河北省邢台市“邢襄联盟”2025届高三上学期10月份期中联考数学试题（含答案）

河北省邢台市“邢襄联盟”2025届高三上学期10月份期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则
A. B. C. D.
2.若复数满足，则
A. B. C. D.
3.已知，，，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
4.设数列的前项和为，若，，则
A. B. C. D.
5.已知某圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，则该圆台的体积为
A. B. C. D.
6.已知平面向量，均为非零向量，则“”是“”的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为
A. B. C. D.
8.如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，，，分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在点测得点的仰角为，在点测得点的仰角为，则该建筑物的高约为参考数据：，，
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则
A. B.
C. D.
10.如图，在等腰梯形中，为腰的中点，，，是梯形内包含边界任意一点，与交于点，则
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最大值为
11.已知数列是常数列，且，则
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知命题“，”是假命题，则的取值范围是 ．
13.已知，函数在上单调递增，则的最大值为 ．
14.曲线与曲线的公切线方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，若．
求角的大小；
若，，求的值．
16.本小题分
如图，在五棱锥中，，，，，，．
证明：平面．
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性；
若不等式对恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知数列，满足，，．
求，的值；
求，的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
定义：对于函数，，若，，，，则称“”为三角形函数．
已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数；
已知函数，，若“”为三角形函数，求的取值范围；
若函数，，证明：“”为三角形函数．参考数据：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：由，得，
即，，所以，
因为，所以．
在中，由余弦定理有，
解得或舍去．
根据正弦定理可得，解得，
则．
16.证明：因为，，，，
所以，，
则，，
因为，平面，平面，所以平面．
解：根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系，，，
则，．
易得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则
可取．
设平面与平面的夹角为，
则，，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：由题意得
当时，令，得或，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增．
故当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
由得，
因为，所以，则
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则在处取得极大值，也就是最大值，所以，
则，所以，故的取值范围为
18.解：根据题意可得，．
依题意得，则，所以．
当为奇数时，，即，
当为偶数时，，
当为偶数时，，即，
当为奇数时，．
综上，
由得
设，则，
两式相减得，
则．
设，
则，
两式相减得，
则．
故
．
19.解：由，可得，
令，解得，令，解得，可知在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
因为“”为三角形函数，所以，．
因为，所以的图象关于直线对称，
又为二次函数，所以答案不唯一，只需满足，且，即可
解：．
当，即时，，此时，满足，符合题意
当，即时，是上的减函数，所以的值域为，
因为，，，，所以，得
当，即时，是上的增函数，所以的值域为，
因为，，，，所以，得．
综上，的取值范围是．
证明：由题可知，
设，
则在上恒成立，所以在上单调递减．
又，，
所以存在，使得，即．
当时，，则在上单调递增
当时，，则在上单调递减．
故当时，取得唯一极大值，也是最大值，令的最大值为，
则，
将式代入上式，可得．
令，，则由，可知在上单调递增，
故，成立．
故“”为三角形函数．
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