2024-2025学年江苏省徐州市多校高二上学期第一次联考数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省徐州市多校高二上学期第一次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为( )
A. B. 且
C. D.
3.已知圆，则圆心的坐标和半径分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知圆与轴相切，圆心在直线上，且经过点，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6.数学家欧拉在年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知的顶点，，且，则的欧拉线方程为( )
A. B. C. D.
7.若直线与圆相切，则圆与圆( )
A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切
8.设椭圆的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，关于该椭圆，有下列四个命题：
甲：
乙：的周长为
丙：离心率为
丁：四边形的面积为．
如果只有一个假命题，则该命题是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，，则( )
A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时，
C. 若，则 D. 直线始终过定点
10.已知点是圆上任意一点，直线分别与轴、轴相交于点，，则( )
A. 直线与圆相离 B. 面积的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.已知椭圆的左右焦点分别是，以为直径的圆与在第一象限交于点，延长线段交于点若，则( )
A. B. 的面积为
C. 椭圆的离心率为 D. 直线的斜率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若三点，，共线，则 ．
13.与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 ．
14.已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，直线．
求过点，且与直线平行的直线的方程
光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程．
16.本小题分
已知的三个顶点为，，．
求外接圆的方程
直线过点，被圆截得的弦长为，求直线的方程．
17.本小题分
已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．
求椭圆的方程
若倾斜角为的直线经过点，且与交于，两点点在点的上方，求的值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知，满足的点形成的曲线记为．
求曲线的方程
是直线上的动点，过点作曲线的切线，切点分别为，求切线长的最小值，并求出此时直线的方程．
19.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作不与坐标轴垂直的直线交于，两点，点的坐标为．
证明：
设点关于轴的对称点为，求的面积的最大值．
参考答案
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15.解：设直线的方程为．
因为经过点，
所以，解得，
所以直线的方程为．
设点关于直线的对称点，
所以
解得即．
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即．
16.解：设外接圆的方程为，
则
外接圆的方程为
由可知圆的标准方程为，圆心，半径，
直线被圆截得的弦长为，圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
，解得，
直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
17.因为椭圆经过点和点，所以
解得，，，
所以椭圆的方程为．
倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点，
则直线的方程为，即．
联立消得，
解得，．
因为点在点的上方，
所以，，所以．
18.解：由，即，得，化简得，，
即曲线的方程为．
曲线为圆，且圆心为，半径当与直线垂直时，切线长取得最小值．
此时，所以切线长的最小值为．
由解得
即，所以四边形的外接圆，以为直径的圆的方程为
，即．
所以直线的方程为，
化简为，即．
19.证明：由题意，，．
设直线的方程为，
由消得．
设，，
则，．
要证．
即证直线，的斜率之和．
因为，
而，
所以得证，
所以，的倾斜角互补，即．
解：由及椭圆的对称性可知，直线经过点．
设直线的方程为，
由消得．
设，，
则
且，即．
所以，
所以．
又点到直线的距离为，
所以的面积．
设，则，且．
当，即时，面积取最大值，最大值为．
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