乙 6.0 0.58
丙 5.8 0.12
丁 6.2 0.25
若从其中选出1名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会，则应选(D)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解析】∵甲和丁的平均数比乙和丙的平均数大，∴甲和丁的成绩较好，
∵s＜s，∴丁的成绩比甲要稳定，∴这四位同学中，成绩较好，且发挥稳定的是丁．
8．为了保护环境，环保部门每天都要对重点城市的空气污染情况进行监控和预报，当污染指数w≤50时，空气质量为优；当污染指数50＜w≤100时，空气质量为良；当污染指数100＜w≤150时，空气质量为轻度污染．现随机抽取某城市30天的空气质量情况统计如表：
污染指数(w) 40 70 90 110 120 140
天数(t) 3 8 9 6 3 1
估计这个城市一年(365天)中，空气质量达到良以及良以上的天数是__243天__．
【解析】根据题意得：×365≈243(天).
所以空气质量达到良以及良以上的天数是243天．
9．(2023·湘潭中考)“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平为世界粮食安全作出了杰出贡献．全球共有40多个国家引种杂交水稻，中国境外种植面积达800万公顷．某村引进了甲、乙两种超级杂交水稻品种，在条件(肥力、日照、通风……)不同的6块试验田中同时播种并核定亩产，统计结果为：甲＝1 042 kg/亩，s＝6.5，乙＝1 042 kg/亩，s＝1.2，则__乙__品种更适合在该村推广．(填“甲”或“乙”)
【解析】∵甲＝1 042 kg/亩，乙＝1 042 kg/亩，s＝6.5，s＝1.2，∴甲＝乙，s＞s，
∴产量稳定，适合推广的品种为乙．
【加固训练】
1.(2023·青岛中考)已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为s，s，则s__＞__s(填“＞” “＝” “＜”).
【解析】甲射击的成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10，
乙射击的成绩为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，
则甲＝×(6＋7×3＋8×2＋9×3＋10)＝8，
乙＝×(6＋7×2＋8×4＋9×2＋10)＝8，
∴s＝×[(6－8)2＋3×(7－8)2＋2×(8－8)2＋3×(9－8)2＋(10－8)2]
＝×(4＋3＋3＋4)＝1.4；
s＝×[(6－8)2＋2×(7－8)2＋4×(8－8)2＋2×(9－8)2＋(10－8)2]
＝×(4＋2＋2＋4)＝1.2；
∵1.4＞1.2，∴s＞s.
2．(2024·邵阳期末)某校开展“诵读诗词经典，弘扬传统文化”诗词诵读活动，为了解八年级学生在这次活动中的诗词诵读情况，随机抽取了30名八年级学生，调查他们一周诗词诵读数量的结果如表所示：
一周诗词诵读数量(首) 2 3 4 5 6 7
人数(人) 1 3 5 9 10 2
(1)计算这30人平均每人一周诵读诗词多少首；
(2)该校八年级共有600名学生参加了这次活动，在这次活动中，估计八年级学生中一周诵读诗词6首以上(含6首)的学生有多少人．
【解析】(1)(2＋3×3＋4×5＋5×9＋6×10＋7×2)÷30＝5(首)，
答：这30人平均每人一周诵读诗词5首．
(2)600×＝240(人).
答：估计八年级600名学生中一周诵读诗词6首以上(含6首)的学生有240人．
3．(2023·桂林中考)某班为了从甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加学校的投篮比赛，对甲、乙两人进行了5次投篮试投比赛，每人每次投球10个．两人5次试投的成绩统计图如图所示：
(1)甲同学5次试投进球个数的众数是多少？
(2)求乙同学5次试投进球个数的平均数；
(3)不需计算，请根据折线统计图判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定．
(4)学校投篮比赛的规则是每人投球10个，记录投进球的个数．由往届投篮比赛的结果推测，投进8个球即可获奖．请你根据以上信息，从甲、乙两名同学中推荐一名同学参加学校的投篮比赛，并说明推荐的理由．
【解析】(1)甲同学5次试投进球的个数分别为：8，7，8，9，8.∴众数是8；
(2)乙同学5次试投进球的个数分别为：7，10，6，7，10.
∴乙＝＝8；
(3)由折线统计图可得，
乙的波动大，甲的波动小，故s＞s，
∴甲同学的投篮成绩更加稳定；
(4)推荐甲同学参加学校的投篮比赛，
理由：由统计图可知，甲同学5次试投进球的个数分别为：8，7，8，9，8.
乙同学5次试投进球的个数分别为：7，10，6，7，10.
∴甲获奖的机会大，而且s＞s，甲同学的投篮成绩更加稳定，
∴推荐甲同学参加学校的投篮比赛．
(选做)
10．(2023·恩施中考)九(1)班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成不完整的统计图表，如图所示，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
平均数 中位数 众数 方差
甲 175 a b 93.75
乙 175 175 180，175，170 c
(1)求a，b的值；
(2)若九(1)班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；
(3)根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲、乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优．
【解析】(1)甲的成绩从小到大排列为：160，165，165，175，180，185，185，185，
∴甲的中位数a＝＝177.5，
∵185出现了3次，出现的次数最多，
∴众数b是185，故a＝177.5，b＝185；
(2)应选乙，
理由：乙的方差为：s＝×[2×(175－175)2＋2×(180－175)2＋2×(170－175)2＋(185－175)2＋(165－175)2]＝37.5，
∵s＝37.5<93.75＝s，∴乙的成绩稳定．
(3)①从平均数和方差相结合看，乙的成绩比较稳定；
②从平均数和中位数相结合看，甲的成绩好些．三十二 总体平均数与方差的估计
知识点1 用样本平均数估计总体平均数
1．“创建卫生城市领导小组”的成员，随机调查了“文明小区”10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下(单位：只)：10，6，9，8，7，5，11，10，7，9.利用上述数据估计该小区1 000户家庭一周内需要环保方便袋约( )
A．7 200只 B．7 800只
C．8 200只 D．9 800只
2．某班为了解同学们一周在校参加体育锻炼的时间，随机调查了10名同学，得到如表数据：
锻炼时间(小时) 5 6 7 8
人数 1 4 3 2
则估计该班同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数是__ __小时．
3．小明家搬入新楼，为了估计一下该月的用水量(按30天计算)，小明对本月头6天的水表示数进行了记录，记录如表：
日期 1 2 3 4 5 6
水表读
数(吨) 15.26 15.50 15.80 16.12 16.59 17.04
而在搬家之前由于搞房屋装修等已经用了15吨水．求：
(1)这6天每天的用水量；
(2)这6天的平均日用水量；
(3)这个月大约需要用多少吨水．
知识点2 用样本方差估计总体方差
4．(2023·柳州中考)某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分及方差s2如表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是( )
甲 乙 丙
91 91 91
s2 6 24 54
A．甲 B．乙
C．丙 D．无法确定
5．(2023·滨州中考)某芭蕾舞团新进一批女演员，她们的身高及其对应人数情况如表所示：
身高(cm) 163 164 165 166 168
人数 1 2 3 1 1
那么，这批女演员身高的方差为__ __ __．
6．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：
甲 3 1 2 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 3 1 3 2 2 1 2 1
(1)计算甲、乙两台机床每天出次品的平均数；
(2)若出次品的波动比较小的机床为性能较好的机床，试判断哪台机床性能更好，并说明理由．
7．(2023·河池中考)甲、乙、丙、丁4名同学参加跳远测试各10次，他们的平均成绩及其方差如表：
测试者 平均成绩(单位：m) 方差
甲 6.2 0.32
乙 6.0 0.58
丙 5.8 0.12
丁 6.2 0.25
若从其中选出1名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会，则应选( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．为了保护环境，环保部门每天都要对重点城市的空气污染情况进行监控和预报，当污染指数w≤50时，空气质量为优；当污染指数50＜w≤100时，空气质量为良；当污染指数100＜w≤150时，空气质量为轻度污染．现随机抽取某城市30天的空气质量情况统计如表：
污染指数(w) 40 70 90 110 120 140
天数(t) 3 8 9 6 3 1
估计这个城市一年(365天)中，空气质量达到良以及良以上的天数是__ __．
9．(2023·湘潭中考)“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平为世界粮食安全作出了杰出贡献．全球共有40多个国家引种杂交水稻，中国境外种植面积达800万公顷．某村引进了甲、乙两种超级杂交水稻品种，在条件(肥力、日照、通风……)不同的6块试验田中同时播种并核定亩产，统计结果为：甲＝1 042 kg/亩，s＝6.5，乙＝1 042 kg/亩，s＝1.2，则__ __品种更适合在该村推广．(填“甲”或“乙”)
【加固训练】
1.(2023·青岛中考)已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为s，s，则s__ __s(填“＞” “＝” “＜”).
2．(2024·邵阳期末)某校开展“诵读诗词经典，弘扬传统文化”诗词诵读活动，为了解八年级学生在这次活动中的诗词诵读情况，随机抽取了30名八年级学生，调查他们一周诗词诵读数量的结果如表所示：
一周诗词诵读数量(首) 2 3 4 5 6 7
人数(人) 1 3 5 9 10 2
(1)计算这30人平均每人一周诵读诗词多少首；
(2)该校八年级共有600名学生参加了这次活动，在这次活动中，估计八年级学生中一周诵读诗词6首以上(含6首)的学生有多少人．
3．(2023·桂林中考)某班为了从甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加学校的投篮比赛，对甲、乙两人进行了5次投篮试投比赛，每人每次投球10个．两人5次试投的成绩统计图如图所示：
(1)甲同学5次试投进球个数的众数是多少？
(2)求乙同学5次试投进球个数的平均数；
(3)不需计算，请根据折线统计图判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定．
(4)学校投篮比赛的规则是每人投球10个，记录投进球的个数．由往届投篮比赛的结果推测，投进8个球即可获奖．请你根据以上信息，从甲、乙两名同学中推荐一名同学参加学校的投篮比赛，并说明推荐的理由．
(选做)
10．(2023·恩施中考)九(1)班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成不完整的统计图表，如图所示，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
平均数 中位数 众数 方差
甲 175 a b 93.75
乙 175 175 180，175，170 c
(1)求a，b的值；
(2)若九(1)班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；
(3)根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲、乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优．
