第二章一元二次方程单元测试卷 (1)（含解析）北师大版九年级上册数学

第二章 一元二次方程 单元测试卷 北师大版九年级上册数学
一、单选题
1．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
4．一人患了流感，两轮传染后共有121人感染了流感．按这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人共有( )人
A．20 B．22 C．60 D．61
5．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．对于一元二次方程，下列说法错误的是( )
A．若，则方程必有一根为；
B．若是一元二次方程的根，则
C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根
D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
8．在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程x2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两根，则m的值是（ ）
A．4 B．-1 C．4或-1 D．-4或1
9．对于实数，定义新运算，则下列结论正确的有（ ）
①当时，；
②；
③若是关于的一元二次方程的两个根，则或；
④若是关于的一元二次方程的两个根，，则的值为或
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．关于x的方程，给出下列四个题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．关于x的一元二次方程的两根之和为 ．
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程的两根相等，则△ABC为
14．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中，会得到一个新的实数a2－2b＋3，若将实数对(x，－2x)放入其中，得到一个新数为8，则x＝ ．
15．第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．

（1）八进制数3746换算成十进制数是 ；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，则n的值为 ．
三、解答题
16．已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．
17．按照下列不同方法解方程．
（1）（直接开平方法）
（2）（配方法）
（3）（公式法）
（4）（因式分解法）
18．某校九年级学生小强与他的学习互助组成员商量，决定毕业时，都将自己的相片送一张给互助组其他成员作纪念．同时，互助组每位成员也都送班主任王老师一张相片，以感谢王老师三年来对互助组的辛勤指导．
（1）若该互助组有n名成员，则毕业时，他们一共将送出多少张相片？（用含n的代数式表示）；
（2）小强说，他算了一下，他们互助组一共将送出20张相片，那么，你同意他的说法吗？请说明理由．
19．十一国庆期间，某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下：
购票人数 收费标准
不超过25人 50元/人
超过25人 每增加1人，每张票的单价减少2元，但单价不低于28元．
某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，设这批员工共有x人．
(1)当时，该公司应支付购票费用多少元？当时，该公司应支付购票费用多少元？
(2)若该公司观看此场演出超过25人，共支付1050元的购票费用，求出此时的x值？
20．我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．
(1)求的值；
(2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．
21．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米．
(1)矩形的另一边长为______米（用含的代数式表示）；
(2)矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
22．宜昌BRT快速公交系统及东山大道改造工程于2014年2月正式施工建设，成为宜昌近几年最大的市政工程和“一号民生工程”，全长约为23.8公里，是宜昌市现阶段客流量最为集中的干线客运走廊之一．
（1）如果一条行车道供小汽车使用，每小时最多能通过700辆车，且每辆小汽车平均乘座3人，但如果该车道专供BRT使用，每小时只能通过100辆公交车，但运送的总乘客数约是小汽车的7倍，求每辆公交平均乘座约多少人？（结果精确到十位）
（2）该工程包括前期设计、施工建设与投入试用三个阶段．已知试用期是前期设计时间的2倍，施工建设的时间比前期设计与投入试用时间的总和还多8个月，若每月可完成施工建设1.4公理，问该工程何时投入试用阶段？
（3）小明的爸爸在东山大道旁租一商铺经营，2013年总营业额是24万元，总支出包括两部分：一是交房租6万元，二是其他开支占总收入的25%．2014年因为受到大道改造工程的影响，总利润下降了许多，而2015年随着大道改造工程的完工，总利润预计又有回升．若2014年较上年度总利润下降的百分数刚好和2015年较上年度总利润增长的百分数相同，则小明的爸爸预计在2015年获得的总利润比2013年的总利润少3万元，求2014年小明爸爸获得的利润因大道改造而下降的百分数．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
2．C
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
3．B
【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．
4．B
【分析】设每轮传染中人传染给人，则第一轮传染后共人患流感，第二轮传染后共人患流感，列出方程进行计算即可．
【详解】解：设每轮传染中人传染给人，则第一轮传染后共人患流感，第二轮传染后共人患流感，
根据题意得：，
解得：， (舍去)，
．
故选：B．
【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．
5．D
【分析】设宽为x步，则长为步，根据题意列方程即可．
【详解】解：设宽为x步，则长为步，
由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是关键．
6．C
【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为，
去年上半年平均每周作业时长为分钟，
去年下半年平均每周作业时长为分钟，
今年上半年平均每周作业时长为分钟，
现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，由，可得出方程必有一根为，即可判断A；利用求根公式得出，变形即可判断B；由一元二次方程根与系数的关系可得，，变形即可判断C；根据一元二次方程根的判别式即可判断D；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
当时，，
若，方程必有一根为，故A说法正确，不符合题意；
是一元二次方程的根，
，
，
，故B说法正确，不符合题意；
方程两根为，且满足，
，，
，，
方程，必有实根，故C说法正确，不符合题意；
方程有两个不相等的实根，
，
，
方程有两个不相等的实根，故D说法错误，符合题意；
故选：D．
8．A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出a+b和ab，利用勾股定理可得出a2+b2=25，再将方程左边转化为（a+b）2-2ab，然后整体代入建立关于m的方程，解方程求出m的值，再由a+b＞0，确定m的值．
【详解】如图．设BC=a，AC=b．根据题意得a+b=2m-1，ab=4（m-1）．
由勾股定理可知a2+b2=25，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=（2m-1）2-8（m-1）=4m2-12m+9=25，
∴4m2-12m-16=0，
即m2-3m-4=0，
解之得m1=-1，m2=4．
∵a+b=2m-1＞0，
即m＞ ，
∴m=4．
故答案为A
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系 ， 解题的关键是熟练掌握.
9．C
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程，整式的加减混合运算知识，正确理解新定义下的运算法则是解题关键．根据已知新定义运算计算，即可判断①②结论；利用因式分解法解二元一次方程，再结合新定义运算计算，即可判断③④结论．
【详解】解：①当时，，
，
，
，
即当时，，①结论正确；；
②当时，此时，
，
当时，此时，
，
即，②结论正确；
③，
，
或，
或，
是关于的一元二次方程的两个根，
当，时， ；
当，时，，
即或，③结论正确；
④，
，
，
或，
或，
若，则，
此时，
解得：；
若若，则，
此时，
解得：，不符合题意，舍去；
的值为，④结论错误，
结论正确的有①②③，共3个，
故选：C．
10．A
【分析】首先将分类讨论得到两个方程，然后根据根的判别式得出根的个数即可．
【详解】解:时，或
方程化为：①
时，
方程化为：②
当，即时，
方程①的根为：
方程②的根为：
分析可得时，即：时，有5个不相等的实根
时，
则
中，不符合题意，故有2个实数根
中，，均不符合题意
故时，有2个实数根
共有8个不相等的实数根
当，即时，
方程①的根为：，
方程②的根为：，
故共有4个不相等的实数根
当，即时，
方程没有实数根
综上，方程可能有个、个、个、个实数根
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程跟的情况，相关知识点有：根的判别式、绝对值、分类思想等，分类讨论是本题的解题关键．
11．
【分析】利用根与系数的关系进行求值．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握．
12．且
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴的取值范围是且，
故答案为：且．
13．直角三角形
【分析】方程的两根相等，即 =0，结合直角三角形的判定方法确定三角形的形状．
【详解】解：原方程整理得(a+c)x2+2bx+a-c=0，
因为两根相等，
所以 =b2-4ac=(2b)2-4×(a+c)×(a-c)=4b2+4c2-4a2=0，
即b2+c2=a2，
所以△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及勾股定理的逆定理，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0 方程有两个不相等的实数根；②△=0 方程有两个相等的实数根；③△＜0 方程没有实数根．△ABC的三边长满足b2+c2=a2，由勾股定理的逆定理可知，此三角形是直角三角形．
14．-5或1
【详解】解：根据题意得x2﹣2（﹣2x）+3=8，整理得x2+4x﹣5=0，（x+5）（x﹣1）=0，所以x1=﹣5，x2=1．故答案为﹣5或1．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
15． 2022 9
【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得结果相加即可得解；
（2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）
．
故八进制数字3746换算成十进制是2022．
故答案为：2022；
（2）依题意有：，
解得，（舍去）．
故的值是9．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．
16．
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系求解即可．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴且，
解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
17．（1），；（2），；（3），；（4），；
【分析】按照题目给出的方法解方程即可．
【详解】解：（1）（直接开平方法）
，
，
，；
（2）（配方法）
，
，
，
，
或，
，；
（3）（公式法）
，
，
，
，；
（4）（因式分解法）
，
或，
，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握一元二次方程的不同解法，准确进行计算求解．
18．（1）n（n﹣1）＋n张；（2）不同意，见解析
【分析】（1）每人送出的照片数量×人数，加上送给王老师的张数，即可求得；
（2）令（1）题中的代数式为20求得整数即可，否则不可以．
【详解】解：（1）每人送出（n－1）张照片，共n人，一共n（n－1）张，另外还要加上送给王老师的n张，共n（n﹣1）＋n张；
（2）不同意．
依题意得：n（n﹣1）＋n＝20，
∴n＝±2
显然，n不是正整数，不符合题意，
∴小强说一共送出20张相片的说法错误．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出送出的相片的总数．
19．(1)1250元；1232元
(2)35人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
(1) 当时，直接按照单价乘以人数计算即可；当时，先计算单价为元，再按照单价乘以人数计算即可．
(2)先计算单价元，再根据单价乘以人数等于费用，列出方程计算即可．
【详解】（1）∵不超过25人，每张票的单价50元，
∴当时，该公司应支付的购票费用为：（元），
∴超过25人，每增加1人，每张票的单价减少2元，
∴当时，该公司应支付的购票费用为：（元），
答：当时，该公司应支付的购票费用为1250元；当时，该公司应支付购票费用1232元．
（2）由题意得：，
整理得：，
解得：，

∴不符合题意，舍去
当时，每张票的单价为：，符合题意，
答：该公司观看此场演出的员工35人．
20．(1)10；
(2)且．
【分析】（1）根据新定义计算即可求解；
（2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
整理得，
∵关于x的方程有两个实数根，
∴，且，
解得且．
【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
21．(1)
(2)矩形的面积能为，此时米
【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题的关键．
（1）根据题中条件即可求出的长；
（2）先根据题意列出方程并求解，确定的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：设矩形的一边长为米，
则米，
即矩形的另一边长为米．
故答案为：；
（2）不能，理由如下：
由题意得 ，
整理得 ，
解得，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
∴矩形的面积能为，此时米．
22．（1）150人；（2）2015年7月进入试用阶段；（3）50%.
【详解】试题分析：（1）设每辆公交车平均乘座x人．根据每小时只能通过100辆公交车，但运送的总乘客数约是小汽车的7倍列出方程并解答；
（2）设前期设计的时间为y个月．则由“已知试用期是前期设计时间的2倍，施工建设的时间比前期设计与投入试用时间的总和还多8个月，全长约为23.8公里”列出方程并解答；
（3）设2014年利润下降的百分数为z．由题意得到方程：（24﹣6﹣24×25%）（1+z）（1﹣z）=24﹣6﹣24×25%﹣3，解方程即可．
试题解析：（1）设每辆公交车平均乘座x人．则
7×700×3=100x
解得：x=147≈150（人）；
（2）设前期设计的时间为y个月．则
1（3y+8）×1.4=23.8
解得：y=3
则3y+8=3×3+8=17（月）
所以该项工程可从2015年7月进入试用阶段．
（3）设2014年利润下降的百分数为z．则（24﹣6﹣24×25%）（1+z）（1﹣z）=24﹣6﹣24×25%﹣3
解得：z=50%
所以2014年利润下降的百分数为50%．
答案第1页，共2页
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