27.2反比例函数的图像和性质（同步课件）-九年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

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27.2 反比例函数的图像和性质
数学（冀教版）
九年级 上册
第二十七章 反比例函数
学习目标
1.会用描点法画反比例函数的图象？
2.理解并掌握反比例函数有关面积的三个性质？
3.能灵活利用反比例函数“K”的几何意义解决问题？
4.能够解决反比例函数与一次函数的交点问题？
　
温故知新
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是_________，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是___________.
2.用描点法画函数图象的步骤简单说是_____、_____、_____.
一条直线
一条抛物线
列表
描点
连线
讲授新课
知识点一 反比例函数图象的画法
函数图象画法
列
表
描
点
连
线
描点法
　 画出反比例函数　　 和　　 的图象．
讲授新课
解：列表如下：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1
－2
－2.4
－3
－4
－6
6
4
3
2.4
2
－12
12
讲授新课
O
－2
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可
得 与 的图象．
有两条曲线共同组成一个反比例函数的图象，叫双曲线,且图象关于原点成中心对称。
探究新知
讲授新课
x 增大
O
－2
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
观察这两个函
数图象，回答问题：
思考2：
(1) 每个函数图象分
别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，
随着x的增大，y 如何
变化？你能由它们的
解析式说明理由吗？
y
减
小
探究新知
讲授新课
反比例函数图象画法总结：
列
表
描
点
连
线
描点法
注意：①列 x与y的对应值表时，x的值不能为零，但仍可以以零为基础，左右均匀、对称地取值。
注意：②描点时自左往右用光滑曲线顺次连接，切忌用折线。
注意： ③两个分支合起来才是反比例函数的图象。
小组讨论：反比例函数的图象是怎样的？如何画？
讲授新课
（1）函数图象分别位于第一、第三象限；

（2）在每一个象限内，y随 x 的增大而减小.
讲授新课

第二象限
第四象限
讲授新课
★由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限，它们与 x 轴、y 轴都不相交；
★在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
归纳：反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
当k>0时,两支曲线分别位于第一，三象限内；
当k<0时,两支曲线分别位于第二，四象限内.
由k的符号决定．
思考:反比例函数 的图象在哪两个象限，由什么确定？
讲授新课
函数 图象形状 图象位置 图象变化
趋势 函数值
增减规律
在每个象限内，y 都随 x 的增大而减小
在每个象限内，y 都随 x 的增大而增大
函数图象的两支分支分别位于第一、三象限
k＞0
k＜0
在每一支曲线上，y 都随 x 的增大而减小
在每一支曲线上，y 都随 x 的增大而增大
函数图象的两支分支分别位于第二、四象限
讲授新课
典例精析
【例1】已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得 a=－3.
讲授新课
练一练
1.反比例函数y=- 的图象大致是（ )
y
A.
x
y
o
B.
x
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
讲授新课
2、已知函数是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，则m的值是_____．
解：∵函数是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴且，
解得：．
讲授新课
3、在反比例函数（为常数）的图象上有三个点,,
，则函数值，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴反比例函数的图像位于第二、四象限，
∵，位于第二象限，且，
∴，
∵位于第四象限，
∴，
∴，
故选：D．
D
讲授新课
知识点二 反比例函数中k值意义
1.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下面表格：
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1,S2与k的关系
P(2,2) Q(4,1)
4
4
S1=S2
S1=S2=k
讲授新课
2.若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写下面表格：
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1,S2与k的关系
P(-2,2) Q(-4,1)
4
4
S1=S2
S1=S2=k
讲授新课
归纳：反比例函数解析式中k的几何意义
对于反比例函数 ，点P是其图象上的任意一点，作PA垂直于y轴，作PB垂直于x轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=______.
推理：△PAO与△PBO的面积和k的关系是
S△PAO=S△PBO=______.
|k|
反比例函数的面积不变性.
讲授新课
典例精析
【例2】如图所示，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直x轴于点C，且 △AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．
解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，
∵点 A 在反比例函数 的图象上，
∴ xA yA＝k，
∴ S△AOC＝ k＝2，
∴ k＝4，
∴反比例函数的表达式为
讲授新课
练一练
1、如图，过反比例函数 图象上的一点P，作PA⊥x轴于A. 若△POA的面积为6，则k= .
－12
讲授新课
A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA2、如图，在函数 (x＞0)的图像上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则 ( )
y
x
O
A
B
C
C
讲授新课
知识点三 反比例函数与一次函数关系
【例3】函数y=kx－k与 的图象大致是( )
D
【点睛】由于两个函数解析式都含有相同的系数k，可对k的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.
讲授新课
练一练
1.在同一直角坐标系中，函数 与y=ax+1(a≠0)的图象可能是( )
B
讲授新课
2、如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 .
－2
3
y
x
0
－2< x <0 或 x >3
解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－23.
讲授新课
3.如图，一次函数与反比例函数的图像交于和
；
(1)求一次函数及反比例函数的表达式；
(2)根据图像，直接写出关于x的不等式的解集．
（1）解：（1）将代入，得
∴
将代入，得
∴
将、代入得：
讲授新课
解得：
故一次函数的解析式为：
或
当堂检测
m<2
1.已知反比例函数 的函数图象位于第一、三象限,则m的取值范围是 。
2.下列函数中，其图象位于第二、四象限的有 ,在其图象
所在的象限内，y随x的减小而增大的有 。
(1),(4)
(2),(3)
当堂检测
3.对于函数，下列说法正确的是（　）
A．当时，在每一象限内，y随x的增大而增大
B．函数图象经过点
C．函数图象位于第一、三象限
D．当时，
A
当堂检测
4.若直线y=k1x(k1≠0)和双曲线y=(k2≠0)在同一直X角坐标系内无交点，则k1与k2的关系是_________.
k1k2＜0
5.已知点A(a, y1)，B(a+1, y2)在反比例函数y=(m是常数)的图象上，且y1-1当堂检测
6.已知反比例函数y=，分别根据下列条件求出k的取值范围.
(1)函数图象位于第一、三象限;
(2)函数图象在每一个象限内，y随x的增大而增大.
解:(1)∵反比例函数的图象位于第一、三象限
∴4-k>0,
∴k<4;
(2)∵函数图象在每一个象限内，y随x的增大而增大
∴4-k<0 ∴k>4.
当堂检测
7、如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
解:将B(1,4)代入y= 得:m=1×4=4
∴反比例函数解析式为:y= ①
将A(n,-2)代入①式得: n=-2
∴A(-2,-2)
将A(-2,-2)，B(1,4)代入y=kx+b得
当堂检测
解得
∴一次函数解析式为:y=2x+2.
当堂检测
(2)求△AOB的面积.
分割法：
S△AOB =S△AOC + S△BOC
D
E
解:过A作AD⊥x轴于D,过B作BE⊥y轴于E ∵A(-2,-2),B(1,4)
∴AD=2，BE=1
在y=2x+2中，令x=0，则y=2
∴C(0,2)
∴0C=2
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+2×1=3.
当堂检测
8、如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，已知
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)连接AO、BO，求△AOB的面积．
（1）解：将代入与
中得，，
，，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
当堂检测
(2)连接AO、BO，求△AOB的面积．
（2）解：解方程组
得 或 ，
；
设直线与轴交于，
当时，，
解得：，得，
．
当堂检测
9. 如图，反比例函数y=与一次函数y =－x + 2 的图象交于A，B 两点.
（1）求 A，B 两点的坐标；
A
y
O
B
x
解：
y=－x + 2 ，
解得
x = 4，
y =－2
所以A(－2，4)，B(4，－2).
或
x = －2，
y = 4.
当堂检测
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则AC=4，BD=2.
(2) 求△AOB的面积.
解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)，
∴OM=2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB= ·OM·BD=2×2÷2=2，
∴S△OMA= · OM·AC=2×4÷2=4，
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
当堂检测
一般地，反比例函数 图象是双曲线，它具有以下性质：
(1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
(2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.
课堂小结
反比例函数解析式中k的几何意义
对于反比例函数 ，点P是其图象上的任意一点，作PA垂直于y轴，作PB垂直于x轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=______.
推理：△PAO与△PBO的面积和k的关系是
S△PAO=S△PBO=______.
|k|
反比例函数的面积不变性.
谢 谢~