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8第22章《二次函数》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为x＝﹣2
B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3
D．函数与y轴交点为（0，﹣3）
【思路点拔】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
解：∵二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），
∵﹣3＜0
∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为y＝﹣3，
当x＝0时，y＝﹣15，故函数与y轴交点为（0，﹣15），
∴A、B、D选项错误，C选项正确，
故选：C．
2．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么实数a、b、c的取值范围是 （ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＞0．
【思路点拔】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴的位置判断b与0的关系．
解：∵图象开口向上，
∴a＞0
∵对称轴在y轴左侧，
∴b＞0
∵图象与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
故选：A．
3．（3分）将抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+5）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2+1 D．y＝﹣（x+5）2+1
【思路点拔】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x+5）2﹣3，
故选：B．
4．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+3经过点（2，3），且函数最大值为4，则a的值为（ ）
A． B．﹣1 C．﹣2 D．
【思路点拔】把（2，3）代入y＝ax2+bx+3得到1，二次函数可化为y＝a（x﹣1）2+3﹣a，由函数最大值为4可求出a．
解：把（2，3）代入y＝ax2+bx+3得4a+2b+3＝3，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴为x1，
∴y＝a（x﹣1）2+3﹣a，
∵函数最大值为4，
∴3﹣a＝4且a＜0，
∴a＝﹣1，
故选：B．
5．（3分）若二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（ ）
A． B．且k≠0
C． D．且k≠0
【思路点拔】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到Δ＝32﹣4k×（﹣1）≥0，然后解不等式即可得到k的值．
解：∵二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝32﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k，
又∵y＝kx2﹣4x+4是二次函数，
∴k≠0，
∴k的取值范围是k且k≠0．
故选：D．
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5
y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12
给出了结论：
（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；
（2）若y＜0，则x的取值范围为0＜x＜2；
（3）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．
则其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拔】根据表格数据，利用二次函数的对称性和抛物线与x轴的交点的纵坐标为0对各小题分析判断即可得解．
解：（1）由表可知，x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4，故本小题正确；
（2）若y＜0，则x的取值范围为﹣1＜x＜3，故本小题错误；
（3）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0），（3，0），它们分别在y轴两侧正确，故本小题正确；
综上所述，正确结论的个数是2．
故选：C．
7．（3分）如图，庄子大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需（ ）
A．18秒 B．36秒 C．38秒 D．46秒
【思路点拔】10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则A，B一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC之间的时间．
解：如图所示：
设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称．则从A到B需要16秒，则从A到D需要8秒．
∴从O到D需要10+8＝18秒．
∴从O到C需要2×18＝36秒．
故选：B．
8．（3分）已知学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1，则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后1s和点火后3s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．火箭升空的最大高度为145m
D．点火后10s的升空高度为139m
【思路点拔】分别求出t＝1、3、24、10时h的值可判断A、B、D三个选项，将解析式配方成顶点式可判断C选项．
解：A、当t＝1时，h＝24；当t＝3时，h＝64；所以点火后1s和点火后3s的升空高度不相同，此选项错误，不符合题意；
B、当t＝24时，h＝1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误，不符合题意；
C、由h＝﹣t2+24t+1＝﹣（t﹣12）2+145得：火箭升空的最大高度为145m，此选项正确，符合题意；
D、当t＝10时，h＝141m，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
9．（3分）二次函数a，b为实数，a＜0）的图象对称轴为直线x＝2，且经过点（m，n）．若二次函数的图象经过点（m﹣2，n），则关于x的方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝6
【思路点拔】依据题意，二次函数的图象是由二次函数a，b为实数，a＜0）的图象向右平移2个单位得到，从而可得当点（m，n）在y1上时，有（m+2，n）在y2上，且平移后对称轴是直线x＝4，又点（m﹣2，n）在y2上，则的对称轴是直线m＝4，故点（2，n），（6，n）在的图象，进而可以判断得解．
解：由题意，二次函数的图象是由二次函数a，b为实数，a＜0）的图象向右平移2个单位得到，
∴当点（m，n）在y1上时，有（m+2，n）在y2上，且平移后对称轴是直线x＝4．
∵点（m﹣2，n）在y2上，
∴的对称轴是直线m＝4．
∴点（2，n），（6，n）在的图象上．
∴方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是x1＝2，x2＝6．
故选：D．
10．（3分）我们定义：若点A在某一个函数的图象上，且点A的横纵坐标相等，我们称点A为这个函数的“好点”．若关于x的二次函数y＝ax2+tx﹣3t对于任意的常数t，恒有两个“好点”，则a的取值范围为（ ）
A． B．0＜a C．a D．a＜1
【思路点拔】“好点”A的横纵坐标相等，即：x＝y＝ax2+tx﹣3t（a≠0），Δ＝（t﹣1）2+12at＞0，整理得：t2﹣（2﹣12a）t+1＝0，△′＝（2﹣12a）2﹣4＜0，即可求解．
解：“好点”A的横纵坐标相等，
∴x＝y＝ax2+tx﹣3t（a≠0），
∴ax2+（t﹣1）x﹣3t＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（t﹣1）2+12at＞0，
整理得：t2﹣（2﹣12a）t+1＞0，
∵1＞0，故当△′＜0时，抛物线开口向上，且与x轴没有交点，
故上式成立，
△′＝（2﹣12a）2﹣4＜0，
解得：0＜a，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）抛物线y＝x2+x+4与y轴交点坐标为 （0，4） ．
【思路点拔】本题考查二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质，根据y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交点坐标为（0，c）直接求解，即可解题．
解：由题意，∵抛物线为y＝x2+x+4，
∴令x＝0，则y＝4．
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，4），
故答案为：（0，4）．
12．（3分）抛物线y＝x2﹣x﹣1经过点（m，3），则代数式m2﹣m﹣1的值为 3 ．
【思路点拔】将（m，3）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m﹣1＝3，据此求解即可．
解：将点（m，3）代入m2﹣m﹣1中得：
m2﹣m﹣1＝3，
故代数式m2﹣m﹣1的值为3，
故答案为：3．
13．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，﹣2），且图象对称轴为直线x＝2，则方程ax2+bx+c+2＝0（a≠0）的解为 1或3 ．
【思路点拔】由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，﹣2），对称轴是直线x＝2，则抛物线一定经过点（1，﹣2）关于直线x＝2的对称点（3，﹣2），从而可得答案．
解：由二次函数图象可得，
抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，﹣2），对称轴是直线x＝2，
则抛物线一定经过点（1，﹣2）关于直线x＝2的对称点（3，﹣2），
当y＝﹣2时，关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2（a≠0）的两个解为：x1＝3，x2＝1．
∴方程ax2+bx+c+2＝0（a≠0）的解为x1＝3，x2＝1；
故答案为：1或3．
14．（3分）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒） 2 ．
【思路点拔】根据球弹起后又回到地面时h＝0，得到0＝10t﹣5t2，解方程即可得到答案．
解：球弹起后又回到地面时h＝0，即0＝10t﹣5t2，
解得t1＝0（不合题意，舍去），t2＝2，
∴球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是2，
故答案为：2．
15．（3分）二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是 ﹣2＜h＜﹣1 ．
【思路点拔】先由y2＜y1＜y3判断得到点P1离对称轴的距离比点P2离对称轴的距离远，点P3离对称轴的距离比点P1离对称轴的距离远，然后得到h与横坐标之间的关系，从而求出h点的取值范围．
解：∵y2＜y1＜y3，
∴点P1离对称轴的距离比点P2离对称轴的距离远，点P3离对称轴的距离比点P1离对称轴的距离远，
∴，
解得：﹣2＜h＜﹣1．
故答案为：﹣2＜h＜﹣1．
16．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为 ﹣2 ．
【思路点拔】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．
解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
设A（m，m），则B（0，2m），
∴，
解得am＝﹣1，m，
∴ac的值为﹣2，
故答案为：﹣2．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）通过配方，写出抛物线y＝﹣3x2+6x﹣7的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【思路点拔】先提取二次项系数﹣3，然后利用完全平方公式配方即可，再根据二次项系数写出开口方向，然后写出对称轴与顶点坐标．
解：∵y＝﹣3x2+6x﹣7＝﹣3（x﹣1）2﹣4．
∴该抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2﹣4．
∵a＝﹣3＜0，
∴抛物线y＝﹣3x2+6x﹣7的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）．
18．（8分）已知某二次函数图象对称轴为x＝﹣1，其最值为2，且过点．
（1）求二次函数解析式．
（2）求证点是否在图象上．
【思路点拔】（1）设y＝a（x+1）2+2，把当然解析式，即可得到结论；
（2）当x＝﹣2时，求得y，于是得到结论．
（1）解：∵某二次函数图象对称轴为x＝﹣1，其最值为2，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+2，
把代入得，a+2，
∴a，
∴二次函数解析式为y（x+1）2+2；
（2）证明：当x＝﹣2时，y，
∴点是否在图象上．
19．（8分）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝3．
（1）求a的值；
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【思路点拔】（1）将二次函数解析式化为一般式，再根据抛物线对称轴的公式计算即可；
（2）代入a＝5，得到抛物线的解析式，即抛物线与y轴交于点（0，5），将该点向下平移5个单位即是原点，故将抛物线向下平移5个单位即经过原点．
解：（1）y＝（x﹣1）（x﹣a）＝x2﹣（1+a）x+a，
∵图象的对称轴为直线x＝3，
∴，
∴a＝5；
（2）∵a＝5，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣6x+5，
即抛物线与y轴交于点，
将该点向下平移5个单位即是原点，
∴抛物线向下平移5个单位后经过原点，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为y＝x2﹣6x．
20．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+5的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形ACDB的面积；
【思路点拔】（1）将点A和B两点代入即可求得二次函数解析式；
（2）过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，根据第一问可得点D（2，9），结合矩形、三角形的面积公式即可求得答案；
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+5的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，代入得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，连接AC，如图1，
根据y＝﹣x2+4x+5，则顶点的坐标为D（2，9），
S四边形ACDB＝S△AOC+S矩形OMDN﹣S△CDM+S△DNB
1×5+2×92×（9﹣5）（5﹣2）×9
＝30；
21．（8分）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得利润3630元？
【思路点拔】（1）根据题意利用待定系数法可求得y与x之间的关系；
（2）写出利润和x之间的关系列方程，即可得到结论．
解：（1）设y＝kx+b，把x＝20，y＝360，和x＝30，y＝60代入，可得，
解得，
∴y＝﹣30x+960（10≤x≤32）；
（2）根据题意得，（﹣30x+960）（x﹣10）＝3630，
解得x1＝x2＝21，
答：当销售价格定为21元时，每月获得利润3630元．
22．（10分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，
直线y＝x+m过顶点C和点B．
（1）求直线BC和抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可求出直线BC的解析式；把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；
（2）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．
解：（1）将（0，﹣3）代入y＝x+m，
可得：m＝﹣3，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，
所以点B的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，
可得：，
解得：，
所以二次函数的解析式为：yx2﹣3；
（2）存在，分以下两种情况：
①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，
∴OD＝OC tan30°，
设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k，
联立两个方程可得：，
解得：，，
所以M1（3，6）；
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠OCE＝60°，
∴OE＝OC tan60°＝3，
设EC为y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k，
联立两个方程可得：，
解得：，，
所以M2（，﹣2），
综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．
23．（10分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A、C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．
（1）a的值为 ﹣0.4 ．
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网，要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【思路点拔】（1）根据一次函数解析式可求出P（0，2.8），再代入二次函数解析式即可求出a的值；
（2）对于y＝﹣0.4x+2.8和y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2，分别令y＝0，求出x的值，即可解答．
解：（1）对于y＝﹣0.4x+2.8，令x＝0，则y＝2.8，
∴P（0，2.8）．
将点P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2，得：2.8＝a（0﹣1）2+3.2，
解得：a＝﹣0.4．
故答案为：﹣0.4；
（2）∵OA＝3m，CA＝2m，
∴OC＝5m．
若选择扣球，当y＝0时，得﹣0.4x+2.8＝0，解得：x＝7，
此时球的落地点到C点的距离为7﹣5＝2m；
若选择吊球，由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2，
当y＝0时，得﹣0.4（x﹣1）2+3.2＝0，
解得：（舍），
此时球的落地点到C点的距离为，
∵，
∴应选择吊球．
24．（12分）抛物线G：y＝ax2+c与x轴交于A、B两点，与y交于C（0，﹣1），且AB＝4OC．
（1）直接写出抛物线G的解析式： yx2﹣1 ；
（2）如图1，点D（﹣1，m）在抛物线G上，点P是抛物线G上一个动点，且在直线OD的下方，过点P作x轴的平行线交直线OD于点Q，当线段PQ取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M在y轴左侧的抛物线G上，将点M先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N也落在y轴左侧的抛物线G上，若S△CMN＝2，求点M的坐标．
【思路点拔】（1）先求出点A坐标，利用待定系数法可求抛物线解析式．
（2）由题意直线OD的解析式为yx，设P（a，a2﹣1），则Q（a2，a2﹣1），可得PQ＝a﹣（a2）（a）2，利用二次函数的性质求解即可．
（3）先求出MC的解析式，分两种情况：①点N在y轴左侧．当点N在y轴右侧．利用三角形的面积和差关系可求解．
解：（1）∵点C（0，﹣1），且AB＝4OC．
∴OC＝1，AB＝4，
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴点A（﹣2，0），点B（2，0），
∴，∴，
∴抛物线解析式为：yx2﹣1．
故答案为：yx2﹣1．
（2）∵D（﹣1，m）在yx2﹣1上，
∴D（﹣1，），
∴直线OD的解析式为yx，
设P（a，a2﹣1），则Q（a2，a2﹣1），
∴PQ＝a﹣（a2）（a）2，
∵0，
∴当a时，PQ的值最大，此时P（，）．
（3）设点M（m，m2﹣1），则N（m+4，（m+4）2﹣1），
∵点C（0，﹣1），
∴设直线MC解析式为y＝kx﹣1，
即：m2﹣1＝mk﹣1，∴km，
∴直线MC解析式为ymx﹣1，
如图，过点N作NE∥y轴交CM于E，
∴点E（m+4，m（m+4）﹣1），
若点N在y轴左侧，EN＝﹣m﹣4，
∵S△MNC＝S△MNE+S△CNE，
∴2（﹣m﹣4）×（﹣m），
∴m1＝﹣2﹣2，m2＝﹣2+2（舍去），
综上所述点M（﹣2﹣2，2+2）．中小学教育资源及组卷应用平台
8第22章《二次函数》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为x＝﹣2
B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3
D．函数与y轴交点为（0，﹣3）
2．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么实数a、b、c的取值范围是 （ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＞0．
3．（3分）将抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+5）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2+1 D．y＝﹣（x+5）2+1
4．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+3经过点（2，3），且函数最大值为4，则a的值为（ ）
A． B．﹣1 C．﹣2 D．
5．（3分）若二次函数y＝kx2+3x﹣1的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（ ）
A． B．且k≠0
C． D．且k≠0
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5
y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12
给出了结论：
（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；
（2）若y＜0，则x的取值范围为0＜x＜2；
（3）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．
则其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（3分）如图，庄子大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需（ ）
A．18秒 B．36秒 C．38秒 D．46秒
8．（3分）已知学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1，则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后1s和点火后3s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．火箭升空的最大高度为145m
D．点火后10s的升空高度为139m
9．（3分）二次函数a，b为实数，a＜0）的图象对称轴为直线x＝2，且经过点（m，n）．若二次函数的图象经过点（m﹣2，n），则关于x的方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝6
10．（3分）我们定义：若点A在某一个函数的图象上，且点A的横纵坐标相等，我们称点A为这个函数的“好点”．若关于x的二次函数y＝ax2+tx﹣3t对于任意的常数t，恒有两个“好点”，则a的取值范围为（ ）
A． B．0＜a C．a D．a＜1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）抛物线y＝x2+x+4与y轴交点坐标为 ．
12．（3分）抛物线y＝x2﹣x﹣1经过点（m，3），则代数式m2﹣m﹣1的值为 ．
13．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（1，﹣2），且图象对称轴为直线x＝2，则方程ax2+bx+c+2＝0（a≠0）的解为 ．
14．（3分）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒） ．
15．（3分）二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是 ．
16．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）通过配方，写出抛物线y＝﹣3x2+6x﹣7的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．（8分）已知某二次函数图象对称轴为x＝﹣1，其最值为2，且过点．
（1）求二次函数解析式．
（2）求证点是否在图象上．
19．（8分）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝3．
（1）求a的值；
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
20．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+5的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形ACDB的面积；
21．（8分）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得利润3630元？
22．（10分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，
直线y＝x+m过顶点C和点B．
（1）求直线BC和抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A、C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．
（1）a的值为 ．
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网，要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
24．（12分）抛物线G：y＝ax2+c与x轴交于A、B两点，与y交于C（0，﹣1），且AB＝4OC．
（1）直接写出抛物线G的解析式： ；
（2）如图1，点D（﹣1，m）在抛物线G上，点P是抛物线G上一个动点，且在直线OD的下方，过点P作x轴的平行线交直线OD于点Q，当线段PQ取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M在y轴左侧的抛物线G上，将点M先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N也落在y轴左侧的抛物线G上，若S△CMN＝2，求点M的坐标．
