第3章 图形的相似
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．若2 021x＝2 022y(xy≠0)，则下列比例式成立的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
2．已知＝，那么的值是( )
A． B． C． D．
3．下列图中，是相似图形的是( )
A．①与② B．②与③
C．①与④ D．①与③
4．(2023·雅安中考)如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G.若BC∶EC＝3∶1.S△ADG＝16.则S△CEG的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
6．(2024·常德质检)如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AD，AE三等分∠BAC，D，E在BC边上，则其中的相似三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．6对
7．如图，∠ACB＝∠BDC＝90°.要使△ABC∽△BCD，给出下列需要添加的条件：①AB∥CD；②BC2＝AC·CD；③＝，其中正确的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
8．如图所示的4个三角形中，相似三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．(2024·邵阳质检)如图，已知△ABC与△DEF相似，它们的相似比为1∶2，则下列图形中，满足上述条件的△DEF是( )
10．(2023·北部湾经济区中考)如图，矩形纸片ABCD，AD∶AB＝∶1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．若＝，则的值是 ．
12．如图，DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC，AB＝2，AC＝6，EF＝5，那么DF＝__ __．
13．(2023·徐州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边BA，BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比为 .
14．(2023·黔西南中考)如图，△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O为位似中心，若OA′＝A′A，则△A′B′C′与△ABC的面积比为__ __．
15．(2023·阜新中考)如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为__ __.
16．(2023·巴中中考)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点(AP>BP)，若满足＝，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是__ __．
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝120°，AB＝6，AD＝4，点E在线段AD上(点E与点A，D不重合)，点F在直线CD上，若∠BEF＝120°，AE＝1，则DF＝ ．
18．(2023·西宁中考)如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF.已知AF＝，CF＝5，则EF＝ ．
三、解答题(共46分)
19．(9分)解比例式：
(1)3∶8＝15∶x；(2)＝；
(3)∶＝x∶.
20．(6分)如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，连接BD并延长，与∠ACF的平分线交于点E，
(1)求证：△ABD∽△CED；
(2)若AB＝8，AD＝2CD，求CE的长．
21．(6分)如图，两车分别从路段AB两端同时出发，沿平行路线AC，BD行驶，CE和DF的长分别表示两车到道路AB的距离．
(1)求证：△ACE∽△BDF；
(2)如果两车行驶速度相同，求证：△ACE≌△BDF.
22．(7分)如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(2，6)，B(4，2)，C(6，2)，D(6，4).
(1)在第一象限内，画出以原点为位似中心，位似比为的位似图形A1B1C1D1；
(2)将四边形A1B1C1D1向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，并写出各点坐标．
23．(8分)如图，在正方形ABCD的BC边上取中点E，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G，交DA的延长线于点F.
(1)求证：△ECD∽△DEF；
(2)若CD＝4，求AF的长．
24．(10分)(2023·鄂州中考)如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且∠ABE＝∠CDF.
(1)探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
(2)连接AC，分别交BE，DF于点G，H，连接BD交AC于点O.若＝，AE＝4，求BC的长．第3章 图形的相似
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．若2 021x＝2 022y(xy≠0)，则下列比例式成立的是(D)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【解析】∵2 021x＝2 022y，
∴＝或＝.
2．已知＝，那么的值是(D)
A． B． C． D．
【解析】∵＝，∴y＝x，
∴＝＝.
3．下列图中，是相似图形的是(D)
A．①与② B．②与③
C．①与④ D．①与③
【解析】根据题意，①与③形状相同，大小不等，是相似图形．
4．(2023·雅安中考)如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G.若BC∶EC＝3∶1.S△ADG＝16.则S△CEG的值为(B)
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】由平移性质可得AD∥BE，AD＝BE，
∴△ADG∽△CEG，
∵BC∶EC＝3∶1，
∴BE∶EC＝2∶1，∴AD∶EC＝2∶1，
∴S△ADG∶S△ECG＝＝4，
∵S△ADG＝16，∴S△CEG＝4.
5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是(D)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【解析】∵GE∥BD，GF∥AC，∴＝，＝，∴＝.
6．(2024·常德质检)如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AD，AE三等分∠BAC，D，E在BC边上，则其中的相似三角形有(D)
A．1对 B．2对 C．3对 D．6对
【解析】∵∠B＝∠C＝36°，∴∠BAC＝180°－36°－36°＝108°，∵AD，AE三等分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠CAE＝36°，
∴∠BAE＝∠CAD＝72°，
∠ADE＝∠AED＝72°，
∴△ABC∽△EAC∽△DAB，
△ADE∽△BAE∽△CAD.
7．如图，∠ACB＝∠BDC＝90°.要使△ABC∽△BCD，给出下列需要添加的条件：①AB∥CD；②BC2＝AC·CD；③＝，其中正确的是(B)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【解析】①若AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，且∠ACB＝∠BDC＝90°，∴△ABC∽△BCD，故①符合题意；②若BC2＝AC·CD，∴＝，且∠ACB＝∠BDC＝90°，无法判定△ABC∽△BCD，故②不符合题意；③若＝，且∠ACB＝∠BDC＝90°，∴△ABC∽△BCD，故③符合题意．
8．如图所示的4个三角形中，相似三角形有(A)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【解析】三角形①的三边之比为1∶2∶，
三角形②的三边之比为∶∶，
三角形③的三边之比为1∶2∶，
三角形④的三边之比为1∶1∶，
只有三角形①和③的三边成比例，所以只有三角形①和③相似．
9．(2024·邵阳质检)如图，已知△ABC与△DEF相似，它们的相似比为1∶2，则下列图形中，满足上述条件的△DEF是(D)
【解析】A.∵＝＝＝，∴△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，∴选项A不符合；
B．∵＝＝＝，∴△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，∴选项B不符合；
C．∵＝＝＝，∴△ABC∽△DEF，相似比为2∶3，∴选项C不符合；
D．∵＝＝＝，∴△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，∴选项D符合．
10．(2023·北部湾经济区中考)如图，矩形纸片ABCD，AD∶AB＝∶1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则的值为(A)
A． B． C． D．
【解析】过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，如图所示：
由折叠A与A′对应易知：∠AOE＝90°，
∵∠EAO＋∠AEO＝90°，
∠EAO＋∠AGD＝90°，
∴∠AEO＝∠AGD，即∠FEH＝∠AGD，
又∵∠ADG＝∠FHE＝90°，
∴△ADG∽△FHE，
∴＝＝＝＝.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．若＝，则的值是．
【解析】由＝，得4(2x－y)＝3(x＋y)，8x－4y＝3x＋3y，5x＝7y，
∴＝，∴＝.
12．如图，DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC，AB＝2，AC＝6，EF＝5，那么DF＝__7.5__．
【解析】∵DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC，
∴DA∥EB∥FC，
∴BC∶AC＝EF∶DF，
∵AB＝2，AC＝6，
∴BC＝4，∴4∶6＝5∶DF，
∴DF＝7.5.
13．(2023·徐州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边BA，BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比为.
【解析】∵＝＝，则设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，
∴＝＝，
＝＝，
∴＝＝，又∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC.相似比为，面积比＝＝，
设S△DBE＝4a，则S△ABC＝25a，
∴S四边形ADEC＝25a－4a＝21a，
∴S△DBE∶S四边形ADEC＝.
14．(2023·黔西南中考)如图，△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O为位似中心，若OA′＝A′A，则△A′B′C′与△ABC的面积比为__1∶4__．
【解析】∵OA′＝A′A，∴＝，
∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴△A′B′C′与△ABC的面积比＝＝.
15．(2023·阜新中考)如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为__2∶1__.
【解析】如图，分别过点A、点E作AM⊥BD，EN⊥BD，垂足分别为点M，N，则∠AMB＝∠END＝90°，
∵BM＝2，DN＝1，AM＝4，EN＝2，
∴＝，∴△ABM∽△EDN，
∴∠ABM＝∠EDN，＝＝＝2，
∴AB∥DE，∴∠BAC＝∠EDC，
又∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△DEC，
∴△ABC与△CDE的周长之比为2∶1.
16．(2023·巴中中考)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点(AP>BP)，若满足＝，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是__(20－x)2＝20x__．
【解析】由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20－x，∴＝，∴(20－x)2＝20x.
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝120°，AB＝6，AD＝4，点E在线段AD上(点E与点A，D不重合)，点F在直线CD上，若∠BEF＝120°，AE＝1，则DF＝．
【解析】∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝4－1＝3，
∵∠A＝∠D＝120°，
∴∠AEB＋∠ABE＝180°－120°＝60°，
∵∠BEF＝120°，
∴∠AEB＋∠DEF＝180°－120°＝60°，
∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF，
∴＝，即＝，∴DF＝.
18．(2023·西宁中考)如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF.已知AF＝，CF＝5，则EF＝．
【解析】∵点E是AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEG中，，
∴△AEF≌△DEG(ASA)，
∴EF＝EG，AF＝DG＝，
∵CE⊥EF，∴CF＝CG＝5，
∵∠G＝∠G，∠EDG＝∠CEG＝90°，
∴△EDG∽△CEG，
∴＝，
∴EG2＝DG·CG＝，
∴EG＝＝EF.
三、解答题(共46分)
19．(9分)解比例式：
(1)3∶8＝15∶x；(2)＝；
(3)∶＝x∶.
【解析】(1)3x＝8×15，3x＝120，解得x＝40；
(2)4.5x＝9×0.8，4.5x＝7.2，解得x＝1.6；
(3)x＝×，x＝，解得x＝.
20．(6分)如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，连接BD并延长，与∠ACF的平分线交于点E，
(1)求证：△ABD∽△CED；
(2)若AB＝8，AD＝2CD，求CE的长．
【解析】(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°；
∵CE平分∠ACF，∴∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE，
又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED.
(2)∵△ABD∽△CED，∴＝，
∵AD＝2DC，AB＝8，
∴CE＝AB＝4.
21．(6分)如图，两车分别从路段AB两端同时出发，沿平行路线AC，BD行驶，CE和DF的长分别表示两车到道路AB的距离．
(1)求证：△ACE∽△BDF；
(2)如果两车行驶速度相同，求证：△ACE≌△BDF.
【证明】(1)∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEA＝∠DFB＝90°，
∴△ACE∽△BDF；
(2)由(1)得：∠A＝∠B，∠CEA＝∠DFB，
∵两车等速同时行驶，∴AC＝BD，
在△ACE和△BDF中，，
∴△ACE≌△BDF(AAS).
22．(7分)如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(2，6)，B(4，2)，C(6，2)，D(6，4).
(1)在第一象限内，画出以原点为位似中心，位似比为的位似图形A1B1C1D1；
(2)将四边形A1B1C1D1向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，并写出各点坐标．
【解析】(1)如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求．
(2)如图所示，四边形A2B2C2D2即为所求，其中A2(6，7)，B2(7，5)，C2(8，5)，D2(8，6).
23．(8分)如图，在正方形ABCD的BC边上取中点E，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点G，交DA的延长线于点F.
(1)求证：△ECD∽△DEF；
(2)若CD＝4，求AF的长．
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，EF⊥ED，
∴∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠CED＝∠FDE，
∴△ECD∽△DEF.
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，
∵E为BC的中点，
∴CE＝BC＝2，
在Rt△DCE中，DE＝＝＝2，
∵△ECD∽△DEF，
∴＝，
∴＝，
解得：DF＝10，
∵AD＝4，
∴AF＝DF－AD＝10－4＝6.
24．(10分)(2023·鄂州中考)如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且∠ABE＝∠CDF.
(1)探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
(2)连接AC，分别交BE，DF于点G，H，连接BD交AC于点O.若＝，AE＝4，求BC的长．
【解析】(1)四边形BEDF为平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠EBF＝∠EDF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形．
(2)设AG＝2a，
∵＝，
∴OG＝3a，AO＝5a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，
∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB，
∴＝＝，
∵AE＝4，∴BC＝16.
