期中素养评估
(第1、2章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是( )
A．(2，4) B．(－1，8)
C．(2，－4) D．(－16，－2)
2．(2024·岳阳质检)一元二次方程4x2－4x＋1＝0的根的情况是( )
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
3．(2024·成都期中)对于反比例函数y＝，下列说法正确的是( )
A．它的图象分布在第二、四象限
B．它的图象关于直线y＝x对称
C．点(－5，1)在它的图象上
D．当x1>x2时，y1＜y2
4．(2023·玉林中考)已知关于x的一元二次方程：x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则( )
A．x1＋x2＜0 B．x1x2＜0
C．x1x2>－1 D．x1x2＜1
5．(2023·襄阳中考)随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5 000元，现在生产一吨药的成本是4 050元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是( )
A．5 000(1＋x)2＝4 050
B．4 050(1＋x)2＝5 000
C．5 000(1－x)2＝4 050
D．4 050(1－x)2＝5 000
6．(2024·娄底质检)关于x的一元二次方程x2＋(m＋4)x＋m2＝0有实数根，则m的最小整数值为( )
A．0 B．－1 C．－2 D．－3
7．(2023·广安中考)若点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)都在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C.若OA＝2BC，则b的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．(2023·南充中考)已知方程x2－2 021x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x－的值为( )
A．1 B．－1
C．2 021 D．－2 021
10．(2023·重庆中考B卷)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝(k>0，x>0)的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF.若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为( )
A． B． C．2 D．3
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0的一个根，则k的值为__ __.
12．(2023·铜仁中考)如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y＝(x>0)的图象上，矩形ABOC的面积为3，则k＝__ __．
13．若a，b为方程x2－4(x＋1)＝1的两根，则2a＋b的值为__ __．
14．若12xm－1y2与3xyn＋1是同类项，点P(m，n)在双曲线y＝上，则a的值为__ __．
15．若m，n是方程x2－3x－1＝0的解，则m2－4m－n的值是__ __.
16．(2023·达州中考)如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝(x＜0)的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝__ __．
17．观察下列一组方程：
①x2－x＝0；②x2－3x＋2＝0；③x2－5x＋6＝0；④x2－7x＋12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若x2＋kx＋56＝0也是“连根一元二次方程”，则k的值为__ __，第n个方程为__ __．
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO＝AD.过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE＝4CE.反比例函数y＝(x>0)的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF.若S△EOF＝，则k的值为__ __．
三、解答题(共66分)
19．(8分)(2024·娄底期中)解方程：
(1)(x－2)2＝3(x－2)；
(2)3x2＋7x＋2＝0.
20．(8分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，反比例函数y＝(x>0)的图象经过点(1，6)，菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在x轴上．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)求菱形OABC的面积．
21．(8分)(2023·淄博中考)为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2 300万元，今年第一季度产值是3 200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．
科学计算器按键顺序 计算结果(已取近似值) 解答过程中可直接使用表格中的数据哟！
1.18
1.39
1.64
(1)求该公司每个季度产值的平均增长率；
(2)问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．
22．(10分)(2024·邵阳期末)在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2.
(1)y关于x的函数表达式是________，x的取值范围是________；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
(3)将直线y＝－x＋3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
23．(10分)(2023·长沙质检)如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝－1，则方程x2＋x＝0是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；
①x2－x－6＝0；
②2x2－2x＋1＝0.
(2)已知关于x的方程x2－(m－1)x－m＝0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a，b是常数，a>0)是“邻根方程”，令t＝12a－b2，试求t的最大值．
【加固训练】
下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应问题：
数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：( )，现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6 080元，且顾客能够得到更大的实惠？
解：设…，
根据题意，所列出方程：
(20－x)＝6 080，
…
根据小明所列方程，完成下列任务：
(1)填空：数学问题中括号处短缺的条件是________________，小明所列方程中未知数x的实际意义是__________________．
(2)请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题．
24．(10分)如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD.与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙).用砌60米长的墙的材料．
(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)能否围成480平方米的矩形花园，为什么？
25．(12分)(2023·金华中考)背景：点A在反比例函数y＝(k>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3.
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
(1)求k的值．
(2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x>0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质(两条即可).
③过点(3，2)作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．期中素养评估
(第1、2章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是(A)
A．(2，4) B．(－1，8)
C．(2，－4) D．(－16，－2)
【解析】将各组数据分别代入，满足关系的是选项A.
2．(2024·岳阳质检)一元二次方程4x2－4x＋1＝0的根的情况是(C)
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【解析】∵Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
∴一元二次方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实数根．
3．(2024·成都期中)对于反比例函数y＝，下列说法正确的是(B)
A．它的图象分布在第二、四象限
B．它的图象关于直线y＝x对称
C．点(－5，1)在它的图象上
D．当x1>x2时，y1＜y2
【解析】∵反比例函数y＝，k＝5>0，
∴该函数图象在第一、三象限；
它的图象关于直线y＝x对称；
当x＝－5时，y＝－1，
即该函数不过点(－5，1)；
当x>0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B符合题意．
4．(2023·玉林中考)已知关于x的一元二次方程：x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则(D)
A．x1＋x2＜0 B．x1x2＜0
C．x1x2>－1 D．x1x2＜1
【解析】根据题意得Δ＝(－2)2－4m>0，
解得m＜1，
所以x1＋x2＝2，x1x2＝m＜1.
5．(2023·襄阳中考)随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5 000元，现在生产一吨药的成本是4 050元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是(C)
A．5 000(1＋x)2＝4 050
B．4 050(1＋x)2＝5 000
C．5 000(1－x)2＝4 050
D．4 050(1－x)2＝5 000
【解析】设这种药品成本的年平均下降率是x，根据题意得：5 000(1－x)2＝4 050.
6．(2024·娄底质检)关于x的一元二次方程x2＋(m＋4)x＋m2＝0有实数根，则m的最小整数值为(C)
A．0 B．－1 C．－2 D．－3
【解析】根据题意得Δ＝(m＋4)2－4×m2≥0，
解得m≥－2，
所以m的最小整数值为－2.
7．(2023·广安中考)若点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)都在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(A)
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【解析】∵反比例函数y＝中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵－3＜0，－1＜0，
∴点A(－3，y1)，B(－1，y2)位于第二象限，
∴y1>0，y2>0，
∵－3＜－1＜0，
∴0＜y1＜y2.
∵2>0，
∴点C(2，y3)位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2.
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C.若OA＝2BC，则b的值为(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】∵直线y＝x与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点A，
∴解x＝求得x＝±2，
∴A的横坐标为2，
∵OA＝2BC，∴C的横坐标为1，
把x＝1代入y＝得，y＝4，∴C(1，4)，
∵将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，得到直线y＝x＋b，
∴把C的坐标代入得4＝1＋b，求得b＝3.
9．(2023·南充中考)已知方程x2－2 021x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x－的值为(B)
A．1 B．－1
C．2 021 D．－2 021
【解析】∵方程x2－2 021x＋1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝2 021，x－2 021x1＋1＝0，
x－2 021x2＋1＝0，
∵x2≠0，
∴x2－2 021＋＝0，
∴－＝x2－2 021，
∴－＝2 021x2－2 0212，
∴x－＝2 021x1－1＋2 021x2－2 0212
＝2 021(x1＋x2)－1－2 0212
＝2 0212－1－2 0212
＝－1.
10．(2023·重庆中考B卷)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝(k>0，x>0)的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF.若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为(D)
A． B． C．2 D．3
【解析】设A(a，0)，
∵矩形ABCD，∴D，
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为，
∴E，
∵E为AC的中点，∴点C，
∴点F，
∵△AEF的面积为1，AE＝EC，∴S△ACF＝2，
∴××2a＝2，解得k＝3.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0的一个根，则k的值为__－3__.
【解析】把x＝2代入方程得4k＋2k2－4＋2k＋4＝0，又k≠0，解得k＝－3.
12．(2023·铜仁中考)如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y＝(x>0)的图象上，矩形ABOC的面积为3，则k＝__3__．
【解析】∵矩形ABOC的面积为3，
∴|k|＝3，
又∵k>0，
∴k＝3.
13．若a，b为方程x2－4(x＋1)＝1的两根，则2a＋b的值为__9或3__．
【解析】∵x2－4(x＋1)＝1，
∴x2－4x－5＝0，
∴(x－5)(x＋1)＝0，
∴x－5＝0或x＋1＝0，
∴x1＝5，x2＝－1，
∴2a＋b＝9或3.
14．若12xm－1y2与3xyn＋1是同类项，点P(m，n)在双曲线y＝上，则a的值为__3__．
【解析】∵12xm－1y2与3xyn＋1是同类项，
∴m－1＝1，n＋1＝2，解得m＝2，n＝1，
∴P(2，1).
∵点P(m，n)在双曲线y＝上，
∴a－1＝2，解得a＝3.
15．若m，n是方程x2－3x－1＝0的解，则m2－4m－n的值是__－2__.
【解析】∵m是方程x2－3x－1＝0的解，
∴m2－3m－1＝0，
∴m2＝3m＋1，
∴m2－4m－n＝3m＋1－4m－n＝－(m＋n)＋1，
∵m，n是方程x2－3x－1＝0的解，
∴m＋n＝3，
∴m2－4m－n＝－(m＋n)＋1＝－3＋1＝－2.
16．(2023·达州中考)如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝(x＜0)的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝__－12__．
【解析】过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，
在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，
∴FN＝MN＝1，
又∵FG＝4，
∴NA＝MB＝FG－FN＝4－1＝3，
设OA＝a，则OB＝a＋1，
∴点F(－a，4)，M(－a－1，3)，
又∵反比例函数y＝(x＜0)的图象恰好经过点F，M，
∴k＝－4a＝3(－a－1)，
解得a＝3，
∴k＝－4a＝－12.
17．观察下列一组方程：
①x2－x＝0；②x2－3x＋2＝0；③x2－5x＋6＝0；④x2－7x＋12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若x2＋kx＋56＝0也是“连根一元二次方程”，则k的值为__－15__，第n个方程为__x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0__．
【解析】由题意可得：k＝－15，则原方程为：x2－15x＋56＝0，
则(x－7)(x－8)＝0，
解得：x1＝7，x2＝8；
第n个方程为：x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，
解得：x1＝n－1，x2＝n.
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO＝AD.过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE＝4CE.反比例函数y＝(x>0)的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF.若S△EOF＝，则k的值为____．
【解析】延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，如图，
∵AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD，
∴AG⊥x轴．
∵AO⊥AD，∴∠DAE＋∠OAG＝90°.
∵AE⊥CD，∴∠DAE＋∠D＝90°.
∴∠D＝∠OAG.
在△DAE和△AOG中，
，
∴△DAE≌△AOG(AAS).
∴DE＝AG，AE＝OG.
∵四边形ABCD是菱形，DE＝4CE，
∴AD＝CD＝DE.
设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，
∴OG＝AE＝＝3a，
∴EG＝AE＋AG＝7a，∴E(3a，7a).
∵反比例函数y＝(x>0)的图象经过点E，
∴k＝21a2.
∵AG⊥GH，FH⊥GH，AF⊥AG，
∴四边形AGHF为矩形，
∴HF＝AG＝4a.
∵点F在反比例函数y＝(x>0)的图象上，
∴x＝＝a，∴F.
∴OH＝a，
∴GH＝OH－OG＝a.
∵S△OEF＝S△OEG＋S梯形EGHF－S△OFH＝，
∴×OG×EG＋(EG＋FH)·GH－OH×HF＝，
∴×21a2＋×11a×a－×21a2＝，
解得a2＝，
∴k＝21a2＝21×＝.
三、解答题(共66分)
19．(8分)(2024·娄底期中)解方程：
(1)(x－2)2＝3(x－2)；
(2)3x2＋7x＋2＝0.
【解析】(1)(x－2)2－3(x－2)＝0，
(x－2)(x－2－3)＝0，
x－2＝0或x－2－3＝0，
∴x1＝2，x2＝5；
(2)(3x＋1)(x＋2)＝0，
3x＋1＝0或x＋2＝0，
∴x1＝－，x2＝－2.
20．(8分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，反比例函数y＝(x>0)的图象经过点(1，6)，菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在x轴上．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)求菱形OABC的面积．
【解析】(1)∵反比例函数y＝的图象经过点(1，6)，∴6＝，即k＝6，
∴所求反比例函数的关系式为y＝；
(2)如图，连接AC交x轴于点D，
∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB.
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴△AOD的面积＝×6＝3，
∴菱形OABC的面积＝4×△AOD的面积＝12.
21．(8分)(2023·淄博中考)为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2 300万元，今年第一季度产值是3 200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．
科学计算器按键顺序 计算结果(已取近似值) 解答过程中可直接使用表格中的数据哟！
1.18
1.39
1.64
(1)求该公司每个季度产值的平均增长率；
(2)问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．
【解析】(1)设该公司每个季度产值的平均增长率为x，
依题意得：2 300(1＋x)2＝3 200，
解得x1＝0.18＝18%，x2＝－2.18(不合题意，舍去).
答：该公司每个季度产值的平均增长率为18%.
(2)该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下：
3 200＋3 200×(1＋18%)＋3 200×(1＋18%)2＋3 200×(1＋18%)3
＝3 200＋3 200×1.18＋3 200×1.39＋3 200×1.64
＝3 200＋3 776＋4 448＋5 248
＝16 672(万元)，
1．6亿元＝16 000万元，
∵16 672>16 000，
∴该公司今年总产值能超过1.6亿元．
22．(10分)(2024·邵阳期末)在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2.
(1)y关于x的函数表达式是________，x的取值范围是________；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
(3)将直线y＝－x＋3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
【解析】(1)∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，
∴xy＝2，
∴xy＝4，
∴y关于x的函数表达式是y＝，
x的取值范围为x>0.
答案：y＝ x>0
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；
(3)将直线y＝－x＋3向上平移a(a>0)个单位长度后表达式为y＝－x＋3＋a，
解，
整理得，x2－(3＋a)x＋4＝0，
∵平移后的直线与反比例函数图象有且只有一个交点，
∴Δ＝(3＋a)2－16＝0，
解得a＝1，a＝－7(不合题意，舍去)，
故此时a的值为1.
23．(10分)(2023·长沙质检)如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝－1，则方程x2＋x＝0是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；
①x2－x－6＝0；
②2x2－2x＋1＝0.
(2)已知关于x的方程x2－(m－1)x－m＝0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a，b是常数，a>0)是“邻根方程”，令t＝12a－b2，试求t的最大值．
【解析】(1)①解方程得(x－3)(x＋2)＝0，
x＝3或x＝－2，
∵3≠－2＋1，
∴x2－x－6＝0不是“邻根方程”；
②x＝＝，
∵＝＋1，
∴2x2－2x＋1＝0是“邻根方程”．
(2)解方程得(x－m)(x＋1)＝0，
∴x＝m或x＝－1，
∵方程x2－(m－1)x－m＝0(m是常数)是“邻根方程”，
∴m＝－1＋1或m＝－1－1，
∴m＝0或－2.
(3)解方程得x＝，
∵关于x的方程ax2＋bx＋1＝0(a，b是常数，a>0)是“邻根方程”，
∴－＝1，
∴b2＝a2＋4a，
∵t＝12a－b2，
∴t＝8a－a2＝－(a－4)2＋16，
∵a>0，∴当a＝4时，t的最大值为16.
【加固训练】
下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应问题：
数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：( )，现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6 080元，且顾客能够得到更大的实惠？
解：设…，
根据题意，所列出方程：
(20－x)＝6 080，
…
根据小明所列方程，完成下列任务：
(1)填空：数学问题中括号处短缺的条件是________________，小明所列方程中未知数x的实际意义是__________________．
(2)请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题．
【解析】(1)由题意可得：售价为每件60元时，商品的单价利润为60－40＝20(元)，
由所列方程中(20－x)表示单价利润降低了x元，说明其售价降低了x元，
由所列方程中表示商品销售量提高了件，说明其售价每降低2元，商品销售量增加40件，
∴短缺的条件是：售价每降低2元，销售量增加40件；
小明所列方程中未知数x的实际意义是“售价降低了x元”．
答案：售价每降低2元，销售量增加40件 售价降低了x元
(2)设商品定价为y元时，每个星期的利润达到6 080元，由题意可得：
(y－40)＝6 080，
整理，得：y2－115y＋3 304＝0，
解得y1＝56，y2＝59，
又∵要让顾客能够得到更大的实惠，
∴商品应该定价为56元．
24．(10分)如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD.与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙).用砌60米长的墙的材料．
(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)能否围成480平方米的矩形花园，为什么？
【解析】设矩形花园ABCD的BC边长为x米，则其宽为(60－x＋2)米，
(1)依题意列方程得：(60－x＋2)x＝300，
x2－62x＋600＝0，
解这个方程得：x1＝12，x2＝50，
∵28<50，
∴x2＝50不合题意，舍去，∴x＝12.
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米．
(2)(60－x＋2)x＝480，x2－62x＋960＝0，
解这个方程得：x1＝32，x2＝30，
∵28<30<32，
∴x1＝32与x2＝30均不合题意，舍去．
答：不能围成480平方米的矩形花园．
25．(12分)(2023·金华中考)背景：点A在反比例函数y＝(k>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3.
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
(1)求k的值．
(2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x>0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质(两条即可).
③过点(3，2)作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
【解析】(1)∵AC＝4，CD＝3，
∴AD＝AC－CD＝1，
∵四边形ABED是正方形，∴AB＝1，
∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，
∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°，
∴四边形ABOC是矩形，
∴OB＝AC＝4，
∴A(4，1)，∴k＝4.
(2)①由题意，A(x，x－z)，
∴x(x－z)＝4，∴z＝x－.
②图象如图所示．
性质1：x>0时，y随x的增大而增大．
性质2：x＜0时，y随x的增大而增大．
③设直线的表达式为y＝kx＋b，
把(3，2)代入得到，2＝3k＋b，
∴b＝2－3k，
∴直线的表达式为y＝kx＋2－3k，
由，
消去y得到，(k－1)x2＋(2－3k)x＋4＝0，
当Δ＝0时，(2－3k)2－4(k－1)×4＝0，
解得k＝或2，
当k＝时，方程为x2－x＋4＝0，
解得x＝6.
当k＝2时，方程为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或6.
