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2024-2025北师大版九年级上册期中培优模拟卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列选项中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一元二次方程 有一个根为3，则 的值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
3．方程 x2-4x-3=0的一次项系数和常数项分别为（ ）
A．4和3 B．4和﹣3 C．﹣4和﹣3 D．﹣4和3
4．如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
5．如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是
A． B． C． D．
6．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单．该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（ ）
A．7∶5∶2 B．13∶5∶2 C．5∶3∶1 D．26∶10∶3
9．如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于 、 两点， 是以点 为圆心，半径长 的圆上一动点，连结 ， 为 的中点.若线段 长度的最大值为2，则 的值为（ ）
A． B． C．-2 D．
10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝ AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F，若AB＝2，∠ABC＝60°，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
11．方程x2+ax+7=0和x2﹣7x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
12．如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若，则 ．
14．已知点在双曲线上，则的值为 .
15．一元二次方程x2=2x的根是 ．
16．如图，在直角坐标系中， OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）.以点O为位似中心，在第三象限内作与 OAB的位似比为 的位似图形 OCD，则点C的坐标为 .
17．若，则的值为 ．
18．在菱形ABCD中， ， ，点P是射线BC上一动点，（不与B，C重合），连接PA，PD，当 是等腰三角形时，BP的长为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．已知y与x成反比例，且当x＝2时，y＝﹣3．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出：当x为何值时，y＞﹣3？
20．一只箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图或列出表格．
21．解答下列各题：
（1）用配方法解方程： .
（2）已知一元二次方程 的一个根是 .求 的值和方程的另一个根.
22．学校打算用长 米的篱笆围城一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为 米的墙上（如图）.
（1）若生物园的面积为 平方米，求生物园的长和宽；
（2）能否围城面积为 平方米的生物园？若能，求出长和宽；若不能，请说明理由.
23．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些全球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（ ）的反比例函数，其图象如图所示：
（1）求这个函数的表达式；
（2）当气球内的气压大于150 kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气体的体积应至少是多少？
24．已知：如图1，在长方形中，，，，点P是边上的动点，将翻折得，延长交于点F，连结．
（1）求证：．
（2）如图2，当时，点F与点C刚好重合．求此时的长．
（3）如图3，连结，在点P运动过程中，当和面积相等时，则 ．（直接写出答案）
25．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
26．综合与实践
问题情境
从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．
如图1，在 中， ， ， 为 边上的中线， 为 上一点，将 以点 为旋转中心，逆时针旋转90°得到 ， 的延长线交线段 于点 ．探究线段 ， ， 之间的数量关系．
（1）数学思考
请你在图1中证明 ；
（2）特例探究
如图2，当 垂直于 时，求证： ；
（3）类比再探
请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
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2024-2025北师大版九年级上册期中培优模拟卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列选项中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、 不是反比例函数，错误；
B、 是正比例函数，错误；
C、 ，是反比例函数，正确；
D、 ，当k=0时，不是反比例函数，错误.
故答案为：C.
【分析】形如叫反比例函数，根据定义分别判断，即可作答.
2．已知一元二次方程 有一个根为3，则 的值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： 一元二次方程 有一个根为3，设另一根为
解得：
故答案为：D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
3．方程 x2-4x-3=0的一次项系数和常数项分别为（ ）
A．4和3 B．4和﹣3 C．﹣4和﹣3 D．﹣4和3
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：x2-4x-3=0的一次项系数和常数项分别为-4，-3.
故答案为：C.
【分析】在一元二次方程ax2+bx+c=0中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，据此解答.
4．如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵G是重心，
∴DG：DA＝1：3，
∵GE∥AC，
∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，
∵DE＝2，
∴CD＝6，
∴BC＝2CD＝12，
故答案为：A.
【分析】根据重心定义可得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，进而代入数据即可算出CD，最后根据中点定义可得BC的长.
5．如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
⑴有一组邻边相等的矩形是正方形，
⑵对角线互相垂直的矩形是正方形．
添加，能使矩形成为正方形．
故答案为：B．
【分析】根据有一组邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形进行添加条件即可．
6．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：．
故答案为：C．
【分析】先利用列表法或树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
7．杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单．该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得：7月25日的销量为5000（1+x）个，7月26日的销量为5000（1+x）2个，
则，
故答案为：D．
【分析】先求出7月25日的销量为5000（1+x）个，7月26日的销量为5000（1+x）2个，再根据题意列出方程即可。
8．如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（ ）
A．7∶5∶2 B．13∶5∶2 C．5∶3∶1 D．26∶10∶3
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，
∵H是△ABC的重心，
∴M是AC的中点，D是BC的中点，
∴G是AF的中点，
∴GM＝CF，
设CF＝a，则GM＝a，
∵CF∥BG，DE∶EC＝5∶2，D是BC的中点，
∴＝，
∴BG＝6CF＝6a，
∴BM＝a，
∵H是△ABC的重心，
∴BH＝BM＝a，
∴HG＝BG﹣BH＝6a﹣a＝a，
∴BH∶HG∶GM＝a∶a∶a＝26∶10∶3．
故答案为：D．
【分析】过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，根据平行线分线段成比例得出G是AF的中点，设CF=a，则GM＝a，由CF∥BG，DE∶EC=5∶3，D是BC的中点，根据平行线分线段成比例的性质求出BG=6a，再根据H是△ABC的重心，得到BH=BM=a，根据线段的和差关系表示出HG，则可得到BH∶HG∶GM的值，即可作答.
9．如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于 、 两点， 是以点 为圆心，半径长 的圆上一动点，连结 ， 为 的中点.若线段 长度的最大值为2，则 的值为（ ）
A． B． C．-2 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BP，
∵直线 与双曲线 的图形均关于直线y=x对称，
∴OA=OB，
∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点
∴OQ是△ABP的中位线，
当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，
∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大，
∴当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4，
∵PC=1，
∴BC=3，
设B点的坐标为（x，-x），
则 ，
解得 （舍去）
故B点坐标为 ，
代入 中可得： ，
故答案为：A.
【分析】连接BP，根据直线 与双曲线 的图形均关于直线y=x对称，可得OQ是△ABP的中位线，当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，当P、C、B三点共线PB长度最大，此时PB=2OQ=4，从而求出BC=BP-PC=4-1=3，设B点的坐标为（x，-x），利用点C（2，2）及两点间的距离求出x的值，即得点B的坐标，然后代入中，从而求出k的值.
10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝ AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F，若AB＝2，∠ABC＝60°，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】在菱形ABCD中，OC= AC，AC⊥BD，∴DE=OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AD=AB=AC=2，OA= AC=1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD= ，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= ；故答案为：C.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分得出OC= AC，AC⊥BD，从而得出DE=OC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形OCED是平行四边形，根据一个角是直角的平行四边形是矩形得出平行四边形OCED是矩形，根据菱形的性质及有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质菱形的性质得出AD=AB=AC=2，OA= AC=1，根据勾股定理算出CE=OD=，AE=.
11．方程x2+ax+7=0和x2﹣7x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】设该公共根为x=b，
由题意可知：b2+ab+7=0，
b2-7b-a=0
∴（a+7）b+7+a=0
∵a+7≠0，
∴b=-1
∴x=-1代入x2-7x-a=0，
a=1+7=8
故答案为：B．
【分析】设两方程的公共根是x=b，然后根据方程根的定义，将这个公共根分别代入两个方程得b2+ab+7=0 ①，b2-7b-a=0 ②，①-②得（a+7）b+7+a=0，然后根据方程有根得出a+7≠0，从而得出b的值，即x的值，将x的值随便代入题干中的某一个方程即可算出a的值。
12．如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴P1（1，1），∴k=1，∴在反比例函数的解析式为：y=，∵B1是P1A的中点，∴P2A1=AB1=，∴OA1=2，∴P2（2，），
同理，P3（22，），
…
∴Pn（2n-1，）．
当时，则有
的坐标为：（，）
故选：A．
【分析】先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3的坐标，找出规律即可得出结论，其中熟记矩形的性质，找出规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若，则 ．
【答案】2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：2.
【分析】首先比例的性质进行变形即可得出答案。
14．已知点在双曲线上，则的值为 .
【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵点在双曲线上，
∴，
∴，
故答案为：6.
【分析】依据待定系数法，把代入，即可求出k值．
15．一元二次方程x2=2x的根是 ．
【答案】x1=0，x2=2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：移项，得x2﹣2x=0，
提公因式得，x（x﹣2）=0，
x=0或x﹣2=0，
∴x1=0，x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2．
【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．
16．如图，在直角坐标系中， OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）.以点O为位似中心，在第三象限内作与 OAB的位似比为 的位似图形 OCD，则点C的坐标为 .
【答案】 ，
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 以点 为位似中心，在第三象限内作与 的位似比为 的位似图形 ， ，
点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
点 的坐标为 ， ，
故答案为： ， .
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上点（x，y）对应的位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此解答即可.
17．若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意知：，则等式两条同时除以有：，令可得则
所以即的值为：.
故答案为：.
【分析】本题主要考查多项式的变形、运用公式法接一元二次方程，根据题意可得：，令可得然后运用公式法解出t即可求解.
18．在菱形ABCD中， ， ，点P是射线BC上一动点，（不与B，C重合），连接PA，PD，当 是等腰三角形时，BP的长为 ．
【答案】 或 或
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ，
∴ ， ，
当 是等腰三角形时，
分三种情况讨论：
①当 为底边时，
分别过点 作 与点 ， 与点 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ；
②当 为底时， ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
③当 为底边时，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
综上可知：BP的长为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【分析】先求出 ， ，再分类讨论，结合图形求解即可。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．已知y与x成反比例，且当x＝2时，y＝﹣3．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出：当x为何值时，y＞﹣3？
【答案】（1）解：∵y与x成反比例，
∴y= （k≠0），
∵当x=2时，y=-3，
∴k=2×（-3）=-6，
∴反比例函数解析式为y= ；
（2）解：∵k=-6＜0，
∴函数的图象在二，四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴当x＜0或x＞2时，y＞-3．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）根据题意设出反比例函数解析式，再利用待定系数法把当x=2时，y=-3代入求出k的值，进而得到y与x的函数关系式；（2）根据反比例函数的性质即可求得．
20．一只箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图或列出表格．
【答案】（1）解：因为箱子里共3个球，其中2个白球，所以从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是
（2）解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为2，
所以两次摸出的球都是白球的概率= =
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）箱子里共3个球，箱子中任意摸出一个球共有三种等可能得出结果，其中有两个白球，故摸到白球的等可能结果只有2种，根据概率公式即可算出从箱子中任意摸出一个球是白球的概率；
（2）根据题意画出树状图，由图知共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为2，根据概率公式即可算出两次摸出的球都是白球的概率。
21．解答下列各题：
（1）用配方法解方程： .
（2）已知一元二次方程 的一个根是 .求 的值和方程的另一个根.
【答案】（1）解： ，
，
，
，
，
（2）解：将 代入 ，
即： ，
解得： ，
将 代入原方程 ，
，
解得： ， ，
∴方程的另一个根为1
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先把常数项移到右边 ，再添加常数项配方求解；（2）将 代入一元二次方程 求得 ，再将 代入原方程求另一个根.
22．学校打算用长 米的篱笆围城一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为 米的墙上（如图）.
（1）若生物园的面积为 平方米，求生物园的长和宽；
（2）能否围城面积为 平方米的生物园？若能，求出长和宽；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：设生物园的宽为x米，那么长为 米，依题意得：
，解得 ， ，
当 时， ，不符合题意，舍去
∴ ，
答：生物园的宽为 米，长为 米.
（2）解：设生物园的宽为x米，那么长为 米，依题意得：
，
∵ ，
∴此方程无解，
∴不能围成面积为 平方米的生物园.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（16-2x）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为30平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（2）设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（16-2y）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为35平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△＜0可得出该方程无解，进而可得出不能围成面积为35平方米的生物园.
23．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些全球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（ ）的反比例函数，其图象如图所示：
（1）求这个函数的表达式；
（2）当气球内的气压大于150 kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气体的体积应至少是多少？
【答案】（1）设表达式为 ，代入点A（0.5，120），解得：k=60.
则表达式为：
（2）把y=150代入 ，解得x=0.4
则当气体至少为0.4 时才是安全的.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设表达式为 ，取点A（0.5，120）代入解得k值即可.（2）令y=150，代入表达式解得x的值，则由图可知，小于该x的值时是安全的.
24．已知：如图1，在长方形中，，，，点P是边上的动点，将翻折得，延长交于点F，连结．
（1）求证：．
（2）如图2，当时，点F与点C刚好重合．求此时的长．
（3）如图3，连结，在点P运动过程中，当和面积相等时，则 ．（直接写出答案）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠FBP，
由翻折的性质可知，∠APB=∠FPB，
∴∠FBP=∠FPB，
∴FP=FB；
（2）解：当时，△BEC恰为直角三角形，
根据翻折的性质得：AB=BE=4，AP=PE，
在Rt△BEC中，BE=4，BC=10，
∴，
设AP=PE=x，则，，
在Rt△PDC中，，
即：，
解得：，
∴此时AP长为；
（3）2或8
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）①当点P在靠近A点时，
如图所示，作CQ⊥PF延长线于Q点，
则∠Q=∠BEF=90°，
∵，，
∴当和面积相等时，有BE=CQ，
在△BEF和△CQF中，
∴△BEF≌△CQF(AAS)，
∴BF=CF，EF=QF，
∴此时，F点为BC的中点，BF=BC=5，
∵BE=AB=4，
∴在Rt△BEF中，，
由（1）可知，BF=PF，
∴PF=5，
∴PE=PF-EF=2，
∴AP=2；
②当点P在靠近D点时，
如图所示，作CQ⊥PE于Q点，
此时，当和面积相等时，仍有BE=CQ，
则由①可知，此时△BEF≌△CQF仍然成立，BF=CF，
∴点F为BC的中点，CF=BC=5，
∵翻折性质可得：AB=BE=CD，
∴CQ=CD=4，
∴由勾股定理得：FQ=3，
在Rt△CPQ和Rt△CPD中，
∴Rt△CPQ≌Rt△CPD(HL)，
∴PQ=PD，∠DPC=∠FPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠FCP，
∴∠FCP=∠FPC，
∴FP=FC=5，
∴PQ=FP-FQ=5-3=2，
∴PD=2，
∴AP=AD-PD=10-2=8；
综上分析，当和面积相等时，AP=2或8.
故答案为：2或8.
【分析】（1）根据矩形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠APB=∠FBP，由翻折的性质可知∠APB=∠FPB，则∠FBP=∠FPB，据此证明；
（2）当∠BEC=90°时，△BEC恰为直角三角形，根据翻折的性质得AB=BE=4，AP=PE，利用勾股定理可得CE，设AP=PE=x，则PC=PE+CE=x+，PD=AD-AP=10-x，利用勾股定理可得x；
（3）①当点P在靠近A点时，作CQ⊥PF延长线于Q点，结合三角形的面积公式可得当△PBE和△PCE面积相等时，有BE=CQ，证明△BEF≌△CQF，得到BF=CF，EF=QF，此时F点为BC的中点，BF=BC=5，利用勾股定理可得EF，由（1）可知BF=PF，据此解答；②当点P在靠近D点时，作CQ⊥PE于Q点，同理得BE=CQ，由①可知，此时△BEF≌△CQF仍然成立，BF=CF，由翻折得AB=BE=CD，则CQ=CD=4，利用勾股定理可得FQ，证明Rt△CPQ≌Rt△CPD，得到PQ=PD，∠DPC=∠FPC，由平行线的性质可得∠DPC=∠FCP，进而推出FP=FC=5，则PQ=FP-FQ=2，然后根据AP=AD-PD进行计算.
25．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）解：过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴PQ=6 cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是6 cm
（2）解：设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1= ，x2= ；
∴经过 s或 sP、Q两点之间的距离是10cm
（3）解：连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤ 时，则PB=16-3y，
∴ PB BC=12，即 ×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当 ＜x≤ 时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
BP CQ= （3y-16）×2y=12，
解得y1=6，y2=- （舍去）；
③ ＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
QP CB= （22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
26．综合与实践
问题情境
从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．
如图1，在 中， ， ， 为 边上的中线， 为 上一点，将 以点 为旋转中心，逆时针旋转90°得到 ， 的延长线交线段 于点 ．探究线段 ， ， 之间的数量关系．
（1）数学思考
请你在图1中证明 ；
（2）特例探究
如图2，当 垂直于 时，求证： ；
（3）类比再探
请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明：根据旋转图形的性质，可得△AEC≌△BFC，
∴∠FBC=∠EAC．
又∵∠ADC=∠BDP，∠EAC+∠ADC=180°-∠ACD=90°，
∴∠BDP+∠FBC=90°，
∴∠BPD=180°-（∠BDP+∠FBC）=90°，
∴AP⊥BE．
（2）证明：∵∠CEP=∠EPF=∠ECF=90°，
∴四边形CEPF是矩形．
∵CE=CF
∴四边形CEPF是正方形．
∴CE=EP=FP．
又∵∠CDE=∠BDP，CD=BD，∠CED=∠BPD=90°
∴△CED≌△BPD，
∴CE=BP．
∴EP+FP=2CE=2BP．
（3）解：成立．
理由如下：过点C作CG⊥AD，垂足为G，CH⊥BP，垂足为H．
∵△BFC由△AEC逆时针90°旋转得到，
∴∠AEC=∠BFC，CE=CF，∠ECF=90°．
∵∠CEG+∠AEC=180°，∠CFH+∠BFC=180°，
∴∠CEG=∠CFH．
∵∠CGE=∠CHF=90°，
∴△CEG≌△CFH，
∴CH=CG，EG=FH．
∴EP+FP=GP+HP
∵∠CGP=∠GPH=∠H=90°，
∴四边形CGPH是正方形．
又（2）可知，GP+PH=2BP，
∴EP+PF=2BP．
【知识点】三角形内角和定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，即可得到△AEC≌△BFC，得到∠FBC=∠EAC，继而由三角形的内角和定理证明AP⊥BE即可；
（2）首先证明四边形CEPF为正方形，得到CE=FP，继而证明△CED≌△BPD，得到CE=BP，即可得到答案；
（3）过点C作CG⊥AD，垂足为G，CH⊥BP，垂足为H，根据（1）的方法证明得到答案即可。
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