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第13章 轴对称
一、轴对称
1．汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
2．下列图形中：线段；角；长方形；梯形；平行四边形；圆；等边三角形．其中，一定是轴对称图形有 个．
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：根据轴对称图形是定义可知，
线段，角，长方形和圆，等边三角形一定是轴对称图形；
平行四边形和梯形不一定是轴对称图形，
所以一定是轴对称图形有5个．
故答案为：5．
1．下面是大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D的图形均不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
2．小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是 ．
【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．
【解答】解：∵根据题意得，2的对称数字为5，1的对称数字是1，0的对称数字是0，
∴根据镜面对称的性质可得拍照的时刻应是10：51，
故答案为：10：51．
二、垂直平分线
1．如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，垂足为E，交BC于点D，若AB＝6，BC＝9，则△ABD的周长是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，再根据三角形周长计算公式可推出△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BC，即可求解．
【解答】解：∵DE是边AC的垂直平分线，
∴CD＝AD，
∵△ABD的周长＝AB+BD+AD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+CD＝AB+BC＝6+9＝15，
故选：C．
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．60° B．50° C．80° D．70°
【分析】根据三角形的内角和定理，可求出∠BAC＝180°﹣60°﹣25°＝95°，再根据垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而得出∠DAC＝∠C＝25°，最后根据∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，即可求解．
【解答】解：∵∠B＝60°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣25°＝95°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣25°＝70°．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是 cm．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到BD＝AD，再由线段垂直平分线的定义得到AB＝2AE＝8cm，根据三角形周长公式推出AC+BC＝9cm，据此可得答案．
【解答】解：∵边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，
∴BD＝AD，AB＝2AE＝8cm，
∵△ADC的周长为9cm，
∴AC+CD+AD＝9cm，
∴AC+CD+BD＝AC+BC＝9cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝9+8＝17cm，
故答案为：17．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE垂直平分AB，则∠CAB的度数为 ．
【分析】由角平分线和垂直平分线的性质可推出∠CAD＝∠BAD＝∠B，然后利用三角形内角和定理可求出∠CAB．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴，
∵DE垂直平分AB，
∴DB＝DA，
∴∠BAD＝∠B，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B；
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CAD+∠BAD+∠B+∠C＝180°，
∴3∠BAD+90°＝180°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠CAB＝60°．
故答案为：60°．
5．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
【分析】先连接MN，根据线段垂直平分线的性质作出线段MN的垂直平分线DE，再作出∠AOB的平分线OF，DE与OF相交于P点，则点P即为所求．
【解答】解：如图所示：
（1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；
（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）；
（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求．
6．如图所示：线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若AB＝AC＝8，△ADB的周长是18，求DC的长；
（2）若△BDC的周长为18，BC＝8，AB＝AC，求AE的长．
【分析】（1）首先根据垂直平分线的性质得到AD＝BD，然后结合题意得到AB+AD+BD＝18，求出AD＝5，进而求解即可；
（2）根据△BDC的周长为18，BC＝8得到BD+CD＝10，然后由MN垂直平分AB求出AB＝AC＝10，进而求解即可．
【解答】解：（1）∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∵△ADB的周长是18，
∴AB+AD+BD＝18，
∵AB＝AC＝8，
∴8+2AD＝18，
∴AD＝5，
∵AD+CD＝AC＝8，
∴5+CD＝8，
∴CD＝3；
（2）∵△BDC的周长为18，
∴BD+CD+BC＝18，
∵BC＝8，
∴BD+CD+8＝18，即BD+CD＝10，
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝10，
∴AB＝AC＝10，
∵MN垂直平分AB，
∴．
1．如图，△ABC中，∠BAC＝115°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，连接AE、AF，则∠EAF的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，结合图形计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝115°，
∴∠B+∠C＝180°﹣115°＝65°，
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝65°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝115°﹣65°＝50°．
故选：B．
2．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝4，BC＝9，则△AEF的周长为（ ）
A．4 B．5 C．9 D．13
【分析】由垂直平分线的性质可知，AE＝BE，AF＝CF，进而得到△AEF的周长＝AC，即可得到答案．
【解答】解：∵EG垂直平分AB，FH垂直平分AC，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∴△ABC的周长＝AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝9，
故选：C．
3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF＝ ．
【分析】根据角平分线定义求出∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质求出FC＝FB，求出∠FCB，即可求出答案．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝24°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣48°＝72°，
∵FE是BC的中垂线，
∴FB＝FC，
∴∠FCB＝∠DBC＝24°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝72°﹣24°＝48°，
故答案为：48°．
4．如图，点G在∠AOB内，点M，N分别是点G关于OA，OB的对称点，且MN分别交OA，OB于点E，F，若MN＝20，则△GEF的周长＝ ．
【分析】根据垂直平分线得到EG＝EM，FG＝FN，结合三角形周长公式求解即可得到答案．
【解答】解：∵点M，N分别是点G关于OA，OB的对称点，
∴EG＝EM，FG＝FN，
∴C△GEF＝EG+FG+EF＝ME+FN+EF＝MN＝20，
故答案为：20．
5．作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．
电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
【分析】由题意知，发射塔位于∠QON的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点．故作出∠QON的角平分线与线段AB的垂直平分线或∠NOP的角平分线与AB垂直平分线即可．
【解答】解：①以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交OQ与MN于点C、D，再分别以C、D为圆心，大于CD 长为半径画弧，交于点J，连接OJ．
即OH为∠QON的角平分线．
②分别以A、B为圆心，大于 长为半径在线段AB两侧画弧，交于F、I两点，连接FI交OH于E．
即E点为发射塔所在位置．
同理，∠NOP的角平分线与AB垂直平分线的交点E′为发射塔所在位置．
6．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，直线DM、EN交于点O．
（1）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）连接AO、BO、CO，根据垂直平分线的性质可得AO＝BO，CO＝AO，则BO＝CO，根据垂直平分线的判定可证明结论
（2）根据三角形内角和定理可得∠B+∠C＝60°，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，从而可得∠DAB+∠EAC＝60°，然后利用角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：（1）点O在BC的垂直平分线上，理由如下：
连接AO、BO、CO，
∵边AB、AC的垂直平分线MD与EN分别交BC于点D、E，直线DM、EN交于点O．
∴AO＝BO，CO＝AO，
∴BO＝CO，
∴点O在BC的垂直平分线上；
（2）∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DAE＝60°．
三、成轴对称的点的坐标
1．点P（3，﹣5）关于y轴对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（3，5）
【分析】根据“点的坐标关于坐标轴对称，关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”，进而问题可求解．
【解答】解：根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点P（3，﹣5）关于y轴对称点的坐标是（﹣3，﹣5），
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而求出即可．
【解答】解：点P（﹣3，2）关于x轴的对称点的坐标为：（﹣3，﹣2）．
故选：D．
3．点（﹣2，n）关于x轴的对称点坐标为（m，3），则m+n＝ ．
【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得m，n的值，进而可得答案．
【解答】解：∵点（﹣2，n）关于x轴的对称点坐标为（m，3），
∴m＝﹣2，n＝﹣3，
∴m+n＝﹣5．
故答案为：﹣5．
4．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出点A1的坐标为 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可得，点A1的坐标为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
5．已知点M（x﹣2y，2+x），N（2，﹣1）
（1）若点M，N关于x轴对称，求x，y的值；
（2）若点M，N关于y轴对称，求（2xy）2的值．
【分析】（1）关于x轴的对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变．据此可得x，y的值．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得x，y的值，进而得出（2xy）2的值．
【解答】解：（1）∵点M，N关于x轴对称（关于x轴的对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变．），
∴2+x＝1，x﹣2y＝2，
∴，
（2）∵点M，N关于y轴对称（关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．），
∴2+x＝﹣1，x﹣2y＝﹣2，
∴，
∴．
1．点M（﹣4，3）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣4，﹣3）
【分析】根据平面直角坐标系中关于x轴对称点的坐标特点解答即可．
【解答】解：点M（﹣4，3）关于x轴对称点的坐标为（﹣4，﹣3）．
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣3） B．（5，﹣3） C．（5，3） D．（﹣5，3）
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点P（5，﹣3）关于y轴的对称点的坐标是（﹣5，﹣3）．
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，点A（3，4），B（a，b）关于x轴对称，则a+b的值为 ．
【分析】根据关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a、b的值即可求得答案．
【解答】解：∵点A（3，4）与点B（a，b）关于x轴对称，
∴横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴a＝3，b＝﹣4，
则a+b＝3+（﹣4）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
4．已知点A（3a﹣b，5+a），B（3b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
（2）若点A，B关于y轴对称，求（14a+7b）2024的值．
【分析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可；
（2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）∵点A，B关于x轴对称，
∴，
解得；
（2）∵A，B关于y轴对称，
∴，
解得a＝﹣，b＝．
所以，（14a+7b）2024＝[14×（﹣）+7×]2024＝（﹣1）2024＝1．
5．在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）请直接写出△A1B1C1的面积为 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积为＝＝．
故答案为：．
四、等腰三角形
1．如果等腰三角形两边长是7cm和3cm，那么它的周长是（ ）
A．10cm B．13cm
C．13cm或17cm D．17cm
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：①当腰为7cm时，则三边为7cm、7cm、3cm，满足三角形三边关系，此时周长为17cm，
②当腰为3cm时，则三边为3cm、3cm、7cm，
∵3+3＜7，不满足三角形三边关系，
∴不合题意；
故选：D．
2．等腰三角形的一个内角是40°，它的另外两个角的度数是（ ）
A．40°和100°或55°和55°
B．70°和70°或40°和100°
C．80°和60°或40°和100°
D．60°和80°或70°和70°
【分析】根据题意可知，40°的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况分别进行计算即可．
【解答】解：当40°的角是顶角时，则两个底角为70°，70°；
当40°的角是底角时，则顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°．
故它的另外两个角的度数为70°，70°或40°，100°．
故选：B．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，点E在线段AB上，且满足AE＝EC．若∠ACE＝40°，则∠BCE的度数是（ ）
A．70° B．30° C．40° D．45°
【分析】由AE＝EC，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACE＝∠A＝40°，然后由AB＝AC，求得∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝70°，继而求得答案．
【解答】解：∵AE＝EC，∠ACE＝40°，
∴∠ACE＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝70°﹣40°＝30°，
故选：B．
4．如图，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，则BD＝ ．
【分析】根据等腰三角形的性质，可以得到BD的值．
【解答】解：∵AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，
∴，
故答案为：3．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，交AB于点D，求证：△CDB是等腰三角形．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠B和∠CDB度数，即可得到∠B＝∠CDB，继而利用等腰三角形的判定可得证．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
又∵∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠B＝∠CDB，
∴CD＝BC，
∴△CDB是等腰三角形．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝20°．求∠DAC的大小．
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质得∠ADC＝90°，然后利用∠B的度数求得答案即可；
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝20°，
∴∠C＝∠B＝20°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣20°＝70°
1．如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，那么此三角形的周长是（ ）
A．12cm B．15cm
C．12cm或15cm D．不能确定
【分析】因为等腰三角形的两边分别为3cm和6cm，但没有明确谁是底边，谁是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：当腰为3cm时，则三角形的三边长分别为3cm、3cm、6cm，3+3＝6不满足三角形的三边关系；
当腰为6cm时，则三角形的三边长分别为6cm、6cm、3cm，满足三角形的三边关系，故周长为15cm；
故选：B．
2．等腰三角形的一个角是100°，它的底角的大小为（ ）
A．40° B．100° C．80° D．40°或100°
【分析】由题意知，100°的内角为等腰三角形的顶角，进而可求底角．
【解答】解：根据题意可知该内角必为顶角，
∴底角的度数为，
故选：A．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C＝ 度．
【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC＝70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
∴．
故答案为：55°．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠DBC的度数．
【分析】由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小．
【解答】解：设∠A＝x°．
∵BD＝AD，
∴∠A＝∠ABD＝x°，
∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x°，
在△ABC中x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠C＝∠BDC＝72°，
∴∠DBC＝36°．
5．如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AC于点F，求证：△FEC是等腰三角形．
【分析】根据角平分线的定义可知∠FCE＝∠BCE，根据平行线的性质可知∠FEC＝∠BCE，等量代换得∠FCE＝∠FEC，根据等角对等边可得结论．
【解答】证明：∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠FCE＝∠BCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∴FE＝FC，
∴△FEC是等腰三角形．
6．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答；
（2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答；
②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC．
∴CD＝CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠ACB＝90°，
设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，
∴∠BCD＝2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，
分三种情况：
当BD＝BF时，
∴∠BDC＝∠BFD＝3α，
∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴90°﹣α＝3α，
∴α＝22.5°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；
当DB＝DF时，
∴∠DBE＝∠BFD＝3α，
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，
∴90°﹣2α＝3α，
∴α＝18°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；
当FB＝FD时，
∴∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
五、等边三角形
1．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC＝30°，AD＝CD＝AC，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD＝CD＝AC，∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵CE＝CD，
∴CE＝AC＝3
∴BE＝BC+CE＝6+3＝9．
故选：C．
2．如图，点C为线段BE上一点，分别以BC、CE为边，在BE同侧作等边△ABC和等边△DCE，连接AE，BD相交于点P，则∠BPE的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】先由平角定义得到∠BCE＝180°，再结合等边三角形性质确定BC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝60°，DC＝CE，进而求出∠BCD＝∠ACE＝120°，再由三角形全等的判定确定△BCD≌△ACE（SAS），从而得到∠DBC＝∠EAC，在8字形的△AOP和△BOC中，由三角形内角和定理得到∠APO＝∠ACB＝60°，最后由邻补角定义求解即可得到答案．
【解答】解：∵点C为线段BE上一点，
∴由平角定义得，∠BCE＝180°，
∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝60°，DC＝CE，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则∠BCD＝∠ACE＝60°+60°＝120°，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC，
在△AOP和△BOC中，如图所示：
∴∠AOP＝∠BOC，
∵∠DBC＝∠EAC，
∴由三角形内角和定理可得∠APO＝∠ACB＝60°，
∴∠BPE＝180°﹣∠APO＝180°﹣60°＝120°，
故选：C．
3．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝25°，则∠BAE＝ °．
【分析】利用等边三角形的性质可得∠C＝∠BAC＝60°，从而利用三角形的外角性质可得∠ADE＝85°，然后利用等腰三角形的性质可得∠AED＝∠ADE＝85°，从而利用三角形的内角和定理可得∠DAE＝10°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠BAC＝60°，
∵∠CED＝25°，
∴∠ADE＝∠CED+∠C＝85°，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝85°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝10°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣10°＝50°，
故答案为：50．
4．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
x×1+12＝2x，
解得：x＝12；
（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，
∵三角形AMN是等边三角形，
∴t＝12﹣2t，
解得t＝4，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，
y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
1．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，
∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，
∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴CD＝CE＝2cm，
故选：B．
2．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【分析】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22 OA1，A4B4＝A4A5＝23 OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，即可求解．
【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
3．如图，点B是线段AE上一点，AB＝3BE，△ABC与△BDE都是等边三角形，联结AD、CE交于点P，过点B作BG⊥AD，BH⊥CE，垂足为G、H，联结GH，如果△ABC的面积是S，AD的长是a，那么GH＝ ．（用含字母S和a的代数式表示）
【分析】先求出∠CBD＝60°，进而得∠ABD＝∠CBE＝120°，由此可依据“SAS”判定△ABD和△CBE全等得∠BAD＝∠BCE，AD＝CE＝a，再证明△ABG和△CBH全等得BG＝BH，∠ABG＝∠CBH，进而可得∠CBG＝∠DBH，由此得∠GBH＝60°，则△BGH为等边三角形，S△CBE＝CE BH＝a GH，然后根据AB＝3BE得S△ABC＝3S△CBE，即，由此即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°，
∴∠CBD＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝120°，∠CBE＝∠CBD+∠DBE＝120°，
即∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，AD＝CE＝a，
∵BG⊥AD，BH⊥CE，
∴∠AGB＝∠CHB＝90°，
在△ABG和△CBH中，
，
∴△ABG≌△CBH（AAS），
∴BG＝BH，∠ABG＝∠CBH，
∴∠ABC+∠CBG＝∠CBD+∠DBH，
∵∠ABC＝∠CBD＝60°，
∴∠CBG＝∠DBH，
∴∠GBH＝∠GBD+∠DBH＝∠GBD+∠CBG＝∠CBD＝60°，
∴△BGH为等边三角形，
∴GH＝BH＝BG，
∴S△CBE＝CE BH＝a GH，
∵AB＝3BE，△ABC的面积是S，
∴S△ABC＝3S△CBE，
即，
∴GH＝．
故答案为：．
4．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
六、含30°的直角三角形
1．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝2，则BC＝（ ）
A．2 B．1 C． D．无法确定
【分析】先求出∠A＝30°，再根据含有30°角的直角三角形性质可得BC的长．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∴BC＝AB＝×2＝1，
故选：B．
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠A＝60°，则AC＝ ．
【分析】先根据直角三角形的性质得出∠B＝30°，再根据直角三角形30度角的性质可得结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AC＝AB，
∵AB＝4，
∴AC＝2，
故答案为：2．
3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∠A＝30°，AB＝4，求BD长．
【分析】根据直角三角形的性质可知BC＝AB＝×4＝2，因为CD是△ABC的高，所以∠CDA＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，故∠BCD＝∠A＝30°，BD＝BC＝×2＝1．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴BC＝AB＝×4＝2，
∵CD是△ABC的高，
∴∠CDA＝∠ACB＝90°，
∠B＝∠B，
故∠BCD＝∠A＝30°，
∴在Rt△BCD中，BD＝BC＝×2＝1，
∴BD＝1．
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是斜边AB上的高，则下列关系式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由∠ACB＝90°，∠B＝60°得∠A＝30°，又CD⊥AB得∠ADC＝∠BDC＝90°，从而有∠BCD＝30°，最后根据30°角所对直角边是斜边的一半即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴，，，
∴，
∴选项B关系式不正确，
故选：B．
2．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM＝ cm．
【分析】过P作PD⊥OB于点D，先利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠OPD＝30°，从而利用含30度直角三角形的性质OD＝4cm，然后利用等腰三角形的性质可得MD＝1cm，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过P作PD⊥OB于点D，
在Rt△OPD中，∠ODP＝90°，∠POD＝60°，
∴∠OPD＝90°﹣∠POD＝30°，
∴OD＝OP＝×8＝4（cm），
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2cm，
∴MD＝ND＝MN＝1（cm），
∴OM＝OD﹣DM＝4﹣1＝3（cm），
故答案为：3．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D．BD＝8，求AC边的长．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝DB，再根据等边对等角可得∠BAD＝∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADC＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC的长．
【解答】解：∵点D在AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB＝8，
∴∠BAD＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+15°＝30°，
∵∠C＝90°，
∴AC＝AD＝×8＝4．
七、最短路径问题
1．在某草原上，有两条交叉且笔直的公路OA、OB，如图，∠AOB＝30°，在两条公路之间的点P处有一个草场，OP＝4．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】作点P关于直线OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，分别交OA、OB于M、N，得到△PMN的周长的最小值为FG，再证得△FOG为边长为4的等边三角形即可得出答案．
【解答】解：作点P关于直线OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，
分别交OA、OB于M、N，如图：
∴MP＝MF，NP＝NG，
∴△PMN的周长的最小值为FG，
由轴对称的性质得：∠FOA＝∠AOP，∠POB＝∠GOB，
OP＝OF，OP＝OG，
∵∠AOP+∠POB＝∠AOB＝30°，OP＝4，
∴∠FOG＝∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB＝60°，OF＝OG＝4，
∴△FOG为边长为4的等边三角形，
∴FG＝4，
∴△PMN的周长的最小值为4．
故选：A．
2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E、F两动点分别在线段AD、AB上运动，若∠BAC＝40°，则当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为 ．
【分析】依据题意，连接CE，先证明△CDE≌△BDE（SAS），得到CE＝BE，从而推出当C、E、F三点共线且CF⊥AB时CE+EF最小，即此时BE+EF最小，由三线合一定理得到∠BAD＝∠BAC＝20°，则∠ABD＝70°，故当BE+EF最小时，∠CF′B＝90°，∠BCF′＝20°，同理可得CE′＝BE′，则∠CBE′＝∠BCE′＝20°，利用三角形外角的性质即可得到答案．
【解答】解：如图所示，连接CE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°，
又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△BDE（SAS），
∴CE＝BE，
∴BE+EF＝CE+EF，
∴当C、E、F三点共线且CF⊥AB时CE+EF最小，即此时BE+EF最小，
∵∠BAC＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC＝20°，
同理可得CE′＝BE′，则∠CBE′＝∠BCE′＝20°，
∴∠BE′F′＝∠CBE′+∠BCE′＝40°，
∴当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为40°，
故答案为：40°．
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值（ ）
A．2.4 B．4 C．5 D．4.8
【分析】作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H．结合角平分线的性质以及轴对称的性质可得点Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH，根据题意可得CH＝4.8，进而可得答案．
【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H．
∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称，
∴点Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH．
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，S△ABC＝ AC BC＝ AB CH，
∴CH＝4.8，
∴CP+PQ≥4.8，
∴PC+PQ的最小值为4.8．
故选：D．
4．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，根据三角形的面积公式求出AD的长，根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC＝4，△ABC的面积是20，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∴MC+MD＝MA+MD≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×4＝12．
故答案为：12．
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第13章 轴对称
一、轴对称
1．汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中：线段；角；长方形；梯形；平行四边形；圆；等边三角形．其中，一定是轴对称图形有 个．
1．下面是大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是 ．
二、垂直平分线
1．如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，垂足为E，交BC于点D，若AB＝6，BC＝9，则△ABD的周长是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．60° B．50° C．80° D．70°
3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是 cm．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE垂直平分AB，则∠CAB的度数为 ．
5．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
6．如图所示：线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若AB＝AC＝8，△ADB的周长是18，求DC的长；
（2）若△BDC的周长为18，BC＝8，AB＝AC，求AE的长．
1．如图，△ABC中，∠BAC＝115°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，连接AE、AF，则∠EAF的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
2．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝4，BC＝9，则△AEF的周长为（ ）
A．4 B．5 C．9 D．13
3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF＝ ．
4．如图，点G在∠AOB内，点M，N分别是点G关于OA，OB的对称点，且MN分别交OA，OB于点E，F，若MN＝20，则△GEF的周长＝ ．
5．作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．
电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
6．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，直线DM、EN交于点O．
（1）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．
三、成轴对称的点的坐标
1．点P（3，﹣5）关于y轴对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（3，5）
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
3．点（﹣2，n）关于x轴的对称点坐标为（m，3），则m+n＝ ．
4．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出点A1的坐标为 ．
5．已知点M（x﹣2y，2+x），N（2，﹣1）
（1）若点M，N关于x轴对称，求x，y的值；
（2）若点M，N关于y轴对称，求（2xy）2的值．
1．点M（﹣4，3）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣4，﹣3）
2．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣3） B．（5，﹣3） C．（5，3） D．（﹣5，3）
3．在平面直角坐标系中，点A（3，4），B（a，b）关于x轴对称，则a+b的值为 ．
4．已知点A（3a﹣b，5+a），B（3b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
（2）若点A，B关于y轴对称，求（14a+7b）2024的值．
5．在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）请直接写出△A1B1C1的面积为 ．
四、等腰三角形
1．如果等腰三角形两边长是7cm和3cm，那么它的周长是（ ）
A．10cm B．13cm
C．13cm或17cm D．17cm
2．等腰三角形的一个内角是40°，它的另外两个角的度数是（ ）
A．40°和100°或55°和55°
B．70°和70°或40°和100°
C．80°和60°或40°和100°
D．60°和80°或70°和70°
3．如图，△ABC中，AB＝AC，点E在线段AB上，且满足AE＝EC．若∠ACE＝40°，则∠BCE的度数是（ ）
A．70° B．30° C．40° D．45°
4．如图，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，则BD＝ ．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，交AB于点D，求证：△CDB是等腰三角形．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝20°．求∠DAC的大小．
1．如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，那么此三角形的周长是（ ）
A．12cm B．15cm
C．12cm或15cm D．不能确定
2．等腰三角形的一个角是100°，它的底角的大小为（ ）
A．40° B．100° C．80° D．40°或100°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C＝ 度．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠DBC的度数．
5．如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AC于点F，求证：△FEC是等腰三角形．
6．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
五、等边三角形
1．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．如图，点C为线段BE上一点，分别以BC、CE为边，在BE同侧作等边△ABC和等边△DCE，连接AE，BD相交于点P，则∠BPE的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝25°，则∠BAE＝ °．
4．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
1．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
3．如图，点B是线段AE上一点，AB＝3BE，△ABC与△BDE都是等边三角形，联结AD、CE交于点P，过点B作BG⊥AD，BH⊥CE，垂足为G、H，联结GH，如果△ABC的面积是S，AD的长是a，那么GH＝ ．（用含字母S和a的代数式表示）
4．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
六、含30°的直角三角形
1．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝2，则BC＝（ ）
A．2 B．1 C． D．无法确定
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠A＝60°，则AC＝ ．
3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∠A＝30°，AB＝4，求BD长．
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是斜边AB上的高，则下列关系式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM＝ cm．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D．BD＝8，求AC边的长．
七、最短路径问题
1．在某草原上，有两条交叉且笔直的公路OA、OB，如图，∠AOB＝30°，在两条公路之间的点P处有一个草场，OP＝4．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E、F两动点分别在线段AD、AB上运动，若∠BAC＝40°，则当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为 ．
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值（ ）
A．2.4 B．4 C．5 D．4.8
4．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
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