第4章 锐角三角函数
答案：①__ __ ②_ __ ③__ __ ④__ __ ⑤__ __
⑥__ __ __．
考点1 锐角三角函数
1．(2023·宜昌中考)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos ∠ABC的值为( )
A． B． C． D．
2．(2023·桂林中考)如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是( )
A． B． C． D．
3．(2023·邵阳中考)如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E.若sin ∠ADE＝，AD＝4，则AB的长为__ __．
【方法技巧】
1．三角函数的概念
正弦：sin A＝；
余弦：cos A＝；
正切：tan A＝.
2．锐角三角函数的概念是在直角三角形中定义的，在非直角三角形中利用锐角三角函数解决问题时要通过作某条边上的高构造直角三角形求解．
特别提醒：注意锐角三角函数的定义只适用于直角三角形，在斜三角形中不能用此定义求三角函数值，需将斜三角形转化成直角三角形再求值．
考点2 特殊角的三角函数值的应用
4．(2023·天津中考)tan 30°的值等于( )
A． B． C．1 D．2
5．(2023·西藏中考)计算：(π－3)0＋－4sin 30°＝__ __．
6．(2023·重庆中考A卷)如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为__ __．
【方法技巧】
1．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，其简单记忆方法为：30°，45°，60°的正弦值记为，，，余弦值相反，正切值记为，，.
2．由特殊角可求其三角函数值，反过来，由特殊角的三角函数值可求特殊角．
特别提醒：在计算时，需注意的是，若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值．
考点3 解直角三角形
7．(2023·海南中考)如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0，)，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是__ __．
8.(2023·上海中考)如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos ∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
(1)求AC的长；
(2)求tan ∠FBD的值．
考点4 解直角三角形的应用
9．(2023·金华中考)如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为( )
A．4cos α米 B．4sin α米
C．4tan α米 D．米
10．(2023·重庆中考B卷)如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度(或坡比)为i＝1∶2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为( )
(参考数据：sin 50°≈0.77；cos 50°≈0.64；tan 50°≈1.19)
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
11．(2023·宿迁中考)一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度．(结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)
12．(2023·郴州中考)如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1∶2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．
(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24.结果精确到0.1米)
1．(2023·株洲中考)某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α(0°≤α≤90°)，EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h(单位：米)，不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为(参考数据：≈1.414，≈1.732)( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．(2023·烟台中考)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°.若OA＝16，则OG的长为( )
A． B． C． D．
3．(2023·娄底中考)如图①，E，F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)求证：EF2＝BE2＋CF2；
(3)如图②，作AH⊥BC，垂足为H，设∠EAH＝α，∠FAH＝β，不妨设AB＝，请利用(2)的结论证明：当α＋β＝45°时，tan (α＋β)＝成立．第4章 锐角三角函数
答案：①____ ②___ ③____ ④__90°__ ⑤__1__
⑥__tan__α(∠α为坡角)__．
考点1 锐角三角函数
1．(2023·宜昌中考)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos ∠ABC的值为(B)
A． B． C． D．
【解析】设小正方形的边长为1，如图，
过点A作AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴AB＝＝＝3，
∴cos ∠ABC＝＝＝.
2．(2023·桂林中考)如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是(D)
A． B． C． D．
【解析】作PA⊥x轴于A，如图．
∵P(3，4)，∴OA＝3，AP＝4，
∴OP＝＝5，∴sin α＝＝.
3．(2023·邵阳中考)如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E.若sin ∠ADE＝，AD＝4，则AB的长为__3__．
【解析】∵DE⊥AC，∴∠ADE＋∠CAD＝90°，
∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵sin ∠ADE＝，∴＝，
∴AC＝＝＝5，
由勾股定理得，AB＝＝＝3.
【方法技巧】
1．三角函数的概念
正弦：sin A＝；
余弦：cos A＝；
正切：tan A＝.
2．锐角三角函数的概念是在直角三角形中定义的，在非直角三角形中利用锐角三角函数解决问题时要通过作某条边上的高构造直角三角形求解．
特别提醒：注意锐角三角函数的定义只适用于直角三角形，在斜三角形中不能用此定义求三角函数值，需将斜三角形转化成直角三角形再求值．
考点2 特殊角的三角函数值的应用
4．(2023·天津中考)tan 30°的值等于(A)
A． B． C．1 D．2
【解析】tan 30°＝.
5．(2023·西藏中考)计算：(π－3)0＋－4sin 30°＝__3__．
【解析】原式＝1＋4－4×＝1＋4－2＝3.
6．(2023·重庆中考A卷)如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为__5__．
【解析】∵纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，∴DE垂直平分AF.∴AD＝DF，AE＝EF.
∵DE∥BC，∴DE为△ABC的中位线．
∴DE＝BC＝(BF＋CF)＝×(4＋6)＝5.
∵AF＝EF，∴△AEF为等边三角形．
∴∠FAC＝60°.
在Rt△AFC中，
∵tan ∠FAC＝，∴AF＝＝2.
∴四边形ADFE的面积为：DE·AF＝×5×2＝5.
【方法技巧】
1．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，其简单记忆方法为：30°，45°，60°的正弦值记为，，，余弦值相反，正切值记为，，.
2．由特殊角可求其三角函数值，反过来，由特殊角的三角函数值可求特殊角．
特别提醒：在计算时，需注意的是，若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值．
考点3 解直角三角形
7．(2023·海南中考)如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0，)，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是__(4，)__．
【解析】过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G.
∵B，C的坐标分别是(1，0)，(0，)，
∴OC＝，OB＝1，∴BC＝＝2.
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝＝＝2.
∵∠ABG＋∠CBO＝90°，∠BCO＋∠CBO＝90°，
∴∠ABG＝∠BCO.
∴sin ∠ABG＝＝＝，cos ∠ABG＝＝＝，∴AG＝，BG＝3.∴OG＝4，∴A(4，).
8.(2023·上海中考)如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos ∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
(1)求AC的长；
(2)求tan ∠FBD的值．
【解析】(1)∵AC⊥BD，∴∠ACB＝90°，
∵cos ∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，
即AC的长为6；
(2)如图，
连接CF，过F点作BD的垂线，垂足为点E，
∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，CF＝AD＝FD，
CE＝CD＝2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝2，
在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，
∴tan ∠FBD＝＝＝.
考点4 解直角三角形的应用
9．(2023·金华中考)如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为(A)
A．4cos α米 B．4sin α米
C．4tan α米 D．米
【解析】过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，∴BD＝DC，
∴cos α＝＝，∴DC＝2cos α(米)，
∴BC＝2DC＝2×2cos α＝4cos α(米).
10．(2023·重庆中考B卷)如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度(或坡比)为i＝1∶2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为(D)
(参考数据：sin 50°≈0.77；cos 50°≈0.64；tan 50°≈1.19)
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【解析】∵斜坡CD的坡度(或坡比)为i＝1∶2.4，∴DE∶CE＝5∶12，
∵DE＝50，∴CE＝120，
∵BC＝150，∴BE＝150－120＝30，
∴AB＝tan 50°×30＋50≈85.7(米).
11．(2023·宿迁中考)一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度．(结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)
【解析】过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：
设AC＝x米，由题意得：
PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°，
在Rt△APC中，tan ∠APC＝＝tan 30°＝，
∴PC＝AC＝x(米)，
在Rt△BCQ中，tan ∠BQC＝＝tan 45°＝1，
∴QC＝BC＝AC＋AB＝(x＋3)米，
∵PC－QC＝PQ＝5米，∴x－(x＋3)＝5，
解得x＝4(＋1)，
∴BC＝4(＋1)＋3＝4＋7≈14(米)，
答：无人机飞行的高度约为14米．
12．(2023·郴州中考)如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1∶2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度．
(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24.结果精确到0.1米)
【解析】如图所示，过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，则四边形AMBN是矩形，
∴AN＝MB，BN＝MA，
∵斜坡AB＝105米，坡度i＝1∶2＝，
∴设BM＝x米，则AM＝2x米，
∴AB＝＝＝x＝105，∴x＝21，
∴AN＝MB＝21(米)，BN＝MA＝42(米)，
在Rt△BCN中，∠CBN＝α＝45°，
∴△BCN是等腰直角三角形，
∴BN＝CN＝42(米)，
∴AC＝AN＋CN＝21＋42
＝63≈141.1(米).
答：观光电梯AC的高度约为141.1米．
1．(2023·株洲中考)某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α(0°≤α≤90°)，EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h(单位：米)，不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为(参考数据：≈1.414，≈1.732)(C)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】由题知，
限高曲臂道路闸口高度为：1.4＋2×sin α，
①当α＝90°时，h＜(1.4＋2)米，即h＜3.4米即可通过该闸口，故①正确；
②当α＝45°时，h＜米，即h＜2.814米即可通过该闸口，故②正确；
③当α＝60°时，h＜米，即h＜3.132米即可通过该闸口，故③不正确．
2．(2023·烟台中考)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°.若OA＝16，则OG的长为(A)
A． B． C． D．
【解析】由题图可知，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，
∵∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，
∴∠A＝∠OBC＝∠OCD＝…＝∠OLM＝60°，
∴AB＝OA，OB＝AB＝OA，
同理可得，OC＝OB＝OA，
OD＝OC＝OA，
…
OG＝OF＝OA＝×16＝.
3．(2023·娄底中考)如图①，E，F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)求证：EF2＝BE2＋CF2；
(3)如图②，作AH⊥BC，垂足为H，设∠EAH＝α，∠FAH＝β，不妨设AB＝，请利用(2)的结论证明：当α＋β＝45°时，tan (α＋β)＝成立．
【证明】(1)∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝45°＝∠B，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)由(1)知，△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，∵∠BAC＝90°，
∴∠EAD＝∠CAE＋∠CAD＝∠CAE＋∠BAE＝∠BAC＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF＝∠DAE－∠EAF＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，∴△AEF≌△ADF(SAS)，
∴EF＝DF，
在Rt△DCF中，根据勾股定理得，DF2＝CF2＋CD2，
∵CD＝BE，∴EF2＝CF2＋BE2；
(3)在Rt△ABC中，AC＝AB＝，
∴BC＝AB＝2，∵AH⊥BC，
∴AH＝BH＝CH＝BC＝1，
∴BE＝1－EH，CF＝1－FH，
由(2)知，EF2＝CF2＋BE2，
∵EF＝EH＋FH，
∴(EH＋FH)2＝(1－FH)2＋(1－EH)2，
∴1－EH·FH＝EH＋FH，
在Rt△AHE中，tan α＝＝EH，
在Rt△AHF中，tan β＝＝FH，
∴右边＝＝＝＝1，
∵α＋β＝45°，
∴左边＝tan (α＋β)＝tan 45°＝1，
∴左边＝右边，
即当α＋β＝45°时，tan (α＋β)＝成立．
