第2章 一元二次方程
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．若方程(m－1)xm2＋1＋3x＋5＝0是一元二次方程，则m的值等于(C)
A．±1 B．1 C．－1 D．0
【解析】由题意得，解得m＝－1.
2．下列方程中，有两个不相等实数根的是(A)
A．x2－2x－1＝0 B．x2－2x＋3＝0
C．x2＝2x－3 D．x2－4x＋4＝0
【解析】A.Δ＝b2－4ac＝4＋4＝8>0，方程有两个不相等的实数根；
B．Δ＝b2－4ac＝4－12＝－8＜0，方程没有实数根；
C．Δ＝b2－4ac＝12－12＝0，方程有两个相等的实数根；
D．Δ＝b2－4ac＝16－16＝0，方程有两个相等的实数根．
3．(2023·雅安中考)若直角三角形的两边长分别是方程x2－7x＋12＝0的两根，则该直角三角形的面积是(D)
A．6 B．12
C．12或 D．6或
【解析】∵x2－7x＋12＝0，
∴x＝3或x＝4.
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝.
4．(2023·海南中考)用配方法解方程x2－6x＋5＝0，配方后所得的方程是(D)
A．(x＋3)2＝－4 B．(x－3)2＝－4
C．(x＋3)2＝4 D．(x－3)2＝4
【解析】把方程x2－6x＋5＝0的常数项移到等号的右边，得到x2－6x＝－5，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2－6x＋9＝－5＋9，
配方得(x－3)2＝4.
5．(2023·云南中考)若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(D)
A．a＜1 B．a≤1
C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
【解析】∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝b2－4ac＝22－4×a×1＝4－4a>0，解得a＜1.
6．(2024·临沂期末)已知a是方程x2－2 022x＋1＝0的一个根，则a2－2 021a＋的值为(C)
A． B．2 022
C．2 021 D．无法计算
【解析】∵a是方程x2－2 022x＋1＝0的一个根，
∴a2－2 022a＋1＝0，
即a2＋1＝2 022a，a2＝2 022a－1，
则a2－2 021a＋＝a－1＋＝－1＝2 022－1＝2 021.
7．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有______飞机场(B)
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解析】设这个航空公司有n个飞机场，
根据题意得＝10，
解得n＝5或n＝－4(舍去).
8．(2023·武汉中考)已知a，b是方程x2－3x－5＝0的两根，则代数式2a3－6a2＋b2＋7b＋1的值是(D)
A．－25 B．－24 C．35 D．36
【解析】∵a，b是方程x2－3x－5＝0的两根，
∴a2－3a－5＝0，
b2－3b－5＝0，a＋b＝3，
∴a2－3a＝5，b2＝3b＋5，
∴2a3－6a2＋b2＋7b＋1＝2a(a2－3a)＋3b＋5＋7b＋1＝10a＋10b＋6
＝10(a＋b)＋6＝10×3＋6＝36.
9．如图，在长为32 m，宽为20 m的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路宽(C)
A．1 m B．1.5 m C．2 m D．2.5 m
【解析】原图经过平移转化为图1.
设道路宽为x m，
根据题意，得(20－x)(32－x)＝540.
整理得x2－52x＋100＝0.
解得x1＝50(不合题意，舍去)，x2＝2.
则道路宽为2 m．
10．设x2－px＋q＝0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2－px＋q＝0，则数对(p，q)的个数是(B)
A．2 B．3 C．4 D．0
【解析】根据题意得，α＋β＝p①，αβ＝q②；
α2＋β2＝p③，α2β2＝q④.
由②④可得α2β2－αβ＝0，
解得αβ＝1或0.
由①③可得α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝p2－2q＝p，
即p2－p－2q＝0，
当q＝0时，p2－p＝0，
解之得p＝0或p＝1，
即，，
把它们代入原方程的Δ中可知符合题意．
当q＝1时，p2－p－2＝0，
解之得p＝－1或2，
即，，
把它们代入原方程的Δ中可知不合题意，舍去，
所以数对(p，q)的个数是3对．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．把一元二次方程5x(x－3)＝6－2x化成一般形式后常数项是__－6__．
【解析】方程整理得：5x2－15x＝6－2x，
即5x2－13x－6＝0，
则常数项为－6.
12．若代数式x2－mx＋9＝(x＋3)2 ，则m的值是__－6__.
【解析】∵(x＋3)2＝x2＋6x＋9，x2－mx＋9＝(x＋3)2，
∴m＝－6.
13．(2023·绥化中考)已知m，n是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个根，则＋＝__－__.
【解析】∵m，n是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个根，
∴m＋n＝3，mn＝－2，
∴＋＝＝－.
14．若(x2＋y2)2－5(x2＋y2)－6＝0，则x2＋y2＝__6__．
【解析】设x2＋y2＝t(t≥0).
则t2－5t－6＝0，即(t－6)(t＋1)＝0，
解得t＝6或t＝－1(不合题意，舍去)；
故x2＋y2＝6.
15．如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积(图中阴影部分)是32 cm2，则剪去的小正方形的边长为__1__cm.
【解析】设剪去的小正方形的边长为x cm，
依题意，得：(10－2x)(6－2x)＝32，
整理，得：x2－8x＋7＝0，
解得x1＝1，x2＝7(不合题意，舍去).
16．定义运算：a★b＝a(1－b).若a，b是方程x2－x＋m＝0(m<0)的两根，
则b★b－a★a的值为__0__．
【解析】∵a，b是方程x2－x＋m＝0(m<0)的两根，
∴a＋b＝1，ab＝m.
∴b★b－a★a＝b(1－b)－a(1－a)＝b(a＋b－b)－a(a＋b－a)＝ab－ab＝0.
17．如图，一次函数y＝－2x＋3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上(不与点A，B重合)，过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D.当矩形OCPD的面积为1时，P点的坐标是__(1，1)或__．
【解析】∵点P在一次函数y＝－2x＋3的图象上，
∴可设P(a，－2a＋3)(a>0)，
由题意得 a(－2a＋3)＝1，
整理得2a2－3a＋1＝0，
解得 a1＝1，a2＝，
∴－2a＋3＝1或－2a＋3＝2.
∴P(1，1)或时，矩形OCPD的面积为1.
18．(2023·枣庄中考)若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2－6x＋n＝0的两个根，则n的值为__8或9__．
【解析】当4为腰长时，将x＝4代入x2－6x＋n＝0，得42－6×4＋n＝0，解得n＝8，
当n＝8时，原方程为x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∵2＋4>4，∴n＝8符合题意；
当4为底边长时，关于x的方程x2－6x＋n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(－6)2－4×1×n＝0，解得n＝9，
当n＝9时，原方程为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3，
∵3＋3＝6>4，∴n＝9符合题意．∴n的值为8或9.
三、解答题(共46分)
19．(6分)(2024·娄底质检)解方程：
(1)8－2x2＝0；
(2)x(2－x)＝x－2.
【解析】(1)原方程化简为x2＝4，
∴x＝±2，
∴x1＝2，x2＝－2；
(2)原方程可化为(x－2)(x＋1)＝0，
∴x－2＝0或x＋1＝0，
∴x1＝2，x2＝－1.
20．(6分)(2023·北京中考)已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0.
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【解析】(1)∵a＝1，b＝－4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2－4ac＝(－4m)2－4×1×3m2＝4m2.
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
(2)∵x2－4mx＋3m2＝0，
即(x－m)(x－3m)＝0，
∴x1＝m，x2＝3m.
∵m>0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m－m＝2，
∴m＝1.
21．(8分)(2024·长沙质检)随着“双减”政策在星城的落地，为进一步规范各个学校的课后服务工作，长沙市教育局就《长沙市中小学课后服务工作实施办法》进行了更明确的要求，鼓励教师参与志愿辅导．某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
(1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
(2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
【解析】(1)设增长率为x，
依题意得：2(1＋x)2＝2.42，
解得x1＝0.1＝10%，
x2＝－2.1(不合题意，舍去).
答：增长率为10%.
(2)2.42×(1＋10%)＝2.662(万人次).
答：预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．
22．(8分)若以方程x2－2(k－3)x＋k2－4k－1＝0的两个根x1，x2为横坐标、纵坐标的点，(x1，x2)恰好在函数y＝x＋6的图象上，求满足条件的k的值．
【解析】根据题意得：Δ＝4(k－3)2－4(k2－4k－1)>0，
整理得：－8k＋40>0，解得k＜5，
∵点(x1，x2)在函数y＝x＋6的图象上，
∴x2＝x1＋6，∴x2－x1＝6，
整理得：(x1＋x2)2－4x1x2＝36，
根据根与系数的关系可知：x1＋x2＝2(k－3)，x1x2＝k2－4k－1，
则4(k－3)2－4(k2－4k－1)＝36，
整理得：－2k＋1＝0，
解得k＝(符合题意)，
即满足条件的k的值为.
23．(8分)(2024·邵阳质检)某中学决定向某医药生产厂家购买防疫物资，原计划订购84消毒液和医用酒精共5 000瓶，已知消毒液每瓶单价24元，酒精每瓶单价20元．
(1)据悉，学校计划购买防疫物资的总资金不超过112 000元，那么原计划最多购买消毒液多少瓶？
(2)后来，学校决定就以112 000元的总资金，按照(1)中消毒液的最大数量进行购买．但学校后勤处通过调查统计发现医用酒精的需求量更大，于是学校接受了后勤处的建议，在原计划的基础上消毒液少订购了10a瓶，医用酒精多订购了原计划的a%，医药生产厂家决定对医用酒精给予优惠，单价降低5a%元，消毒液单价不变，最终学校花费和原计划一样多就完成了订购，求a(a≠0)的值．
【解析】(1)设原计划购买消毒液x瓶，则原计划购买医用酒精(5 000－x)瓶，
依题意，得：24x＋20(5 000－x)≤112 000，
解得x≤3 000.
答：原计划最多购买消毒液3 000瓶．
(2)依题意，得：24×(3 000－10a)＋(20－5a%)×(5 000－3 000)(1＋a%)＝112 000，
解得a1＝60，a2＝0(不合题意，舍去).
答：a的值为60.
24．(10分)如图，矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝10 cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以3 cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以2 cm/s的速度运动．点E在线段BC上，且BE＝1 cm，若M，N两点同时从点D出发，到第一次相遇时停止运动．
(1)求经过几秒钟M，N两点停止运动？
(2)求点A，E，M，N构成平行四边形时，M，N两点运动的时间；
(3)设运动时间为t(s)，用含字母t的代数式表示△EMN的面积S(cm2).
【解析】(1)∵矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝10 cm，
∴M，N两点同时从点D出发，到第一次相遇时共运动了：2×(5＋10)＝30(cm)，
∴t＝30÷(2＋3)＝6(s).
答：经过6 s两点相遇．
(2)由题意知，当点N在AD边上运动，点M在BC边上运动时，点A，E，M，N才可能组成平行四边形，
设经过t s四点可组成平行四边形，
①当构成 AEMN时，10－2t＝14－3t，
解得t＝4；
②当构成 AMEN时，10－2t＝3t－14，
解得t＝4.8.
答：当点A，E，M，N构成平行四边形时，M，N两点运动的时间为4 s或4.8 s.
(3)如图(1)，当0如图(2)，当≤t<时，S＝S△EMN＝EM·CD＝×(14－3t)×5＝35－t；
如图(3)，当S＝S△EMN＝EM·CD＝×(3t－14)×5＝t－35；
如图(4)，当5(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．若方程(m－1)xm2＋1＋3x＋5＝0是一元二次方程，则m的值等于( )
A．±1 B．1 C．－1 D．0
2．下列方程中，有两个不相等实数根的是( )
A．x2－2x－1＝0 B．x2－2x＋3＝0
C．x2＝2x－3 D．x2－4x＋4＝0
3．(2023·雅安中考)若直角三角形的两边长分别是方程x2－7x＋12＝0的两根，则该直角三角形的面积是( )
A．6 B．12
C．12或 D．6或
4．(2023·海南中考)用配方法解方程x2－6x＋5＝0，配方后所得的方程是( )
A．(x＋3)2＝－4 B．(x－3)2＝－4
C．(x＋3)2＝4 D．(x－3)2＝4
5．(2023·云南中考)若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a≤1
C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
6．(2024·临沂期末)已知a是方程x2－2 022x＋1＝0的一个根，则a2－2 021a＋的值为( )
A． B．2 022
C．2 021 D．无法计算
7．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有______飞机场( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
8．(2023·武汉中考)已知a，b是方程x2－3x－5＝0的两根，则代数式2a3－6a2＋b2＋7b＋1的值是( )
A．－25 B．－24 C．35 D．36
9．如图，在长为32 m，宽为20 m的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路宽( )
A．1 m B．1.5 m C．2 m D．2.5 m
10．设x2－px＋q＝0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2－px＋q＝0，则数对(p，q)的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．0
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．把一元二次方程5x(x－3)＝6－2x化成一般形式后常数项是__ __．
12．若代数式x2－mx＋9＝(x＋3)2 ，则m的值是__ __.
13．(2023·绥化中考)已知m，n是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个根，则＋＝__ __.
14．若(x2＋y2)2－5(x2＋y2)－6＝0，则x2＋y2＝__ __．
15．如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积(图中阴影部分)是32 cm2，则剪去的小正方形的边长为__ __cm.
16．定义运算：a★b＝a(1－b).若a，b是方程x2－x＋m＝0(m<0)的两根，
则b★b－a★a的值为__ __．
17．如图，一次函数y＝－2x＋3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上(不与点A，B重合)，过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D.当矩形OCPD的面积为1时，P点的坐标是__ __．
18．(2023·枣庄中考)若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2－6x＋n＝0的两个根，则n的值为__ __．
三、解答题(共46分)
19．(6分)(2024·娄底质检)解方程：
(1)8－2x2＝0；
(2)x(2－x)＝x－2.
20．(6分)(2023·北京中考)已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0.
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
21．(8分)(2024·长沙质检)随着“双减”政策在星城的落地，为进一步规范各个学校的课后服务工作，长沙市教育局就《长沙市中小学课后服务工作实施办法》进行了更明确的要求，鼓励教师参与志愿辅导．某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
(1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
(2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
22．(8分)若以方程x2－2(k－3)x＋k2－4k－1＝0的两个根x1，x2为横坐标、纵坐标的点，(x1，x2)恰好在函数y＝x＋6的图象上，求满足条件的k的值．
23．(8分)(2024·邵阳质检)某中学决定向某医药生产厂家购买防疫物资，原计划订购84消毒液和医用酒精共5 000瓶，已知消毒液每瓶单价24元，酒精每瓶单价20元．
(1)据悉，学校计划购买防疫物资的总资金不超过112 000元，那么原计划最多购买消毒液多少瓶？
(2)后来，学校决定就以112 000元的总资金，按照(1)中消毒液的最大数量进行购买．但学校后勤处通过调查统计发现医用酒精的需求量更大，于是学校接受了后勤处的建议，在原计划的基础上消毒液少订购了10a瓶，医用酒精多订购了原计划的a%，医药生产厂家决定对医用酒精给予优惠，单价降低5a%元，消毒液单价不变，最终学校花费和原计划一样多就完成了订购，求a(a≠0)的值．
24．(10分)如图，矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝10 cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以3 cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以2 cm/s的速度运动．点E在线段BC上，且BE＝1 cm，若M，N两点同时从点D出发，到第一次相遇时停止运动．
(1)求经过几秒钟M，N两点停止运动？
(2)求点A，E，M，N构成平行四边形时，M，N两点运动的时间；
(3)设运动时间为t(s)，用含字母t的代数式表示△EMN的面积S(cm2).
