第4章 锐角三角函数
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列式子表示sin B错误的是(D)
A． B． C． D．
【解析】∵在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，
∴sin B＝＝＝.
2．下列计算正确的是(B)
A．sin 60°－sin 30°＝sin 30°
B．sin 245°＋cos 245°＝1
C．cos 60°＝
D．cos 30°＝
【解析】A.原式＝－≠，故A错误；
B．＋＝1，故B正确；
C．cos 60°＝，＝，故C错误；
D．cos 30°＝，＝，故D错误．
3．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L·cos α，阻力臂L2＝l·cos β，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是(A)
A．越来越小 B．不变
C．越来越大 D．无法确定
【解析】∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值>0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cos α的值越来越大，
又∵动力臂L1＝L·cos α，∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小．
4．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，c＝3a，则sin A的值是(A)
A． B．
C．3 D．以上都不对
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，c＝3a，
∴sin A＝＝＝.
5．在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，tan C的值是(B)
A． B． C．1 D．
【解析】∵在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，∴∠C＝30°，∴tan C＝.
6．(2024·张家界质检)在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则tan A的值为(C)
A． B． C． D．
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴cos B＝＝，设BC＝x，AB＝3x，则AC＝2x，∴tan A＝＝＝.
7．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC等于(A)
A．1 B． C． D．
【解析】过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，AC＝，
∴CD＝AC＝.在Rt△BCD中，
∵sin 45°＝＝，∴BC＝1.
8．(2023·陕西中考)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC，BD，则的值为(D)
A． B． C． D．
【解析】设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
AC⊥BD，
∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵tan ∠ABD＝＝，∴＝.
9．(2023·十堰中考)如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15 m，AB为1.5 m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是(D)
A．m B．5 m
C．15 m D．m
【解析】由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15 m，AB＝1.5 m，
∴BC＝AD＝15 m，AB＝CD＝1.5 m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15 m，
∴DE＝AD·tan ∠EAD＝15×＝5(m)，
∴CE＝DE＋CD＝(5＋1.5)(m).
10.海中有一个小岛A，它的周围a海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东75°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东60°方向上．若渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险，则a的最大值为(B)
A．5 B．6 C．6 D．8
【解析】作AC⊥BD于点C.
∠ABD＝90°－75°＝15°，
∵∠ADC＝90°－60°＝30°，
∴∠BAD＝∠ADC－∠ABD＝30°－15°＝15°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
在Rt△ADC中，AC＝AD＝×12＝6(海里).∴a的最大值是6.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝2，sin A＝，则c＝__6__．
【解析】如图，
∵a＝2，sin A＝，∴c＝＝＝6.
12．计算：sin260°＋tan230°－cos245°＝．
【解析】原式＝＋－
＝＋－＝.
13．(2023·梧州中考)某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图(如图)，点A到桥的距离AC是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是__326__米．(结果精确到1米)(参考数据：sin83°≈0.99，cos 83°≈0.12，tan 83°≈8.14)
【解析】由题意，在Rt△ABC中，
∵AC＝40，∠A＝83°，tan A＝，
∴BC＝tan A·AC≈8.14×40＝325.6≈326(米).
14．(2024·邵阳质检)AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，若AE∶CF＝3∶2，则sin A∶sin ∠ACB等于__2∶3__．
【解析】如图，由锐角三角函数的定义可知，
∵sin A＝，sin ∠ACB＝，
∴sin A∶sin ∠ACB＝∶＝FC∶AE＝2∶3.
15．(2024·怀化期末)在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tan A－)2＋|2cos B－1|＝0，则△ABC的形状是__等边三角形__．
【解析】∵(tan A－)2＋|2cos B－1|＝0，
∴tan A－＝0，2cos B－1＝0，
则tan A＝，cos B＝，故∠A＝60°，∠B＝60°，则∠C＝60°，即△ABC的形状是等边三角形．
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，
cos A＝，则BD的长度为．
【解析】∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，
∴AB＝5，∴BC＝＝＝3，
∵∠DBC＝∠A.∴cos ∠DBC＝cos ∠A＝＝，∴BD＝3×＝.
17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－4，0)，(0，4)，点C(3，n)在第一象限内，连接AC，BC.已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝．
【解析】作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∵点A，B的坐标分别为(－4，0)，(0，4)，点C(3，n)在第一象限内，
则E(0，n)，D(3，0)，
∴BE＝4－n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，
∵CE∥OA，∴∠ECA＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，∴∠BCE＝∠CAO，
在Rt△CAD中，tan ∠CAO＝，
在Rt△CBE中，tan ∠BCE＝，
∴＝，即＝，解得n＝.
18．(2023·常州中考)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D，E分别在CA，CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin ∠FBA＝．
【解析】连接AF，过点F作FG⊥AB于点G，
∵四边形CDFE是边长为1的正方形，
∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°，
∵AC＝3，BC＝4，∴AD＝2，BE＝3，
∴AB＝＝5，AF＝＝，BF＝＝，
设BG＝x，∵FG2＝AF2－AG2＝BF2－BG2，
∴5－(5－x)2＝10－x2，解得：x＝3，
∴FG＝＝1，
∴sin ∠FBA＝＝.
三、解答题(共46分)
19．(6分)(2024·娄底质检)在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，BC＝2，求AB的长．
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，
∵tan B＝，BC＝2，∴＝，
解得AC＝3，
由勾股定理得：AB＝＝＝.
20．(6分)(1)计算：tan230°－2sin230°·tan45°＋8cos260°.
(2)已知α是锐角，且2cos(α－15°)＝.
计算：－4sin2α＋tan45°.
【解析】(1)原式＝－2××1＋8×＝－2×＋8×
＝－＋2＝.
(2) ∵2cos (α－15°)＝，∴cos (α－15°)＝，
∵α是锐角，∴α－15°＝30°，∴α＝45°.
则原式＝2－4×＋1＝2－2＋1＝1.
21．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin B＝，D是BC上一点，且∠DAC＝30°.求DC的长和S△ABD的值．
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin B＝，AC＝AB·sin B＝10×＝8，BC＝＝6，
在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，∴DC＝AC·tan 30°＝8×＝，
S△ABD＝S△ABC－S△ACD＝×8×6－×8×＝24－.
22．(8分)(2023·杭州中考)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C＝45°.
(1)求证：AB＝BD；
(2)若AE＝3，求△ABC的面积．
【解析】(1)∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵∠ADB＝∠DBC＋∠C＝75°，
∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝75°，
∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD；
(2)由题意得，BE＝＝，EC＝＝3，∴BC＝3＋，
∴S△ABC＝BC·AE＝.
23．(8分)(2023·张家界中考)张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为30°，60°，测得BC长为320 m，求观测点A到桥面BC的距离．(结果保留整数，参考数据：≈1.73)
【解析】过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图，根据题意得
∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝320 m，
∵∠CAB＝∠CAM－∠BAM＝60°－30°＝30°，∴∠B＝∠BAC，∴CA＝CB＝320 m，
在Rt△ACD中，∠DCA＝60°，
∴sin ∠ACD＝，即sin 60°＝，
∴AD＝320×＝160≈277(m).
答：观测点A到桥面BC的距离是277 m．
24．(10分)(2023·怀化中考)政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程(结果精确到0.1米).
其中sin 67°≈，cos 67°≈，tan 67°≈，
sin 22°≈，cos 22°≈，tan 22°≈.
【解析】过C作CF⊥AE于F，如图所示：
则FC＝AD＝20米，AF＝DC，在Rt△ACF中，∠EAC＝22°，
∵tan ∠EAC＝＝tan 22°≈，
∴DC＝AF≈FC＝50(米)，
在Rt△ABD中，∠ABD＝∠EAB＝67°，
∵tan ∠ABD＝＝tan 67°≈，
∴BD≈AD＝(米)，
∴BC＝DC－BD＝50－≈41.7(米)，
即大桥BC的长约为41.7米．第4章 锐角三角函数
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列式子表示sin B错误的是( )
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是( )
A．sin 60°－sin 30°＝sin 30°
B．sin 245°＋cos 245°＝1
C．cos 60°＝
D．cos 30°＝
3．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L·cos α，阻力臂L2＝l·cos β，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是( )
A．越来越小 B．不变
C．越来越大 D．无法确定
4．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，c＝3a，则sin A的值是( )
A． B．
C．3 D．以上都不对
5．在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，tan C的值是( )
A． B． C．1 D．
6．(2024·张家界质检)在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则tan A的值为( )
A． B． C． D．
7．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC等于( )
A．1 B． C． D．
8．(2023·陕西中考)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC，BD，则的值为( )
A． B． C． D．
9．(2023·十堰中考)如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15 m，AB为1.5 m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是( )
A．m B．5 m
C．15 m D．m
10.海中有一个小岛A，它的周围a海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东75°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东60°方向上．若渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险，则a的最大值为( )
A．5 B．6 C．6 D．8
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝2，sin A＝，则c＝__ __．
12．计算：sin260°＋tan230°－cos245°＝ ．
13．(2023·梧州中考)某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图(如图)，点A到桥的距离AC是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是__ __米．(结果精确到1米)(参考数据：sin83°≈0.99，cos 83°≈0.12，tan 83°≈8.14)
14．(2024·邵阳质检)AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，若AE∶CF＝3∶2，则sin A∶sin ∠ACB等于__ __．
15．(2024·怀化期末)在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tan A－)2＋|2cos B－1|＝0，则△ABC的形状是__ __．
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，
cos A＝，则BD的长度为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－4，0)，(0，4)，点C(3，n)在第一象限内，连接AC，BC.已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝ ．
18．(2023·常州中考)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D，E分别在CA，CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin ∠FBA＝ ．
三、解答题(共46分)
19．(6分)(2024·娄底质检)在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，BC＝2，求AB的长．
20．(6分)(1)计算：tan230°－2sin230°·tan45°＋8cos260°.
(2)已知α是锐角，且2cos(α－15°)＝.
计算：－4sin2α＋tan45°.
21．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin B＝，D是BC上一点，且∠DAC＝30°.求DC的长和S△ABD的值．
22．(8分)(2023·杭州中考)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C＝45°.
(1)求证：AB＝BD；
(2)若AE＝3，求△ABC的面积．
23．(8分)(2023·张家界中考)张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为30°，60°，测得BC长为320 m，求观测点A到桥面BC的距离．(结果保留整数，参考数据：≈1.73)
24．(10分)(2023·怀化中考)政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程(结果精确到0.1米).
其中sin 67°≈，cos 67°≈，tan 67°≈，
sin 22°≈，cos 22°≈，tan 22°≈.
