期末素养评估
(第1～5章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．用配方法解一元二次方程x2－4x－5＝0时，原方程可变形为(B)
A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝9
C．(x＋2)2＝13 D．(x－2)2＝19
【解析】x2－4x－5＝0, x2－4x＝5，x2－4x＋4＝9，(x－2)2＝9.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan A的值是(D)
A． B． C． D．
【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴cos B＝＝，
设BC＝4x，AB＝5x，则AC＝3x，
∴tan A＝＝＝.
3．已知反比例函数的图象经过点P(4，－1)，则该反比例函数的图象所在的象限是(D)
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【解析】设反比例函数的表达式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点P(4，－1)，
∴k＝－4＜0，则它的图象在第二、四象限．
4．(2024·长沙期末)积极行动起来，共建节约型社会！我市某居民小区200户家庭参加了节水行动，现统计了10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如表：
节水量/吨 0.5 1 1.5 2
家庭数/户 4 3 2 1
请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是(C)
A．100吨 B．180吨
C．200吨 D．250吨
【解析】∵抽查的10户家庭这个月节约用水的平均数为＝1(吨)，
∴估计该200户家庭这个月节约用水的总量是200×1＝200(吨).
5．如图，直线y1＝x＋1与双曲线y2＝交于A(2，m)，B(－6，n)两点．则当y1A．x>－6或02
C．x<－6或0【解析】根据题图可得当y16．(2023·宁波中考)如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD＝.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为(C)
A. B． C．1 D．
【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠B＝45°，BD＝，∴AD＝BD＝，
∵∠C＝60°，∴DC＝＝＝1，
∴AC＝2DC＝2，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF＝AC＝1.
7．(2024·南昌质检)已知m，n是一元二次方程x2＋x－2 022＝0的两个实数根，则代数式m2＋2m＋n的值等于(C)
A．2 019 B．2 020
C．2 021 D．2 022
【解析】∵m是一元二次方程x2＋x－2 022＝0的实数根，
∴m2＋m－2 022＝0，
∴m2＋m＝2 022，
∴m2＋2m＋n＝m2＋m＋m＋n＝2 022＋m＋n，
∵m，n是一元二次方程x2＋x－2 022＝0的两个实数根，∴m＋n＝－1，
∴m2＋2m＋n＝2 022－1＝2 021.
8．已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，Rt△ABC的两条直角边分别为3和4，Rt△A′B′C′的斜边为25.则两条直角边分别为(D)
A．4，5 B．10，5
C．5，20 D．15，20
【解析】∵Rt△ABC的两条直角边分别为3，4，由勾股定理可得Rt△ABC的斜边＝＝5，∵Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∴相似比＝＝，∴Rt△A′B′C′的两直角边长为3×5＝15，4×5＝20.
9．△ABC位似于△DEF，它们的周长比为2∶3，已知位似中心O到A的距离为3，那么O到D的距离为(B)
A．4 B．4.5 C．6 D．9
【解析】∵△ABC位似于△DEF，
∴△ABC∽△DEF，
∵△ABC与△DEF的周长比为2∶3，
∴△ABC与△DEF的相似比为2∶3，
∵位似中心O到A的距离为3，
∴O到D的距离为3×＝4.5.
10．(2023·巴中中考)如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是(A)
A.sin B＝ B．sin C＝
C．tan B＝ D．sin2B＋sin2C＝1
【解析】由勾股定理得：AB＝＝2，
AC＝＝，BC＝＝，
∴BC2＝AB2＋AC 2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴sin B＝＝＝，sin C＝＝＝，tan B＝＝＝，sin2B＋sin2C＝＋＝1.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(2023·永州中考)某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中A班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩(投篮命中个数)折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策A班应该选择的同学是__甲__．
【解析】根据折线统计图可得，
甲的投篮技能测试成绩起伏小，比较平稳，乙的投篮技能测试成绩起伏大，不稳定，
因此A班应该选择的同学是甲．
12．(2023·湘潭中考)如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：__∠ADE＝∠C(答案不唯一)__，使得△ADE与△ABC相似．(任意写出一个满足条件的即可)
【解析】添加∠ADE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.
13．已知方程(k－2)x2－3x＋5＝0有两个实数根，则k的取值范围为 ．
【解析】∵方程(k－2)x2－3x＋5＝0有两个实数根，
∴k－2≠0，即k≠2，且Δ≥0，即(－3)2－4(k－2)×5≥0，解得k≤，∴k的取值范围为k≤且k≠2.
14．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD∶AC的值为．
【解析】∵BC＝AB＝3BD，
∴＝＝，
∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA，
∴＝＝，∴AD∶AC＝.
15．如图，在平面直角坐标系中，一条过原点的直线与反比例函数y＝(k>0)的图象相交于A，B两点，若A(m，－2)，B(－m，m2－7)，则该反比例函数的表达式为．
【解析】∵一条过原点的直线与反比例函数y＝(k>0)的图象相交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，∴m2－7＝2，∴m＝±3，
∵点A在第三象限，∴m<0，
∴m＝－3，∴点A(－3，－2)，
∵点A在反比例函数y＝(k>0)的图象上，
∴k＝－3×(－2)＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝.
16．(2024·成都期中)已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0，如果该方程的两个实数根都是符号相同的整数，则整数m的值为__1__.
【解析】根据题意得Δ＝(－4)2－4(－2m＋5)＞0，解得m>.
设x1，x2是方程的两根，
根据题意得x1＋x2＝4＞0，x1x2＝－2m＋5＞0，解得m<.
所以m的范围为因为m为整数，所以m＝1或m＝2，
当m＝1时，方程两根都是整数；当m＝2时，方程两根都不是整数；
所以整数m的值为1.
17．(2023·娄底中考)高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB，∠CBE＝α，过B作AD的垂线，垂足为A′(A点的视觉错觉点)，若sinα＝0.05，AB＝300 mm，则AA′＝__15__mm.
【解析】∵BA′⊥AD，AD∥BC，
∴A′B⊥BC，
∴∠A′BC＝∠ABE＝90°，
∴∠ABA′＝∠CBE＝α，
∵sin ∠A′BA＝sin α＝＝0.05，
∴AA′＝300×0.05＝15(mm).
18．(2023·益阳中考)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan ∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于．
【解析】由旋转的性质可知，∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴＝，∴△ACC′∽△ABB′，
∴＝，
∵∠CAB＝90°，
∴tan ∠ABC＝＝，
∴＝＝.
三、解答题(共66分)
19．(6分)(1)(2023·沈阳中考)计算：(π－2 021)0－3tan 30°＋|1－|＋()－2.
【解析】(π－2 021)0－3tan 30°＋|1－|＋()－2＝1－3×＋－1＋4＝1－＋－1＋4＝4.
(2)(2023·济南中考)计算：＋(π－1)0＋|－3|－2tan 45°.
【解析】＋(π－1)0＋|－3|－2tan 45°＝4＋1＋3－2×1＝8－2＝6.
20．(8分)(2023·金华中考)已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2.
(1)求矩形对角线的长．
(2)过O作OE⊥AD于点E，连接BE.记∠ABE＝α，求tan α的值．
【解析】(1)∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO，
∵AB＝2，
∴BO＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴矩形对角线的长为4；
(2)由勾股定理得：AD＝＝＝2，
∵OA＝OD，OE⊥AD于点E，
∴AE＝DE＝AD＝，
∴tan α＝＝.
21．(8分)某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工参加该旅行社的旅游，共支付该旅行社旅游费用15 750元，请问：
(1)该单位这次去旅游，员工有没有超过20人？
(2)该单位这次共有多少员工去旅游？
【解析】(1)因为600×20＝12 000＜15 750，所以员工人数一定超过20人．
(2)设该单位这次共有x名员工去旅游，根据题意列方程得：[600－10(x－20)]x＝15 750.
整理得x2－80x＋1 575＝0，
即(x－45)(x－35)＝0，
解得x1＝45，x2＝35.
当x1＝45时，600－10(x－20)＝350＜420，不符合题意，
故舍去x1；
当x2＝35时，600－10(x－20)＝450＞420，
符合题意．
答：该单位这次共有35名员工去旅游．
22．(8分)(2023·通辽中考)暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩(得分取整数，满分为100分)，整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
其中A组的频数a比B组的频数b小15.请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次共抽取______名学生，a的值为______；
(2)在扇形统计图中，n＝________，E组所占比例为________%；
(3)补全频数分布直方图；
(4)若全校共有1 500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．
【解析】(1)A组的频数a比B组的频数b小15，A组的频率比B组的频率小18%－8%＝10%，
因此调查人数为：15÷(18%－8%)＝150(人)，a＝150×8%＝12(人).
答案：150 12
(2)360°×＝360°×40%＝144°，即n＝144，“E组”所占的百分比为1－8%－18%－30%－40%＝4%.
答案：144 4
(3)b＝a＋15＝27(人)，“C组”频数为：150×30%＝45(人)，
“E组”频数为：150×4%＝6(人).
补全频数分布直方图如图所示：
(4)1 500×＝660(人).
答：估计成绩在80分以上的学生人数为660人．
23．(10分)如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A(4，3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)已知点C(0，5)，若该一次函数图象上存在一点D，满足DB＝DC，求此时点D的坐标．
【解析】(1)把点A(4，3)代入函数y＝得a＝3×4＝12，
∴y＝，OA＝＝5，
∵OA＝OB，∴OB＝5，
∴点B的坐标为(0，－5)，
把B(0，－5)，A(4，3)代入y＝kx＋b
得
解得∴y＝2x－5.
(2)∵点D在一次函数y＝2x－5上，
∴设点D的坐标为(x，2x－5)，
∵DB＝DC，
∴＝，
解得x＝2.5，∴点D的坐标为(2.5，0).
【加固训练】
(8分)(2023·永州中考)已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：＝＝.
(1)如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示)，若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin ∠ACB＝，求景观桥CD的长度．
【解析】(1)∵∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠A＝60°，
∵＝＝，
∴＝，∴b＝2；
(2)∵＝，
∴＝，
∴sin B＝，
∴∠B＝60°，
∴tan B＝＝，
∴BD＝CD，
∵AC2＝CD2＋AD2，
∴196＝CD2＋(10－CD)2，
∴CD＝8，CD＝－3(舍去)，
∴CD的长度为8 米．
24．(12分)如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B，C，E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F.
(1)若AD2＝DF·DB，求证：AD＝BF；
(2)若∠BAD＝90°，BE＝6.
①求tan ∠DBE的值；②求DF的长．
【解析】(1)∵AD2＝DF·DB，∴＝，
∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，
∴∠ABD＝∠FAD，
∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAF，
∴△ADC≌△BFA(ASA)，∴AD＝BF.
(2)①过点D作DG⊥BE于点G.
∵∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝AC，∴CE＝BC，
∵BE＝6，∴CE＝2，BC＝4，
∴CG＝EG＝1，BG＝5，DG＝，
∴tan ∠DBE＝＝.
②在Rt△BDG中，
∵∠BGD＝90°，DG＝，BG＝5，
∴BD＝＝＝2，
∵∠ABC＝∠DCE＝60°，
∴CD∥AB，∴△CDF∽△ABF，
∴＝＝，∴＝，∴DF＝.
25．(14分)问题背景：如图(1)，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：如图(2)，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；
拓展创新：如图(3)，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．
【解析】问题背景
∵△ABC∽△ADE，
∴＝，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，＝，
∴△ABD∽△ACE；
尝试应用
如图1，连接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由“问题背景”知△ABD∽△ACE，
∴＝＝，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴＝，∴＝×＝×＝3.
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，∴＝＝3.
拓展创新
如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，∴＝，
又∠BDC＝∠ADM，
∴∠BDC＋∠CDM＝∠ADM＋∠MDC，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，∴＝＝，
∵AC＝2，∴BM＝2×＝6，
∴AM＝＝＝2，
∴AD＝AM＝.期末素养评估
(第1～5章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．用配方法解一元二次方程x2－4x－5＝0时，原方程可变形为( )
A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝9
C．(x＋2)2＝13 D．(x－2)2＝19
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan A的值是( )
A． B． C． D．
3．已知反比例函数的图象经过点P(4，－1)，则该反比例函数的图象所在的象限是( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
4．(2024·长沙期末)积极行动起来，共建节约型社会！我市某居民小区200户家庭参加了节水行动，现统计了10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如表：
节水量/吨 0.5 1 1.5 2
家庭数/户 4 3 2 1
请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是( )
A．100吨 B．180吨
C．200吨 D．250吨
5．如图，直线y1＝x＋1与双曲线y2＝交于A(2，m)，B(－6，n)两点．则当y1A．x>－6或02
C．x<－6或06．(2023·宁波中考)如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD＝.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )
A. B． C．1 D．
7．(2024·南昌质检)已知m，n是一元二次方程x2＋x－2 022＝0的两个实数根，则代数式m2＋2m＋n的值等于( )
A．2 019 B．2 020
C．2 021 D．2 022
8．已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，Rt△ABC的两条直角边分别为3和4，Rt△A′B′C′的斜边为25.则两条直角边分别为( )
A．4，5 B．10，5
C．5，20 D．15，20
9．△ABC位似于△DEF，它们的周长比为2∶3，已知位似中心O到A的距离为3，那么O到D的距离为( )
A．4 B．4.5 C．6 D．9
10．(2023·巴中中考)如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是( )
A.sin B＝ B．sin C＝
C．tan B＝ D．sin2B＋sin2C＝1
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(2023·永州中考)某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中A班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩(投篮命中个数)折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策A班应该选择的同学是__ __．
12．(2023·湘潭中考)如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：__ __，使得△ADE与△ABC相似．(任意写出一个满足条件的即可)
13．已知方程(k－2)x2－3x＋5＝0有两个实数根，则k的取值范围为 ．
14．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD∶AC的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，一条过原点的直线与反比例函数y＝(k>0)的图象相交于A，B两点，若A(m，－2)，B(－m，m2－7)，则该反比例函数的表达式为 ．
16．(2024·成都期中)已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0，如果该方程的两个实数根都是符号相同的整数，则整数m的值为__ __.
17．(2023·娄底中考)高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB，∠CBE＝α，过B作AD的垂线，垂足为A′(A点的视觉错觉点)，若sinα＝0.05，AB＝300 mm，则AA′＝__ __mm.
18．(2023·益阳中考)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan ∠ABC＝，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 ．
三、解答题(共66分)
19．(6分)(1)(2023·沈阳中考)计算：(π－2 021)0－3tan 30°＋|1－|＋()－2.
(2)(2023·济南中考)计算：＋(π－1)0＋|－3|－2tan 45°.
20．(8分)(2023·金华中考)已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2.
(1)求矩形对角线的长．
(2)过O作OE⊥AD于点E，连接BE.记∠ABE＝α，求tan α的值．
21．(8分)某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工参加该旅行社的旅游，共支付该旅行社旅游费用15 750元，请问：
(1)该单位这次去旅游，员工有没有超过20人？
(2)该单位这次共有多少员工去旅游？
22．(8分)(2023·通辽中考)暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩(得分取整数，满分为100分)，整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
其中A组的频数a比B组的频数b小15.请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次共抽取______名学生，a的值为______；
(2)在扇形统计图中，n＝________，E组所占比例为________%；
(3)补全频数分布直方图；
(4)若全校共有1 500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．
．
23．(10分)如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A(4，3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)已知点C(0，5)，若该一次函数图象上存在一点D，满足DB＝DC，求此时点D的坐标．
【加固训练】
(8分)(2023·永州中考)已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：＝＝.
(1)如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示)，若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin ∠ACB＝，求景观桥CD的长度．
24．(12分)如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B，C，E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F.
(1)若AD2＝DF·DB，求证：AD＝BF；
(2)若∠BAD＝90°，BE＝6.
①求tan ∠DBE的值；②求DF的长．
25．(14分)问题背景：如图(1)，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：如图(2)，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；
拓展创新：如图(3)，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．
