第3章 图形的相似
答案：①__ __ ②__ __ ③__ __ ④__ __
⑤__ __ ⑥__ __
⑦__ __ ⑧__ __ ⑨__ __ ⑩__ __ __ __
__ __ __ __ __ __．
考点1 比例及比例线段
1．(2024·岳阳质检)如果＝，那么的值为( )
A．－ B．－ C． D．
2．(2023·大庆中考)已知＝＝，则＝__ __.
1．运用比例线段概念解决问题时，要注意四条线段的顺序.
2．比例线段时常与相似形相联系，要熟练掌握由比例到相似和相似比的转化．
特别提醒：要重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两内项之积等于两外项之积”．
考点2 相似三角形的判定与性质
3．学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7 m的小华从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8 m到达点D处，测得影子DE长是2 m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为__ __m.
4．(2023·玉林中考)如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB.
(1)求证：△DFC∽△AED；
(2)若CD＝AC，求的值．
1．当已知条件具有角相等时，首先考虑判定1，即若两角相等时，两个三角形相似．
2．有两边对应成比例时，再看其夹角是否相等，再利用判定2判定是否相似．
3．若已知三边，一般都用判定3判定两个三角形相似．
特别提醒：在确定对应关系时要注意，最长边要对应最长边，最短边要对应最短边．
考点3 相似三角形的应用
5．(2023·河北中考)图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
6．如图，小明探究“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为( )
A．4.36 mm B．29.08 mm
C．43.62 mm D．121.17 mm
1．把实际问题转化为数学模型．
2．构造相似三角形，并判定三角形相似．
3．利用相似三角形的性质得对应边成比例，通过比例式求解未知线段．
特别提醒：应用三角形相似时，要找准对应边，对应角．
考点4 位似
7．(2023·重庆中考B卷)如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B(0，1)，D(0，3)，则△OAB与△OCD的位似比是( )
A．2∶1 B．1∶2 C．3∶1 D．1∶3
8．(2023·嘉兴中考)如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是__ __．
9．(2023·黔东南州中考)已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A(2，1)、点B(2，0)、点O(0，0)，若以原点O为位似中心，位似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为__ __．
1．位似判断：相似是前提，对应点的连线都过同一点是保证.
2．作图原理：位似中心、对应点连线共线且两对应点与位似中心的距离之比等于位似比．
3．位似与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.
特别提醒：利用位似图形作图或求点的坐标有两种可能，不要漏解．
1．(2023·德阳中考)我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为－1，则该矩形的周长为__ __．
2．(2023·济南中考)如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为__ __.
3．(2023·锦州中考)如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A3落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…，Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An＋1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn.若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn＋1的面积为__ __(用含有n的式子表示).单元复习课 第3章 图形的相似
答案：①__ad＝bc__ ②__成比例__ ③__对应角__ ④__成比例__
⑤__相似__ ⑥__相等__
⑦__夹角__ ⑧__成比例__ ⑨__高__ ⑩__中线__ __相似比__
__平方__ __平行__ __k或－k__．
考点1 比例及比例线段
1．(2024·岳阳质检)如果＝，那么的值为(B)
A．－ B．－ C． D．
【解析】∵＝，∴2a－2b＝3a，
则a＝－2b，∴＝－.
2．(2023·大庆中考)已知＝＝，则＝____.
【解析】设＝＝＝k，
∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴＝＝＝.
1．运用比例线段概念解决问题时，要注意四条线段的顺序.
2．比例线段时常与相似形相联系，要熟练掌握由比例到相似和相似比的转化．
特别提醒：要重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两内项之积等于两外项之积”．
考点2 相似三角形的判定与性质
3．学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7 m的小华从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8 m到达点D处，测得影子DE长是2 m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为__8.5__m.
【解析】∵AB⊥BE，CD⊥BE，∴AB∥CD，
∴△ECD∽△EAB，∴＝，∴＝，
解得：AB＝8.5 m．
4．(2023·玉林中考)如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB.
(1)求证：△DFC∽△AED；
(2)若CD＝AC，求的值．
【解析】(1)∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，
∴∠DFC＝∠AED，又∵DE∥BC，
∴∠DCF＝∠ADE，∴△DFC∽△AED；
(2)∵CD＝AC，∴＝.
由(1)知△DFC和△AED相似，
所以相似比为：＝，
故＝＝＝.
1．当已知条件具有角相等时，首先考虑判定1，即若两角相等时，两个三角形相似．
2．有两边对应成比例时，再看其夹角是否相等，再利用判定2判定是否相似．
3．若已知三边，一般都用判定3判定两个三角形相似．
特别提醒：在确定对应关系时要注意，最长边要对应最长边，最短边要对应最短边．
考点3 相似三角形的应用
5．(2023·河北中考)图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝(C)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
【解析】如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O′作O′N⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，∴△CDO∽ABO′，
∴＝，∵OM＝15－7＝8(cm)，O′N＝11－7＝4(cm)，
∴＝，∴AB＝3 cm.
6．如图，小明探究“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为(C)
A．4.36 mm B．29.08 mm
C．43.62 mm D．121.17 mm
【解析】由题意得：CB∥DF，∴＝，
∵AD＝3 m，AB＝5 m，BC＝72.7 mm，
∴＝，∴DF＝43.62 mm.
1．把实际问题转化为数学模型．
2．构造相似三角形，并判定三角形相似．
3．利用相似三角形的性质得对应边成比例，通过比例式求解未知线段．
特别提醒：应用三角形相似时，要找准对应边，对应角．
考点4 位似
7．(2023·重庆中考B卷)如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B(0，1)，D(0，3)，则△OAB与△OCD的位似比是(D)
A．2∶1 B．1∶2 C．3∶1 D．1∶3
【解析】∵B(0，1)，D(0，3).∴OB＝1，OD＝3.
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD.∴△OAB与△OCD的位似比是OB∶OD＝1∶3.
8．(2023·嘉兴中考)如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是__(4，2)__．
【解析】如图，
点G(4，2)即为所求的位似中心．
9．(2023·黔东南州中考)已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A(2，1)、点B(2，0)、点O(0，0)，若以原点O为位似中心，位似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为__(4，2)或(－4，－2)__．
【解析】如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为E(4，2)或G(－4，－2).
1．位似判断：相似是前提，对应点的连线都过同一点是保证.
2．作图原理：位似中心、对应点连线共线且两对应点与位似中心的距离之比等于位似比．
3．位似与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.
特别提醒：利用位似图形作图或求点的坐标有两种可能，不要漏解．
1．(2023·德阳中考)我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为－1，则该矩形的周长为__2＋2或4__．
【解析】分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为×(－1)＝3－，
∴矩形的周长为：2(－1＋3－)＝4；
②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为：(－1)÷＝2，∴矩形的周长为2(－1＋2)＝2＋2.
2．(2023·济南中考)如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为____.
【解析】如图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，
由题意得，小正方形的边长为1，
∴OP＝＝＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°，
∴∠BMQ＝∠CQP＝90°－∠MQB，
同理∠EPO＝∠CQP＝90°－∠QPC，
∴∠BMQ＝∠EPO，又∠OEP＝∠B＝90°，
∴△OEP∽△QBM，
∴＝＝＝，
∴BM＝＝＝，
QB＝＝＝，
∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°，
∴∠BMQ＝∠ANM＝90°－∠AMN，
在△QBM和△MAN中，，
∴△QBM≌△MAN(AAS)，
∴AM＝QB＝，
∴AB＝BM＋AM＝＋＝.
3．(2023·锦州中考)如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A3落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…，Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An＋1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn.若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn＋1的面积为____(用含有n的式子表示).
【解析】由折叠可知，OA1＝A1A2＝，
又A1B1∥A2B2，
∴△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，
∴＝＝＝＝，
又点P1为线段A1B1的中点，
∴A1P1＝P1B1，∴A2P2＝P2B2，
则点P2为线段A2B2的中点，
同理可证，P3，P4，…，Pn依次为线段A3B3，A4B4，…AnBn的中点．∵A1B1∥A2B2，
∴△P1B1Q1∽△P2A2Q1，
∴＝＝，
则△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2Q1的A2P2上的高之比为1∶2，
∴△P1B1Q1的P1B1上的高为A1A2，
同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为A2A3…，
由折叠可知A2A3＝2，A3A4＝4，
∵∠MON＝30°，OA1＝，∴OB1＝2A1B1，
A1B1＝1，∴A2B2＝2，A3B3＝4，…
∴S四边形A1P1Q1A2＝S△A1B1A2－S△P1B1Q1
＝A1A2·A1B1－A1P1·A1A2
＝××1－××，
同理，S四边形A2P2Q2A3＝S△A2B2A3－S△P2B2Q2
＝A2A3·A2B2－A2P2·A2A3
＝×2×2－×1××2，…，
S四边形AnPnQnAn＋1＝S△AnBnAn＋1－S△PnBnQn
＝×2n－1×2n－1－×××2n－1
＝×2n－1
＝·2n－2
＝.
