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第12章 全等三角形
一、全等形
1．下列各组中的两个字母，是全等形的一组是（ ）
A．A a B．B b C．C C D．D d
【分析】根据大小、性质均相同的图形是全等形即可判断．
【解答】解：A．大小不同、形状不同，故本项不符合题意；
B．大小不同、形状不同，故本项不符合题意；
C．大小相同、形状相同，故本项符合题意；
D．大小不同、形状不同，故本项不符合题意；
故选：C．
2．2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据全等三角形的定义可得结论．
【解答】解：各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是选项C．
故选：C．
3．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝ °．
【分析】根据全等图形的性质可得∠A＝∠A′，∠D＝∠D′，根据四边形的内角和可得∠A的度数，进一步可得∠A′的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′，∠D＝∠D′，
∵∠D′＝105°，
∴∠D＝105°，
∵∠B＝90°，∠C＝60°，
∴∠A＝105°，
∴∠A′＝105°，
故答案为：105．
1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用全等图形的概念可得答案．
【解答】解：A．两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B．两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意；
D．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：C．
2．由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案 全等形．（填“是”或“不是”）
【分析】根据能够互相重合的两个图形是全等形可得答案．
【解答】解：由全等形的概念可知：由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片，大小一样，所以是全等图形；
故答案为：是．
3．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是 ．
【分析】利用全等图形的定义可得∠D＝∠D′＝130°，然后再利用四边形内角和为360°可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，
∴∠D＝∠D′＝130°，
∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，
故答案为：95°．
二、全等三角形的性质
1．如图所示，两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【分析】根据图形得出DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，根据全等三角形的性质得出∠D＝∠A＝50°，即可得出选项．
【解答】解：
∵DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，
又∵△ABC和△DEF全等，
∴∠D＝∠A＝50°，
∴∠α＝50°，
故选：D．
2．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝6，AC＝8，则BD长（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】根据全等三角形对应边相等得到BC＝CE＝6，CD＝AC＝8，则BD＝BC+CD＝14．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝CE＝6，CD＝AC＝8，
∴BD＝BC+CD＝14，
故选：B．
3．如图，若△ABC≌△DEF，BE＝3，AE＝8，则BD的长是 ．
【分析】由全等三角形的性质可得AB＝DE，可求得DE的长，则可求得BD的长．
【解答】解：
∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，
∵BE＝3，AE＝8，
∴AB＝5，
∴BD＝BD﹣BE＝2，
故答案为：2．
4．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，F，C，E在同一条直线上．
（1）若BE＝11，CF＝3，求线段BF的长．
（2）请判断AC与DF的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等得到BC＝EF，则BF＝CE，再根据BF+CE＝BE﹣CF＝8，最后求解即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠DFE，即可判定AC∥DF．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF＝CE，
∵BE＝11，CF＝3，
∴BF+CE＝BE﹣CF＝11﹣3＝8，
∴BF＝4．
（2）AC∥DF．理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥DF．
1．如图所示的两个三角形全等，则∠E的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【分析】根据题意和图形，可知∠E是边DF＝n的对角，由第一个三角形可以得到∠E＝∠B的度数，本题得以解决．
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠E＝∠B＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故选：B．
2．如图，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2，则AC＝（ ）
A．2 B．8 C．5 D．3
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得AC＝DB，再求出AB＝CD＝（AD﹣BC）＝3，那么AC＝AB+BC，代入数值计算即可得解．
【解答】解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝DB，
∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝CD，
∵AD＝8，BC＝2，
∴AB＝（AD﹣BC）＝×（8﹣2）＝3，
∴AC＝AB+BC＝3+2＝5．
故选：C．
3．如图，△ABC≌△EBD，A、B、D三点在一条直线上；
（1）线段BC和AD的位置关系是： ；
（2）若AD＝14，CE＝2，则BE的长为 ．
【分析】（1）根据全等三角形的性质和平角的定义即可求解；
（2）根据全等三角形的对应边相等，即AB＝EB，BC＝BD，即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△EBD，
∴∠ABC＝∠EBD，
∵A、B、D三点在一条直线上，
∴∠EBD+∠ABC＝180°，
∴∠EBD＝∠ABC＝90°，
∴BC⊥AD，
故答案为：BC⊥AD．
（2）解：∵△ABC≌△EBD，
∴BC＝BD，AB＝EB，
∴BE＝AB＝BC﹣CE＝BD﹣2，
∵AD＝14，
∴AB+BD＝BD﹣2+BD＝14，
∴BD＝8，
∴BE＝6，
故答案为：6．
4．如图，△ACE≌△DBF，AD＝10，BC＝2．
（1）求证：AB＝CD；
（2）求AC的长度．
【分析】（1）根据全等三角形性质得出AC＝BD，推出AB＝CD，求出即可；
（2）由AD＝10，BC＝2得出CD＝AB＝4，求出AC即可．
【解答】（1）证明：∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝BD，
∴AC﹣BC＝BD﹣BC，
即AB＝CD；
（2）解：∵AD＝10，BC＝2，
∴，
∴AC＝10﹣4＝6．
三、全等三角形的判定
1．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
D．如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积一定不相等
【分析】根据全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：A、全等三角形是指形状、大小相同的两个三角形，原说法错误，不符合题意；
B、面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
C、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，正确，符合题意；
D、如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积也可能相等，原说法错误，不符合题意，
故选：C．
2．如图，AB＝DB，∠A＝∠D，则下列增加的条件中不能证明△ABE≌△DBC的是（ ）
A．BE＝BC B．AE＝DC C．∠ABD＝∠EBC D．∠E＝∠D
【分析】全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL．
【解答】解：由于AB＝DB，∠A＝∠D，
A、添加条件BE＝BC，不能证明△ABE≌△DBC，故本选项符合题意；
B、添加条件AE＝DC，可以利用SAS证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意；
C、添加条件∠ABD＝∠EBC，可得∠ABE＝∠DBC，可以利用ASA证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意；
D、添加条件∠E＝∠D，可以利用AAS证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，连接BE，CD．要利用“AAS”说明△ABE≌△ACD，则可添加的条件是 ．
【分析】∠A为公共角，AB＝AC，根据AAS的判定方法，添加条件即可．
【解答】解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
故答案为：∠AEB＝∠ADC．
4．如图，在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝8cm，点P以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以a cm/s的速度由点C向点D运动，当其中一点到达终点停止运动时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t s．
（1）用含t的代数式表示PC的长 ；
（2）在点P，Q运动的过程中，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为 ．
【分析】（1）由题意得：BP＝2t cm，根据PC＝BC﹣BP即可求解；
（2）分类讨论当△ABP≌△PCQ；当△ABP≌△QCP时，两种情况即可求解；
【解答】解：（1）由题意得：BP＝2t cm，
∵BC＝8cm，
∴PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，
故答案为：（8﹣2t）cm；
（2）由题意得：CQ＝at cm，
当△ABP≌△PCQ时，
∴BP＝CQ，
即：2t＝at，
解得：a＝2；
当△ABP≌△QCP时，
∴BP＝CP，CQ＝AB，
即：2t＝8﹣2t，at＝5，
解得：t＝2，a＝2.5；
故答案为：2或2.5．
5．如图，点B，C，E在一条直线上，在△ABC和△DCE中，C是BE的中点，AB＝DC，AC＝DE．求证：△ABC≌△DCE．
【分析】先由线段中点的定义得到BC＝CD，再利用SSS即可证明△ABC≌△DCE．
【解答】证明：在△ABC和△DCE中，C是BE的中点，
∴BC＝CD，
∵AB＝DC，AC＝DE，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SSS）．
6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝10cm，BC＝8cm，D为AB的中点，点P在线段上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间．
【分析】根据等边对等角可得∠B＝∠C，然后表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD与CQ是对应边两种情况讨论求解即可．
【解答】解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
设点P、Q的运动时间为t，则BP＝3t，CQ＝3t，
∵AB＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，
∴BD＝×10＝5cm，
PC＝（8﹣3t）cm，
①BD、PC是对应边时，∵△BPD与△CQP全等，
∴BD＝PC，BP＝CQ，
∴5＝8﹣3t且3t＝3t，
解得t＝1，
②BD与CQ是对应边时，∵△BPD与△CQP全等，
∴BD＝CQ，BP＝PC，
∴5＝3t，3t＝8﹣3t，
解得t＝且t＝（舍去），
综上所述，△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为1秒．
1．根据下列各组所给条件，不能唯一确定△ABC的形状和大小的是（ ）
A．AB＝6cm，BC＝7.4cm，∠B＝45°
B．∠B＝45°，BC＝7.4cm，∠C＝75°
C．∠B＝45°，AB＝6cm，∠C＝75°
D．BC＝5.4cm，AB＝6cm，∠A＝60°
【分析】根据三角形全等的判定方法逐个判断即可求解．
【解答】解：A、三角形的两边及其夹角确定，由SAS可知这个三角形是确定的，所以能唯一画出△ABC，不符合题意；
B、已知两个角及其公共边，符合全等三角形判定定理ASA，所以能唯一画出△ABC，不符合题意；
C、已知两个角及其中一角的对边，符合全等三角形判定定理AAS，所以能唯一画出△ABC，不符合题意；
D、两边及其中一边的对角相等的两个三角形不能判定全等，所以不能唯一画出△ABC，符合题意．
故选：D．
2．如图，已知∠CAB＝∠DBA，从下列条件中补充一个条件后，不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．BC＝AD B．∠C＝∠D C．∠CBA＝∠DAB D．AC＝BD
【分析】利用∠CAB＝∠DBA，加上公共边AB，然后利用全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，
∴当添加BC＝AD时，不能判定△ABC≌△BAD，故A符合题意；
当添加∠C＝∠D时，可根据“AAS”判断△ABC≌△BAD，故B不符合题意；
当添加AC＝BD时，可根据“SAS”判断△ABC≌△BAD，故C不符合题意；
当添加∠CBA＝∠DAB时，可根据“ASA”判断△ABC≌△BAD，故D不符合题意．
故选：A．
3．如图，线段BD是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠2，请添加一个条件使得△ABD≌△CDB，添加的条件为 ．
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答．
【解答】解：①当∠A＝∠C时，根据AAS可判定△ABD≌△CDB；
②当∠ADC＝∠CBD时，根据ASA可判定△ABD≌△CDB；
③当AB＝CD时，根据SAS可判定△ABD≌△CDB；
故答案为：∠A＝∠C（或∠ADC＝∠CBD或AB＝CD）．
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BD＝10cm，BC＞8cm．动点P以1cm/s的速度从点A出发沿边AD向点D匀速移动，动点Q以2cm/s的速度从点B出发沿边BC向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线BD向点D匀速移动，三点同时出发．连接PM、QM，当动点M的速度为 cm/s时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与△QBM全等．
【分析】对全等三角形的对应关系进行分类讨论，再结合全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：由题知，
设运动的时间为t s，动点M的速度为v cm/s，
则PD＝（6﹣t）cm，DM＝（10﹣vt）cm，BM＝vt cm，BQ＝2t cm．
因为AD∥BC，
所以∠ADB＝∠DBC．
当△DPM≌△BMQ时，
DP＝BM，DM＝BQ，
所以6﹣t＝vt，10﹣vt＝2t，
解得t＝4，
则6﹣4＝4v，
解得v＝0.5．
当△DPM≌△BQM时，
DP＝BQ，DM＝BM，
所以6﹣t＝2t，10﹣vt＝vt，
解得t＝2，
所以10﹣2v＝2v，
解得v＝2.5．
综上所述，动点M的速度为0.5cm/s或2.5cm/s．
故答案为：0.5或2.5．
5．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．
【分析】根据∠BAD＝∠CAE可得∠BAC＝∠DAE，再根据SAS即可证明．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
6．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在BC上以2cm/s的速度由B→C运动，同时，点Q在AC上以相同的速度由C→A运动，当点P到达点C或点Q到达点A时运动停止．
（1）经过1s后，△BPD与以点C、P、Q为顶点的三角形是否全等？为什么？
（2）如果点Q的速度与点P（2cm/s）不等，（1）中的两个三角形是否全等？若能，求出此时点Q的速度和运动时间；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得出当t＝1时，BP＝2cm，CP＝6cm，CQ＝2cm，进而得出△DBP≌△PCQ（SAS），即可得出答案；
（2）根据全等得出要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）经过1s后，△BPD与以点C、P、Q为顶点的三角形全等，
理由：如图1，当t＝1时，BP＝2cm，CP＝6cm，CQ＝2cm，
∵D是AB中点，∴BD＝AD＝6cm，
在△DBP和△PCQ中
，
∴△DBP≌△PCQ（SAS），
∴DP＝PQ；
（2）设点Q速度为x，则t秒后CQ长度为xtcm，
因为P的速度为2cm/s，
所以t秒后BP长度为2t cm CP＝8﹣2t（cm）．
当DB＝CP，∠B＝∠C，BP＝CQ时，△DBP≌△PCQ（SAS），
则，
解得：，x＝2cm/s，不合题意舍去，
当DB＝CQ，∠B＝∠C，BP＝CP时，△DBP≌△QCP（SAS），
解得：，
综上所述：当点Q的速度为3cm/s，运动时间为2s时符合题意．
四、直角三角形全等的判定
1．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
A．HL B．ASA C．SAS D．SSS
【分析】由“HL”可证Rt△ABD和Rt△CDB．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：A．
2．如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C，B，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的条件是 ．
【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．
【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥BC，
∴∠ACB＝∠CBD＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴应添加的条件是AB＝DC．
故答案为：AB＝DC．
3．如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：Rt△CDF≌Rt△BDE．
【分析】先根据直角三角形的性质得出CD＝BD，再由全等三角形的判定定理即可得出结论．
【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠CFD＝∠BED＝90°，
∵BE＝CF，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）
1．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB∥DE，若添加一个条件后Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．∠BAC＝∠EDF B．∠BCA＝∠F C．BC∥EF D．AD＝CF
【分析】利用“HL”判断直角三角形全等的方法解决问题．
【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF，
∴当添加AD＝CF时，
得到AD+CD＝CF+CD，
即AC＝DF，
根据“AAS”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．
故选：D．
2．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．
【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，连接DE、EC，DE＝EC．求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
【分析】根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可．
【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△BEC均为直角三角形，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∵，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）．
五、全等三角形的应用
1．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（ ）
A．① B．② C．③ D．①和③
【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
2．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案．
【解答】解：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.8﹣1.4＝0.4（m），
∵AD＝1m，
∴AE＝AD+DE＝1.4（m），
答：爸爸是在距离地面1.4m的地方接住小丽的．
故选：D．
3．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用测量，就知道∠DEH＝∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是 （用字母表示）．
【分析】根据SSS即可证明△DHE≌△DHF，可得∠DEH＝∠DFH．
【解答】解：在△DHE和△DHF中，
，
∴△DHE≌△DHF（SSS），
∴∠DEH＝∠DFH．
故答案为：SSS．
4．在物理课社团中，大家在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，大家大胆用到了数学知识发明了用“X型转动钳”．按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，AD＝BC，只需测得AB＝a，EF＝b，就可以知道圆柱形容器的壁厚了．
（1）请你利用所学习的数学知识说明AB＝CD；
（2）求出圆柱形容器的壁厚．（用含有a，b的代数式表示）
【分析】（1）证明△AOB≌△DOC（SAS），即可得出结论；
（2）由（1）知，AB＝CD＝a，即可解决问题．
【解答】（1）证明：在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD；
（2）解：由（1）知，AB＝CD，
∵EF＝b，AB＝CD＝a，
∴圆柱形容器的壁厚是（EF﹣CD）＝．
1．如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，AB、AC是伞骨，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是AB，AC的中点，AB＝AC，DM＝EM．弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（ ）
A．ASA B．AAS C．SSS D．HL
【分析】根据全等三角形判定的“SSS”定理即可证得△ADM≌△AEM．
【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD＝AE，
在△ADM和△AEM中，
．
∴△ADM≌△AEM（SSS），
故选：C．
2．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（ ）
A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，
∴DE＝DC+CE＝30（cm），
答：两堵木墙之间的距离为30cm．
故选：A．
3．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即OF＝OG），如果点O至地面的距离是50cm，当小敏从水平位置CD下降40cm，这时小明离地面的高度是 ．
【分析】根据AAS证明△FCO≌△GDO得出FC＝DG，即可推出结果．
【解答】解：由题意可知，OF＝OG，∠FOC＝∠DOG，∠FCO＝∠GDO＝90°，
∴△FCO≌△GDO（AAS），
∴FC＝DG，
∵小敏从水平位置CD下降40cm，即DG＝40cm，
∴CF＝40cm，
又∵点O至地面的距离是50cm，
∴这时小明离地面的高度是50+40＝90（cm），
故答案为：90cm．
4．如图1是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，受大人民的喜爱它的支架我们可以看作△ABC如图2所示），为了使其更加牢面．小明增加了如图2所示的AE，DE两根支架．若∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，DE⊥AB，AE与CE的夹角为60°，
（1）求∠B的度数；
（2）在不添加辅助线的前提下写出一对全等三角形，并进行证明．
【分析】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）根据AAS证明△ACE≌△ADE即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，
∴2∠B+∠B＝90°，
∴∠B＝30°；
（2）△ACE≌△ADE，（答案不唯一）证明如下：
在Rt△ACE中，∠C＝90°，∠AEC＝60°，
∴∠CAE＝30°，
由（1）知，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CAE＝∠DAE＝30°，
在△ACE与△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE（AAS）．
六、角的平分线的性质
1．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
2．如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7cm，AC＝3cm，则BE等于（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【分析】根据等角的余角相等，可以证明∠ADC＝∠ADE，再根据角平分线的性质可得AC＝AE，从而求得BE的长．
【解答】解：∵AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADE，
∴AE＝AC＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝7﹣3＝4（cm）．
故选：A．
3．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积．
【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC
＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
4．如图，PM⊥OA，∠POA＝∠POB，PM＝1，当点P到OB的距离为 ．
【分析】直接根据角平分线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠POA＝∠POB，
∴OP是∠AOB的平分线，
∵PM⊥OA，PM＝1，
∴点P到OB的距离为1．
故答案为：1．
5．已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，请你用尺规在Rt△ABC的边AB上求作一点M，使得点M到BC的距离等于AM．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠ACB的平分线交AB于M即可．
【解答】解，如图，点M即为所求，
理由：过点M作MN⊥BC于点N，
由作图知：CM平分∠ACB，
又∠BAC＝90°，
∴AM＝MN，
即点M到BC的距离等于AM．
6．如图所示，∠A＝∠B＝90°，P是AB的中点，且DP平分∠ADC，连接PC．求证：CP平分∠BCD．
【分析】过P作PQ⊥CD于Q，由中点得PA＝PB，结合角平分线的性质得PA＝PQ，则PA＝PQ＝PB，即可判定CP平分∠BCD．
【解答】证明：如下图，作PQ⊥CD交CD于点Q，
∵P是AB的中点，则PA＝PB，
∵DP平分∠ADC，∠A＝90°，PQ⊥CD，则∠PQD＝90°，
则PA＝PQ＝PB，
∵∠B＝90°，则PB⊥BC，
∴PQ⊥CD，
∴CP平分∠BCD．
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【分析】过点G作GH⊥AB于点H，根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，得CG＝GH，根据三角形面积公式，即可求出△ABG的面积．
【解答】解：过点G作GH⊥AB于点H，
根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥CG，
∵GH⊥AB，
∴CG＝GH，
∵CG＝3，
∴，
故选：B．
2．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DE＝2，AB＝8，△ABC的面积为14，则BC＝ ．
【分析】过点D作DF上BC于点F，得到DF＝DE＝2，再根据三角形面积公式即可计算．
【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DE＝2，
∴DF＝DE＝2，
∵S△CDB＝S△ABC﹣S△ABD，△ABC的面积为14，AB＝8，
∴，
解得BC＝6，
故答案为：6．
3．如图，射线OC是∠AOB的平分线，D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD＝3，若Q是射线OB上一点，OQ＝5，则阴影部分的面积为 ．
【分析】过点D作DE⊥OB于E，根据角平分线的性质得出DE＝PD＝3，利用三角形面积公式计算即可得答案．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥OB于E，
∵射线OC是∠AOB的平分线，D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD＝3，
∴DE＝PD＝3，
∵OQ＝5，
∴．
故答案为：．
4．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 ．
【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案．
【解答】解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×4×（AB+AC+BC）
＝×4×21＝42，
故答案为：42．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据角平分线的作法，画出图形即可；
（2）作DH⊥AB于H．只要证明CD＝DH，根据三角形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：（1）∠ABC的平分线如图所示．
（2）作DH⊥AB于H．
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝3，
∴△ABC的面积＝S△BCD+S△ABD＝BC CD+AB DH＝×3BC+3AB＝（BC+AB）＝3×16＝24．
6．如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC．
【分析】先根据AAS定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DF＝DE，由此可得出结论．
【解答】证明：∵BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DF＝DE，
∴AD平分∠BAC．
7．如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BP与∠ACB的外角的平分线CP相交于点P．
（1）若∠A＝40°，求∠BPC的度数；
（2）求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
【分析】（1）根据角的平分线的定义设∠PCM＝∠PCB＝α，∠PBN＝∠PBC＝β，则∠MCB＝2α，∠NBC＝2β，∠ACB＝180°﹣2α，∠ABC＝180°﹣2β，再根据∠ACB+∠ABC+∠A＝180°得α+β＝110°，然后根据∠PCB+∠PBC+∠BPC＝180°可得∠BPC的度数；
（2）过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，根据角平分线性质得PF＝PG，PH＝PG，据此即可得出结论．
【解答】（1）解：∵△ABC的∠ABC外角的平分线BP与∠ACB的外角的平分线CP相交于点P，∴设∠PCM＝∠PCB＝α，∠PBN＝∠PBC＝β，
则∠MCB＝2α，∠NBC＝2β，
∴∠ACB＝180°﹣∠MCB＝180°﹣2α，∠ABC＝180°﹣∠NBC＝180°﹣2β，
在△ABC中，∠A＝40°，
∴∠ACB+∠ABC+∠A＝180°，
即180°﹣2α+180°﹣2β+40°＝180°，
∴α+β＝110°，
在△PBC中，∠PCB+∠PBC+∠BPC＝180°，
∴α+β+∠BPC＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣（α+β）＝70°；
（2）证明：过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，如图所示：
∵△ABC的∠ABC外角的平分线BP与∠ACB的外角的平分线CP相交于点P，
∴PF＝PG，PH＝PG，
∴PF＝PH＝PG，
即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
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第12章 全等三角形
一、全等形
1．下列各组中的两个字母，是全等形的一组是（ ）
A．A a B．B b C．C C D．D d
2．2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝ °．
1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案 全等形．（填“是”或“不是”）
3．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是 ．
二、全等三角形的性质
1．如图所示，两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
2．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝6，AC＝8，则BD长（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．如图，若△ABC≌△DEF，BE＝3，AE＝8，则BD的长是 ．
4．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，F，C，E在同一条直线上．
（1）若BE＝11，CF＝3，求线段BF的长．
（2）请判断AC与DF的位置关系，并说明理由．
1．如图所示的两个三角形全等，则∠E的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
2．如图，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2，则AC＝（ ）
A．2 B．8 C．5 D．3
3．如图，△ABC≌△EBD，A、B、D三点在一条直线上；
（1）线段BC和AD的位置关系是： ；
（2）若AD＝14，CE＝2，则BE的长为 ．
4．如图，△ACE≌△DBF，AD＝10，BC＝2．
（1）求证：AB＝CD；
（2）求AC的长度．
三、全等三角形的判定
1．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
D．如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积一定不相等
2．如图，AB＝DB，∠A＝∠D，则下列增加的条件中不能证明△ABE≌△DBC的是（ ）
A．BE＝BC B．AE＝DC C．∠ABD＝∠EBC D．∠E＝∠D
3．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，连接BE，CD．要利用“AAS”说明△ABE≌△ACD，则可添加的条件是 ．
4．如图，在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝8cm，点P以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以a cm/s的速度由点C向点D运动，当其中一点到达终点停止运动时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t s．
（1）用含t的代数式表示PC的长 ；
（2）在点P，Q运动的过程中，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为 ．
5．如图，点B，C，E在一条直线上，在△ABC和△DCE中，C是BE的中点，AB＝DC，AC＝DE．求证：△ABC≌△DCE．
6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝10cm，BC＝8cm，D为AB的中点，点P在线段上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间．
1．根据下列各组所给条件，不能唯一确定△ABC的形状和大小的是（ ）
A．AB＝6cm，BC＝7.4cm，∠B＝45°
B．∠B＝45°，BC＝7.4cm，∠C＝75°
C．∠B＝45°，AB＝6cm，∠C＝75°
D．BC＝5.4cm，AB＝6cm，∠A＝60°
2．如图，已知∠CAB＝∠DBA，从下列条件中补充一个条件后，不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．BC＝AD B．∠C＝∠D C．∠CBA＝∠DAB D．AC＝BD
3．如图，线段BD是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠2，请添加一个条件使得△ABD≌△CDB，添加的条件为 ．
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BD＝10cm，BC＞8cm．动点P以1cm/s的速度从点A出发沿边AD向点D匀速移动，动点Q以2cm/s的速度从点B出发沿边BC向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线BD向点D匀速移动，三点同时出发．连接PM、QM，当动点M的速度为 cm/s时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与△QBM全等．
5．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．
6．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在BC上以2cm/s的速度由B→C运动，同时，点Q在AC上以相同的速度由C→A运动，当点P到达点C或点Q到达点A时运动停止．
（1）经过1s后，△BPD与以点C、P、Q为顶点的三角形是否全等？为什么？
（2）如果点Q的速度与点P（2cm/s）不等，（1）中的两个三角形是否全等？若能，求出此时点Q的速度和运动时间；若不能，请说明理由．
四、直角三角形全等的判定
1．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
A．HL B．ASA C．SAS D．SSS
2．如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C，B，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的条件是 ．
3．如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：Rt△CDF≌Rt△BDE．
1．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB∥DE，若添加一个条件后Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．∠BAC＝∠EDF B．∠BCA＝∠F C．BC∥EF D．AD＝CF
2．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，连接DE、EC，DE＝EC．求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
五、全等三角形的应用
1．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（ ）
A．① B．② C．③ D．①和③
2．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m
3．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用测量，就知道∠DEH＝∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是 （用字母表示）．
4．在物理课社团中，大家在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，大家大胆用到了数学知识发明了用“X型转动钳”．按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，AD＝BC，只需测得AB＝a，EF＝b，就可以知道圆柱形容器的壁厚了．
（1）请你利用所学习的数学知识说明AB＝CD；
（2）求出圆柱形容器的壁厚．（用含有a，b的代数式表示）
1．如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，AB、AC是伞骨，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是AB，AC的中点，AB＝AC，DM＝EM．弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（ ）
A．ASA B．AAS C．SSS D．HL
2．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（ ）
A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm
3．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即OF＝OG），如果点O至地面的距离是50cm，当小敏从水平位置CD下降40cm，这时小明离地面的高度是 ．
4．如图1是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，受大人民的喜爱它的支架我们可以看作△ABC如图2所示），为了使其更加牢面．小明增加了如图2所示的AE，DE两根支架．若∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，DE⊥AB，AE与CE的夹角为60°，
（1）求∠B的度数；
（2）在不添加辅助线的前提下写出一对全等三角形，并进行证明．
六、角的平分线的性质
1．如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
2．如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7cm，AC＝3cm，则BE等于（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
3．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
4．如图，PM⊥OA，∠POA＝∠POB，PM＝1，当点P到OB的距离为 ．
5．已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，请你用尺规在Rt△ABC的边AB上求作一点M，使得点M到BC的距离等于AM．（保留作图痕迹，不写作法）
6．如图所示，∠A＝∠B＝90°，P是AB的中点，且DP平分∠ADC，连接PC．求证：CP平分∠BCD．
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
2．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DE＝2，AB＝8，△ABC的面积为14，则BC＝ ．
3．如图，射线OC是∠AOB的平分线，D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD＝3，若Q是射线OB上一点，OQ＝5，则阴影部分的面积为 ．
4．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 ．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积．
6．如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC．
7．如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BP与∠ACB的外角的平分线CP相交于点P．
（1）若∠A＝40°，求∠BPC的度数；
（2）求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
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