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浙教版2024-2025九年级上册期中学霸必刷卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（ ）cm
A． B． C． D．
2．二次函数 的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（ ）
A．开口向上，对称轴为直线 ，顶点
B．开口向上，对称轴为直线 ，顶点（1，5）
C．开口向下，对称轴为直线 ，顶点（1， ）
D．开口向上，对称轴为直线 ，顶点（1， ）
3．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
4．若二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(-2，-3)，则必在该图象上的点还有（ ）
A．(-3，-2) B．(2，3) C．(2，-3) D．(-2，3)
5．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（ ）
A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心
C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心
D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心
6．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（ ）
A．30° B．60° C．80° D．90°
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S1，S2，△ABC面积记为S3，当S1+S2＝6S3时，b的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）
A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
10．已知二次函数 （a＜0）的图象过点（1，0）和（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，下列4个判断中：①a+b=-1；②a＞b﹣1；③b﹣a＜0；④﹣1＜a＜﹣ ，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．二次函数的顶点坐标是 .
12．如果，，那么 ．
13．小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，两人一起做同样手势的概率是 ．
14．某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了 米．
15．有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为 ．
16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④ ＜a＜ .其中正确的选项是 .（填序号）
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（6分）已知抛物线y＝x2+（k﹣5）x﹣（k+4），
（1）求证：抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），且（x1+1）（x2+1）＝﹣8，求二次函数的解析式．
18．（6分）如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．
（1）求水流运行轨迹的函数解析式；
（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．
19．（6分）如图，小亮父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为．
（1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；
（2）当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
20．（6分）已知二次函数 .
（1）若函数图象经过点 ， ，求 的值；
（2）当 ， 时，求证：函数图象与x轴有两个交点.
21．（16分）已知抛物线y=-x2+bx+c(b，c为常数)经过点(0，-3)、(-6，-3)．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）此抛物线的顶点坐标为
（3）当-4≤x≤0时，求y的最大值和最小值．
（4）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，直接写出m的值．
22．（12分）如图，在正方形中，点是边上的一点不与重合，将线段 绕点顺时针旋转得到线段，连接， 与边交于点，与相交于点．
（1）求证：；
（2）当平分时，求证：；
（3）当 时，求的值．
23．（14分）在平面直角坐标系中，二次函数
y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于
A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y﹤0
（2）点
p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点
P，使△ACP
面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由
（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
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浙教版2024-2025九年级上册期中学霸必刷卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（ ）cm
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：，当长为14时，
解得：宽=
故答案为：C
【分析】根据黄金比代入求解即可。
2．二次函数 的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（ ）
A．开口向上，对称轴为直线 ，顶点
B．开口向上，对称轴为直线 ，顶点（1，5）
C．开口向下，对称轴为直线 ，顶点（1， ）
D．开口向上，对称轴为直线 ，顶点（1， ）
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴为直线x＝h，
∴对称轴为直线x＝1，
∵顶点坐标（h，k），
∴顶点坐标（1， 5），
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象开口方向由a决定，对称轴为直线x=h和顶点坐标（h，k），选择即可。
3．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.2，
∴＝0.2，
∴m＝20.
故答案为：D.
【分析】根据频率估计概率的知识结合题意可得摸到红球的概率为0.2，利用红球的个数÷球的总数=摸到红球的概率可得关于m的方程，求解可得m的值.
4．若二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(-2，-3)，则必在该图象上的点还有（ ）
A．(-3，-2) B．(2，3) C．(2，-3) D．(-2，3)
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(-2，-3)，
∴4a=-3
解之：，
∴二次函数解析式为，
当x=-3时，故A不符合题意；
当x=2时，故B不符合题意；C符合题意；
当x=-2时，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】将点（-2，-3）代入函数解析式，求出a的值，可得到函数解析式；再分别将x=-3，x=2，x=-2代入函数解析式，求出对应的y的值，可得到必在该图象上的点的选项.
5．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（ ）
A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心
C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心
D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心
【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接OB、OD、OA，
∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA＝OC＝OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OA＝OC＜OD，
∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，
∴OA＝OE≠OD，即O不是△AED的外心，
OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，
OA＝OC＝OE，即O是△ACE的外心，
OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心.
故答案为：C.
【分析】连接OB、OD、OA，根据外心的概念可得OA＝OC＝OB，根据正方形的性质可得OA＝OC＜OD，则OA＝OB＝OC＝OE≠OD，据此判断.
6．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（ ）
A．30° B．60° C．80° D．90°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据题意知：根据圆周定理可得：
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理进行求解即可.
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S1，S2，△ABC面积记为S3，当S1+S2＝6S3时，b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： y＝ax2+bx+3，当x=0时，y=3，则C（0，3），
∴OC=OA=3，
∴A（3，0），
∵ S1+S2＝6S3 ，
∴BC2+AC2=6××AB×OC，
即OC2+OB2+OC2+OA2=9+OB2+9+9=6××（OB+3）×3，
解得：OB=9，
∴B（9，0），
设抛物线解析式为y=a(x-9)(x-3)，
把C（0，3）代入得a=，
∴y=(x-9)(x-3)，即y= x2-x+3 ，
∴b=-.
故答案为：B.
【分析】先求出C（0，3），A（3，0），根据S1+S2＝6S3、正方形的性质及勾股定理可求出OB的长，即得B（9，0），利用交点式求出抛物线解析式即可.
8．如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠QBF=90°，
∵M是线段QF的中点，
∴ ，
∴M在以B为圆心，以 的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为 ，
当Q与A重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵M是AF（QF）的中点，
∴ ，
∴ ，
同理可求得 ，
∴ ，
∴线段QF的中点M所经过的路线长 .
故答案为：C.
【分析】连接BM，由正方形的性质可得∠QBF=90°，由直角三角形斜边上中线的性质可得BM=QF=，则M在以B为圆心，以的长为半径的圆上运动，线段QF的中点M所经过的路线长即为，由勾股定理求出BF，推出∠BAF=30°，由直角三角形斜边上中线的性质可得BM=AM=MF=，得到∠ABM=∠BAF=30°，同理可得∠CBM1=30°，∠MBM1=30°，然后利用弧长公式计算即可.
9．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）
A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A、如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP＝90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝BC＝CA，
∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，BP是直径，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP＝∠CBP＝ ∠ABC＝30°，
∴AP＝CP，
∴△APC是等腰三角形，
故本选项正确，不符合题意；
B、当△APC是等腰三角形时，分三种情况：
①如果PA＝PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以PO⊥AC，正确；
②如果AP＝AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
③如果CP＝CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
故本选项正确，不符合题意；
C、当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合.
如果点P在图1中的位置，∠ACP＝30°；
如果点P在B点的位置，∠ACP＝60°；
故本选项错误，符合题意；
D、当∠ACP＝30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图3.
如果点P在P1的位置，∠BCP1＝∠BCA+∠ACP1＝60°+30°＝90°，△BP1C是直角三角形；
如果点P在P2的位置，∵∠ACP2＝30°，
∴∠ABP2＝∠ACP2＝30°，
∴∠CBP2＝∠ABC+∠ABP2＝60°+30°＝90°，△BP2C是直角三角形；
故本选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP＝90°，由等边三角形的各边相等及各个内角都是60°得∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CA，根据垂径定理得∠ABP＝∠CBP＝30°，则AP＝CP，据此判断A；分PA=PC，AP=AC，CP=CA，据此不难判断B；当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线或者与点B重合，据此判断C；当∠ACP＝30°时，如点P在P1的位置，则∠BCP1＝90°；如果点P在P2的位置，由圆周角定理可得∠ABP2＝∠ACP2＝30°，则∠CBP2＝90°，据此判断D.
10．已知二次函数 （a＜0）的图象过点（1，0）和（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，下列4个判断中：①a+b=-1；②a＞b﹣1；③b﹣a＜0；④﹣1＜a＜﹣ ，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①将（1，0）代入解析式，得 ，即a+b=-1，
故①符合题意；
②∵a＜0
∴抛物线在对称轴左侧时，y随x的增大而增大
∵﹣2＜x1＜﹣1，另一交点为（1，0）
∴
∴当x=-1时，y>0，即
∴
故②符合题意；
③，由②得知 ，且a＜0
∴ ，即
故③不符合题意；
④由根与系数的关系得到
∴
∴ ，解得﹣1＜a＜﹣
故④符合题意．
故答案为：B．
【分析】 将（1，0）代入中，可得，据此判断①；由于a＜0，可得抛物线在对称轴左侧时，y随x的增大而增大，由﹣2＜x1＜﹣1，另一交点为（1，0），可得，从而求出当x=-1时，y= ，据此判断②；由且a＜0，可得，据此判断③；由根与系数的关系得到 ，从而求出，即得，求出a的范围判断④即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．二次函数的顶点坐标是 .
【答案】(3，1)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
二次函数的顶点坐标是(3，1)
故答案为：(3，1)
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
12．如果，，那么 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：27．
【分析】根据两个比例式，得到c与a的数量关系，进行求解即可．
13．小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，两人一起做同样手势的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人随机同时出手一次，做同样手势的结果数为3，
故两人一起做同样手势的概率是的概率为．
故答案为：．
【分析】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解决即可。
14．某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了 米．
【答案】45
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：，
，
时，s取得最大值45，
汽车刹车后到停下来前进了45米，
故答案为：45．
【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可。
15．有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3，二次项系数为1，大于0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵要使得当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴应满足，
解得：；
∵一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解，
∴且，
∴且，
∴由题意可知，a仅能取-3或1，
当时，，
∴b取﹣4，﹣3，﹣2，1时，均满足；
当时，，
∴仅有b取﹣4时，满足；
综上分析，当时，b取﹣4，﹣3，﹣2，1，满足题意；当时，b取﹣4满足题意；共有5种情况满足题意；
∵由题意可得，两次抽取共有16种情况发生，
∴两次抽取后满足题意的概率为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数满足的条件求出a的范围，然后由一元二次方程有解，确定a、b的范围，再根据概率公式求解即可.
16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④ ＜a＜ .其中正确的选项是 .（填序号）
【答案】①④
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为x＝1＞0，a、b异号，
∴b＜0，
∵与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，
∴与x轴的另一个交点为（3，0），
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
故②不正确；
∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，
∵8a＞0，
∴4ac﹣b2＜8a，
故③不正确；
由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，
又∵x1 x2＝ ，即c＝﹣3a，
∵﹣2＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
因此 ＜a＜ ，
故④正确，
综上所述，正确的结论有三个：①④，
故答案为：①④.
【分析】由抛物线开口向上，可得a＞0，由对称轴为x＝1＞0可得b＜0，由抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，可得﹣2＜c＜﹣1＜0，据此判断①正确；根据抛物线的对称性可得
与x轴的另一个交点为（3，0），由图象知当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，据此判断②；由抛物线与x轴有两个不同交点，可得b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，而8a＞0，据此判断③；有抛物线与x轴的交点坐标，可得方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，由于x1 x2＝ ，可得c＝﹣3a，根据﹣2＜c＜﹣1即可判断④.
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（6分）已知抛物线y＝x2+（k﹣5）x﹣（k+4），
（1）求证：抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），且（x1+1）（x2+1）＝﹣8，求二次函数的解析式．
【答案】（1）证明：△＝（k﹣5）2+4（k+4）
＝k2﹣6k+41
＝（k﹣3）2+32，
∵（k﹣3）2≥0，
∴△＞0， ∴抛物线与x轴必有两个交点；
（2）解：根据题意得x1、x2为方程x2+（k﹣5）x﹣（k+4）＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣（k﹣5），
x1 x2＝﹣（k+4），
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣8，
∴x1 x2+x1+x2+1＝﹣8，
即﹣（k+4）﹣（k﹣5）+1＝﹣8，解得k＝5，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣9．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】（1）根据题意，计算抛物线根的判别式，根据判别式的值进行判断得到答案即可；
（2）将代数式化简，根据一元二次方程根 与系数的关系，将（x1+x2）以及x1x2的值代入即可得到答案。
18．（6分）如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．
（1）求水流运行轨迹的函数解析式；
（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．
【答案】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为，
设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
∴抛物线为： ．
（2）解：不能，理由如下：
当时，，
∴水流不会碰到这棵果树．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）设水流形成的抛物线为，将点代入解析式求出a的值即可；
（2）将x=12代入解析式求出y的值并比较大小即可。
19．（6分）如图，小亮父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为．
（1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；
（2）当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解：∵AB=CD=xm，
∴BC=（80-2x）m，
∴S=x（80-2x）=-2x2+80x，
∴，
∴，
∴，
∴15≤x＜40，
∴S=-2x2+80x，（15≤x＜40）；
（2）解：∵S=-2（x2-40x+400-400）=-2（x-20）2+800，
∵15≤x＜40，
∴当x=20时，S有最大值为800，
∴即当AB=20m，BC=40m时，面积S有最大值为800m2．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可得AB=CD=xm，BC=(80-2x)m，根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，根据AB>0且0（2）将（1）的函数解析式化为顶点式，进而可得面积的最大值以及对应的AB、BC的值.
20．（6分）已知二次函数 .
（1）若函数图象经过点 ， ，求 的值；
（2）当 ， 时，求证：函数图象与x轴有两个交点.
【答案】（1）解：∵二次函数 y=a（x 1）2+h图象经过点A（0，4）， B（2，m）
将A（0，4）代入y=a（x 1）2+h得，
4=a+h
将 B（2，m） 代入 y=a（x 1）2+h得，
m=a+h
∴m=4
（2）证明：∵
∴图象开口向下
∵当 时，
∴顶点在 轴上方，
∴函数图象与 轴有2个交点.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数式，得出a+h=4，再把B点坐标代入函数式，整理得出m=a+h，则m的值可求.
（2）根据函数的开口方向和函数的最大值，判断顶点在x轴上方，从而判断函数图象与x轴有两个交点.
21．（16分）已知抛物线y=-x2+bx+c(b，c为常数)经过点(0，-3)、(-6，-3)．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）此抛物线的顶点坐标为
（3）当-4≤x≤0时，求y的最大值和最小值．
（4）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，直接写出m的值．
【答案】（1）解：把(0，-3)、(-6，-3)代人y=-x2+bx+c，
得
解得
∴此抛物线的解析式为y=-x2-6x-3．
（2）(-3，6)
（3）解：由(2)得抛物线的顶点坐标为(-3，6)．
∵-1<0，
∴抛物线开口向下．
又∵-4≤x≤0，
∴当x=-3时，y有最大值6，
当x=0时，y有最小值-3．
（4）m=-2或m=-3-
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2） ∵抛物线的解析式为y=-x2-6x-3=-（x2+6x+9)+6=-(x+3)2+6，
∴抛物线的顶点坐标为(-3，6) .
故答案为： (-3，6) .
(4)由(2)得抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴当x>-3时，y随x的增大而减小；
当x≤-3时，y随x的增大而增大．
①当-3当x=m时，y有最大值-m2-6m-3，
∴-m2-6m-3+(-3)=2，
解得m=-2或m=-4(舍)．
②当m≤-3时，当x=-3时，y有最大值6．
y的最大值与最小值之和为2，
∴y的最小值为-4，
∴-(m+3)2+6=-4，
解得m=-3-或m=-3+ (舍)．
综上所述，m=-2或m=-3-．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出抛物线的解析式为y=-x2-6x-3=-（x2+6x+9)+6=-(x+3)2+6，再求顶点坐标即可；
（3）先求出抛物线开口向下，再根据-4≤x≤0， 计算求解即可；
（4）先求出当x>-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，再分类讨论计算求解即可。
22．（12分）如图，在正方形中，点是边上的一点不与重合，将线段 绕点顺时针旋转得到线段，连接， 与边交于点，与相交于点．
（1）求证：；
（2）当平分时，求证：；
（3）当 时，求的值．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
在和中，
；
（2）证明：，，
；
四边形是正方形，
，
又平分，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
设，，
，
，，
四边形是正方形，
，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得∠BAD=90°，AB=AD，由旋转的性质得AM=AN，∠MAN=90°，根据同角的余角相等得∠BAM=∠DAN，从而利用SAS证明出△ABM≌△ADN；
（2）易得△AMN是等腰直角三角形，得∠ANE=45°，根据正方形的性质得∠ACB=∠ANE=45°，根据角平分线的定义得∠CAM=∠BAM，又∠BAM=∠DAN，故∠CAM=∠NAD，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得△AMC∽△AEN，根据相似三角形对应边成比例得 ， 结合AM=AN即可得出答案；
（3） 设BM=a，CM=（n-1）a， 根据全等三角形的性质得DN=BM=a，∠ADN=∠B=90°， 根据正方形的性质得∠B=∠ADC=∠BCD=90°，AB=CD=BC=AD=a+（n-1）a=na，再证出C、D、N三点共线，得出CN=（n+1）a，由平行线分线段成比例定理得 ， ，据此即可得出答案.
23．（14分）在平面直角坐标系中，二次函数
y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于
A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y﹤0
（2）点
p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点
P，使△ACP
面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由
（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：将A（﹣3，0），B（1，0）两点代入y＝ax2＋bx＋2可得： 解得： ∴二次函数解析式为 .
由图像可知，当 或 时y﹤0；
综上：二次函数解析式为 ，当 或 时y﹤0；
（2）解：设点P坐标为 ，如图连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N.
PM= ，PN= ，AO=3.
当 时， ，所以OC=2
，
∵
∴函数 有最大值，
当 时， 有最大值，
此时 ；
所以存在点 ，使△ACP 面积最大.
（3）解：存在， 假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形 ①若CM平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点 此时 = ∵CM∥x轴， ∴点M、点C（0，2）关于对称轴 对称， ∴M（﹣2，2）， ∴CM=2. 由 = ； ②若CM不平行于x轴，如下图，过点M作MG⊥x轴于点G， 易证△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即 . 设M（x，﹣2），则有 ，解得： . 又QG=3，∴ ， ∴
综上所述，存在点P使以 A、
C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
Q点坐标为： .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先用待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据图象写出直接写出y＜0的解集；
（2）设点P的坐标是（m，），然后求出抛物线与y轴的交点，进而由点的坐标分别表示出线段PM、PN、AO、OC的长，再利用和差法表示出S△ACP与m的函数关系式，进而利用二次函数的性质求解即可；
（3）已知平行四边形四个顶点中有两个定点，分①若CM平行于x轴、②若CM不平行于x轴两种情况，根据平行四边形的性质分别作出解答即可。
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