江苏省“金太阳”2025届高三10月百校联考数学试题（含答案）

江苏省“金太阳”2025届高三10月百校联考试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，集合或，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，命题：，，命题：，则“命题成立”是“命题成立”的 条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
4.塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解也给环境造成了不小的污染．某种塑料在自然界降解后的残留量与自然降解时间年之间的关系为，其中为初始量，为降解系数．已知该种塑料经过年自然降解后的残留量为初始量的则该种塑料至少需要经过 年的自然降解，才能使得其残留量不超过初始量的参考数据：
A. B. C. D.
5.已知向量，，，且，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.下列在同一坐标系中的图象，可以作为三次函数及其导函数的图象的为( )
A. B. C. D.
7.对于任意的，，恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，，为偶函数，且函数的图象关于点对称，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，复数，对应的向量分别为，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则( )
A.
B. 的最小正周期为
C. 的图象的一条渐近线为直线
D. 的增区间为
11.已知函数若存在实数使得方程有四个不同的实数解，，，，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为等差数列的前项和，若，，则的值为 ．
13.某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台如图，用一张矩形的石墨烯显示屏可弯曲围成展台的侧面两个矩形和一个曲面，商品放在展台上展示，显示屏播放商品广告已知石墨烯显示屏的长度一定，为了使得展台底面扇形面积最大，扇形的圆心角应设计为 弧度．
14.函数的函数值表示不超过的最大整数，人们习惯称其为“取整函数”，例如：，若，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的面积为，为边的中点，，．
求边的长
求角的正弦值．
16.本小题分
已知数列和满足，为常数，且
证明：数列是等比数列．
已知为数列的前项和，且记，为数列的前项和，求使得的的最大值．
17.本小题分
已知函数
求在区间上的最值
已知，且，求的值．
18.本小题分
已知函数．
当时，证明：．
若函数的图象与轴相切，求的值．
若存在极大值点，求的取值范围．
19.本小题分
已知集合，为集合的子集定义，．
取
若存在且，求的最小值
对于给定的，若存在，，，互不相同且，求的最大值及此时的最大值．
取，是否存在及，，使得且若存在，请举例若不存在，请证明．
参考答案
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15.解：设，，则．
因为为边的中点，所以．
因为的面积为，所以．
因为，所以．
得，所以，所以，
所以的长为．
在中，由余弦定理得，
所以，得，
在中，由正弦定理得，
所以，所以．
16.解：由，，
消去得，
由得，
所以．
因为，所以，所以，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
由知，，
因为，所以，
即，所以，
，
所以．
又，是递减数列，且，
所以，
又因为，，
所以使得的的最大值为．
17.解：，
令，，解得，，
所以在上的增区间为，减区间为，
所以当时，取得最大值．
又，，所以的最小值为．
因为，所以，即，
因为，所以，，
又在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，所以，
所以，即，
所以或，
因为，所以，
所以．
18.解：的定义域为
当时，，，令，得，
当时，，当时，，
所以在时取得最小值，所以．
，
令，得或，
当时，令，得，所以．
当时，，
由得，所以，此时曲线与轴不相切．
综合，当曲线与轴相切时，的值为．
由得，令，，
当时，，当时，，所以在时取得最小值，
当，即时，当且仅当，时，等号成立，此时仅有，
且当时，，当时，，所以存在极小值，无极大值，即无极大值点．
当，即时，
，，
设，所以，单调递增．
所以，所以．
，，
所以在上有且仅有两个不同的零点，，且，
所以在上有且仅有三个不同的零点，，，
所以当时，在时取得极大值，所以极大值点为．
综合，当存在极大值点时，的取值范围为。
19.解：当时，，子集为，，，，不符合题意
当时，，子集为，，，，，，，，不符合题意
当时，，取其子集，，则，，，符合题意，
所以的最小值为．
当时，由知不符合题意当时，，其子集共有个，
以为全集，其可以分成对，即，，，，
当时，必然至少有一对在，，，中，则，
当中只有一个元素时，设为，记，则中含有个元素，
所以有个子集，将每一个子集中加入元素得到新的个集合，则这个集合满足题意．
所以的最大值．
同理可得当中有个元素时，满足题意的集合最多为个，
因为，所以取得最大值时，中有且只有一个元素，记为，
则在中含有个的和，而其它每一个元素都被求和次，
即
，
对于给定的，的最大值为，所以的最大值．
不存在及，，使得且
证明如下：当时，显然不存在．
当时，对于任意的，不妨设，中没有共同元素若有共同元素且满足题意，则同时去掉共同元素所得的两个集合仍然满足题意，且，中的最大元素在中记为．
因为，所以，
，
又，
所以，所以对任意的都不存在，，使得且
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