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浙教版2024-2025八年级上册期中全优达标卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，5，9 D．8，4，4
2．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，≌，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
4． 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．BC＝2DE C．∠ABE＝15° D．DE＝2AE
5．已知实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．17或22 B．17
C．22 D．以上答案均不对
6．人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘（如图），这就是有名的艾宾浩斯遗忘曲线，分析图象得到下列结论（ ）
A．记忆后的1小时之内，遗忘速度最慢
B．记忆保持量是自变量
C．点A表示记忆15小时后记忆保持量约为36%
D．记忆12小时后，记忆保持量保持不变
7．如图，四边形 中， ，点 是 的中点，连接 、 ， ，给出下列五个结论：① ；② 平分 ；③ ；④ ；⑤ S四边形ABCD，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．5个 D．4个
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上， ，在坐标轴上找一点P，使得 是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（ ）
A．6 B．12 C．4 D．8
10．（2016辽宁省葫芦岛市）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y（km）与行驶时间t（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
①甲车的速度为50km/h②乙车用了3h到达B城
③甲车出发4h时，乙车追上甲车 ④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若等腰的两条边长为6和2，则周长为 .
12．在中，，，，则 ．
13．如图，有一个圆柱体，它的高等于，半径等于，一只蚂蚁在点A处，它要吃到上底面上与A点相对的点B处的食物，沿圆柱体侧面爬行的最短路程是 cm（的值取3）．
14．若 ，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）.
15．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是
16．如图，在第一个△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2＝A2D；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为 .
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，
（1）求AB的长度；
（2）求CE的长．
18．（6分）如图，，分别是的中线和角平分线，.
（1）若的面积是20，且，求的长.
（2）若，求的度数.
19．（6分）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB＝AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
20．（6分）用一条长为 的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边长是 的等腰三角形吗？为什么？
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点B，且与正比例函数 的图象交点为 .
（1）求正比例函数与一次函数的关系式.
（2）若点D在第二象限， 是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标.
（3）在 轴上是否存在一点P使 为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标.
22．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰 .
（1）如图1，若OB＝6，则点C的坐标为 ；
（2）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰 ，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰 .连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长.
23．（18分）已知A、B两地同有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的．如图是客车、货车离C站的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系图象．
（1）求货车的速度并求A、B两地间的路程．
（2）求客车y与x的函数关系式并直接写出货车y与x的函数关系式．
（3）求点P的坐标并说出点P的实际意义．
（4）出发后经过多长时间两车间路程是70km？
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浙教版2024-2025八年级上册期中全优达标卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，5，9 D．8，4，4
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、2+3＞4，能组成三角形，故此选项符合题意；
B、2+3＝5，不能够组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+5＝8＜9，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、4+4＝8，不能组成三角形，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据三角形三边的关系逐项判断即可。
2．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点的横坐标为正，纵坐标为负，故在第四象限.
故答案为：D．
【分析】根据象限的坐标特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，即可得解．
3．如图，≌，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解： ≌，
．
，
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的对应边相等，可证得BC=EF，可得到EF的长；根据CF=EF-EC，代入计算求出CF的长.
4． 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．BC＝2DE C．∠ABE＝15° D．DE＝2AE
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】A、∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠BAD=∠BAC=30°，∴BD=AB，∴A正确，不符合题意；
B、∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴BE=CE，∵∠EBC=45°，∴△BEC是等腰直角三角形，∴ED=BC，∴BC=2DE，∴B正确，不符合题意；
C、∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵∠EBC=45°，∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°，∴C正确，不符合题意；
D、∵无条件证出DE与AE之间的数量关系，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质及角的运算逐项分析判断即可.
5．已知实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．17或22 B．17
C．22 D．以上答案均不对
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，|a-4|≥0，≥0，
∴a-4=0，b-9=0.
∴a=4，b=9.
当以a，b的值为两边长的等腰三角形时，分两种情况：
①当腰长是4，底边是9时，
∵4+4＜9，∴不能组成三角形.
②当腰长是9，底边是4时，
∵9+4＞9，∴能组成三角形.
∴三角形的周长是4+9+9=22.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求出a、b的值，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系分类讨论即可.
6．人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘（如图），这就是有名的艾宾浩斯遗忘曲线，分析图象得到下列结论（ ）
A．记忆后的1小时之内，遗忘速度最慢
B．记忆保持量是自变量
C．点A表示记忆15小时后记忆保持量约为36%
D．记忆12小时后，记忆保持量保持不变
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据曲线图象得：
A 记忆后的1小时之内，遗忘速度最快，A项错误，不符合题意；
B 时间是自变量，而记忆保持量是因变量，B项错误，不符合题意；
C 点A表示记忆15小时后记忆量约为36％，C项正确，符合题意；
D 记忆12小时后，记忆保持量已低于40％，D项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据曲线图象逐一判断即可.
7．如图，四边形 中， ，点 是 的中点，连接 、 ， ，给出下列五个结论：① ；② 平分 ；③ ；④ ；⑤ S四边形ABCD，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．5个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长AE交BC延长线于M，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠M，
∵∠EAD＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠M，
∴AB＝BM，
∵E为CD中点，
∴DE＝EC，
∵∠DEA＝∠CEM，
∴△DAE≌△CME，
∴AD＝CM，AE＝EM，
∴AD＋BC=CM+BC=BM＝AB，
∵AB＝BM，AE＝EM，
∴BE⊥AE；BE平分∠ABC；
∴∠ABE＝∠CBE，
取AB中点，连接EF，
∵E，F分别是AB，DC的中点，
∴EF是梯形ABCD是中位线
∴EF= ，
设梯形的高为h，
∴ ×h×EF，S四边形ABCD=
∴ S四边形ABCD正确；
即①②③⑤正确；
根据已知不能得出AB⊥BC ；故④错误；
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质先求出∠DAE＝∠M，再证明△DAE≌△CME，最后根据三角形的面积进行求解即可。
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上， ，在坐标轴上找一点P，使得 是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，得到P5，此时AP=BP；
以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P2和P6，此时AB=AP；
以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P1、P3和P4，此时BP=BA；
综上所述：符合条件的点P共有6个.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，分AB=AP，AP=BP，BP=AB三种情况考虑即可得出答案.
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（ ）
A．6 B．12 C．4 D．8
【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中， ，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF=S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF=S△ADH，
即38+S=50-S，
解得S=6．
故答案为：A．
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可．
10．（2016辽宁省葫芦岛市）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y（km）与行驶时间t（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
①甲车的速度为50km/h②乙车用了3h到达B城
③甲车出发4h时，乙车追上甲车 ④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】①甲车的速度为 =50km/h，故本选项符合题意；
②乙车到达B城用的时间为：5﹣2=3h，故本选项符合题意；
③甲车出发4h，所走路程是：50×4=200km，甲车出发4h时，乙走的路程是： ×2=200km，则乙车追上甲车，故本选项符合题意；
④当乙车出发1h时，两车相距：50×3﹣100=50km，当乙车出发3h时，两车相距：100×3﹣50×5=50km，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据路程、时间和速度之间的关系判断出①符合题意；根据函数图象上的数据得出乙车到达B城用的时间，判断出②符合题意；根据甲的速度和走的时间得出甲车出发4h时走的总路程，再根据乙的总路程和所走的总时间求出乙的速度，再乘以2小时，求出甲车出发4h时，乙走的总路程，从而判断出③符合题意；再根据速度×时间=总路程，即可判断出乙车出发后经过1h或3h，两车相距的距离，从而判断出④符合题意．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若等腰的两条边长为6和2，则周长为 .
【答案】14
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰长为6时，三边长为6，6，2，此时6+2=8>6，能构成三角形，此时三角形的周长为6+6+2=14；
当腰长为2时，三边长为6，2，2，此时2+2=4<6，不能构成三角形.
故答案为：14.
【分析】分别以6，2为腰长，结合三边关系求解.
12．在中，，，，则 ．
【答案】8
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∵BC＝4cm，
∴AB＝2BC＝8cm．
故答案为：8
【分析】先根据三角形内角和定理得到∠A的度数，进而根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。
13．如图，有一个圆柱体，它的高等于，半径等于，一只蚂蚁在点A处，它要吃到上底面上与A点相对的点B处的食物，沿圆柱体侧面爬行的最短路程是 cm（的值取3）．
【答案】15
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将圆柱体展开，连接，根据两点之间线段最短，
根据题意可得：AC是圆周的一半，
，
，
故答案为：．
【分析】将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求解即可。
14．若 ，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）.
【答案】＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由 ，利用不等式性质3，两边同乘-5，不等号改变方向，可得 ，再利用不等式性质1，两边同加3，不等号方向不变得 .
15．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是
【答案】（ ，3）
【知识点】点的坐标；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB=∠B=30°，∴AB=OA=2，∠BAD=60°，∴AD=1，BD=，∴OD=OA+AD=3，∴B（3，），将 △AOB绕点O逆时针旋转90° ，点B的对应点B'，∴B'C=BD=，OC=AD=3，∴B'坐标为（）
【分析】过B和B'作BD⊥x轴和B'C⊥y轴于点D、C，根据题意可知B（3，），进而可知点B的对应点B'的坐标。
16．如图，在第一个△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2＝A2D；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为 .
【答案】5°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝ ＝80°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝ ＝40°
同理可得：
∠DA3A2＝20°，
∠EA4A3＝10°，
∴∠An＝ ，
∴以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为：
∠A5＝ ＝5°.
故答案为5°.
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠BA1A的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质分别求出∠CA2A1、∠DA3A2、∠EA4A3，利用其结果得出规律：∠An＝ ，求出n=5时∠A5的度数即可.
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，
（1）求AB的长度；
（2）求CE的长．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=12，BC=9，
∴由勾股定理得：AB=15
（2）解：连接BE，∵AB的垂直平分线DE，∴AE=BE，设CE=x，则AE=BE=12﹣x，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：x2+92=（12﹣x）2，
解得：x= .∴CE= .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中应用勾股定理即可求得AB长；（2）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，设CE=x，则AE=BE=12﹣x，从而在Rt△BCE中，由勾股定理得即可得到关于x的方程，解方程即可求得x即CE的长.
18．（6分）如图，，分别是的中线和角平分线，.
（1）若的面积是20，且，求的长.
（2）若，求的度数.
【答案】（1）解： 是 的中线， .
，
的面积是20，且 ，
，
，
；
（2）解： 是 的中线， ， ，
， .
是 的角平分线，
.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，结合三角形面积的计算方法建立方程，求解即可得出AD的长；
（2）根据等腰三角形的三线合一得∠CAB=2∠CAD=40°，根据三角形的内角和及等腰三角形的两底角相等得∠ACB=70°，最后根据角平分线的定义得∠ACE的度数.
19．（6分）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB＝AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
【答案】（1）解：△BCH是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=82+62=100，
BC2=100，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；
（2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-6）千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-6，CH=8，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
∴x2=（x-6）2+82，
解这个方程，得x= ，
答：原来的路线AC的长为 千米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可。
20．（6分）用一条长为 的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边长是 的等腰三角形吗？为什么？
【答案】（1）解：设底边长为 ，
腰长是底边的2倍，
腰长为 ，
，解得， ，
，
各边长为： ， ， .
（2）解：①当 为底时，腰长 ；
②当 为腰时，底边 ，
，
不能构成三角形，故舍去；
能构成有一边长为 的等腰三角形，另两边长为 ， .
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长为18列出关于x的方程，求出x，据此可得三角形的三边长；
（2）分4cm为底边、腰长两种情况进行计算.
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点B，且与正比例函数 的图象交点为 .
（1）求正比例函数与一次函数的关系式.
（2）若点D在第二象限， 是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标.
（3）在 轴上是否存在一点P使 为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标.
【答案】（1）解： 正比例函数 的图象经过点 ，
， ，
正比例函数解析式为 ，
一次函数 的图象经过 ， ，
， ，
一次函数为 .
（2）①当 时，如图1，
作 轴垂足为M，
， ，
，在 与 中：
， ，
， ，
.
②当 时，作 轴垂足为N，
同理得 ，
， ，
， D点坐标为 或 .
（3）设点 ，
，
， ， ，
当 时， ，
，
或 ，
当 时， ，
或 （舍），
，
当 时， ，
，
，
即： 或 或 或 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将C（3，4）代入y=kx中可得k，据此可得正比例函数的解析式，将点A、C的坐标代入y=k1x+b中可得k1、b，据此可得一次函数的解析式；
（2）①当DA⊥AB时，作DM⊥x轴垂足为M，由同角的余角相等可得∠DAM=∠ABO，证明△DAM≌△ABO，得到DM=AO=3，AM=BO=2，得点D的坐标；②当D′B⊥AB时，作D′N⊥y轴垂足为N，同理得△D′BN≌△BAO，得到D′N=BO=2，BN=AO=3，据此可得点D′的坐标；
（3）设P（0，m），表示出OP、OC、CP，然后分OP=OC；CP=CO；PC=PO，求出m的值，得到点P的坐标.
22．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰 .
（1）如图1，若OB＝6，则点C的坐标为 ；
（2）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰 ，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰 .连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长.
【答案】（1）（6，14）
（2）解：过点E作 轴于F，
已知等腰 ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
点A的坐标为 ，
∵在等腰 中，
， ，
，
，
，
，
；
（3）解：过点C作 轴G，
由（1）可知： ，
， ，
， ，
在等腰 中， ， ，
， ，
又 ，
，
，
.
【知识点】点的坐标；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点C作 轴于H，
在 中， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
点 ，
故答案为： ；
【分析】(1)过点C作 轴于H，根据余角的性质求出∠ABO=∠BCH，利用AAS证明△ABO≌△BCH，则可求出CH和BH的长，然后求出OH长，则可得到D点坐标；
(2) 过点E作 轴于F， 利用AAS证明△BOD≌△DFE，得出OB=DF和OD=EF，根据等腰直角三角形的性质求出OA长，则可得出OD=AF=EF，从而求出△AEF是等腰直角三角形，求出∠EAF=∠BAO=45°，即可得证；
(3)过点C作 轴G，由（1）得 ，得出BO=CG，AO=BG，然后利用AAS证明△CPG≌△FPB，得出GP=PB，根据中点的性质，即可求出BP长.
23．（18分）已知A、B两地同有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的．如图是客车、货车离C站的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数关系图象．
（1）求货车的速度并求A、B两地间的路程．
（2）求客车y与x的函数关系式并直接写出货车y与x的函数关系式．
（3）求点P的坐标并说出点P的实际意义．
（4）出发后经过多长时间两车间路程是70km？
【答案】（1）解：客车的速度：720÷9＝80（km/h），货车速度：（km/h）
A与B两地间路程为：60×2＋720＝840km
（2）解：设客车所在直线解析式为，
∵过点，，
∴，解得：，
∴客车：y＝－80x＋720，
货车：0≤x≤2，y＝－60x＋120；，；
（3）解：由，
∴60x－120＝－80x＋720，
解得：x＝6，y＝60×6－120＝240，
∴P（6，240）．
点P的实际意义是：两车出发6小时，两车相遇．与C地相距240km，
（4）解：①－80x＋720－（60x-120）＝70，
x＝5.5（h），
②（60x－120）－（-80x＋720）＝70，
x＝6.5；
综上所述，出发后经过5.5小时或6.5小时，两车相距70千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（2）由题可得，货车从C到A的时间是，
∴当时，设货车解析式为，
∵过点，，
∴，解得，
∴0≤x≤2，y＝－60x＋120；
当，设货车解析式为，
∵过点，，
∴，解得，
∴，；
【分析】（1）先求出客车的速度为80km/h，再求出货车速度为60km/h，最后计算求解即可；
（2）利用待定系数法求出客车：y＝－80x＋720， 再求解即可；
（3）分类讨论，列方程计算求解即可。
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