2024-2025学年浙江省杭州市西湖区学军中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区学军中学九年级（上）月考
数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.下列事件中是必然事件的是( )
A. 某射击运动员射击一次，命中靶心 B. 抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
C. 三角形内角和是 D. 当是实数时，
3.二次函数的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
4.下列条件中，能确定一个圆的是( )
A. 以点为圆心 B. 以长为半径
C. 以点为圆心，长为半径 D. 经过已知点
5.在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线的解析式是( )
A. B. C. D.
6.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图，将含有角的直角三角板放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
9.某商店销售一批头盔，售价为每顶元，每月可售出顶在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价元，每月可多售出顶已知头盔的进价为每顶元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．
A. B. C. D.
10.抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
；；若，则时的函数值大于时的函数值；点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.抛物线的顶点坐标是_________．
12.掷一枚六个面分别标有，，，，，的正方形骰子，则向上一面的数不大于的概率是______．
13.已知点为平面内一点，若点到上的点的最长距离为，最短距离为，则的半径为______．
14.如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，此时点恰好落在边上若，则 ______．
15.如图所示是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，建立如图所示的平面直角坐标系，若水面下降时，则水面的宽度为______
16.已知二次函数，当，且时，的最小值为，最大值为，则 ______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.如图，台风中心位于点，并沿东北方向移动，已知台风移动的速度为千米时，受影响区域的半径为千米，市位于点的北偏东方向上，距离点点千米处．
说明本次台风会影响市；
求这次台风影响市的时间．
四、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
如图，在三角形中，，，，是高线，是中线．
以点为圆心，为半径作圆，则点，，与圆的位置关系如何？
若以点为圆心作圆，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆的半径的取值范围？
19.本小题分
如图，有甲、乙两个构造完全相同的转盘均被分成、两个区域，甲转盘中区域的圆心角是，乙转盘区域的圆心角是，自由转动转盘，如果指针指向区域分界线则重新转动．
转动甲转盘一次，则指针指向区域的概率______；
自由转动两个转盘各一次，请用树状图或列表的方法，求出两个转盘同时指向区域的概率？
20.本小题分
已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象．
当时，直接写出的取值范围．
21.本小题分
在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
请估计当很大时，摸到白球的概率为______精确到．
估算盒子里有白球______个
若向盒子里再放入个除颜色以外其他完全相同的球，这个球中白球只有个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，那么可以推测出最有可能是多少？
22.本小题分
已知二次函数是常数
求此函数的顶点坐标．
当时，随的增大而减小，求的取值范围．
当时，该函数有最大值，求的值．
23.本小题分
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计警戒线之间的宽度？
素材
图为某公园的抛物线型拱桥，图是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米．
素材 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形如图，测得相关数据如下：米，米，米，米．
素材 为确保安全，拟在石拱桥下面的，两处设置航行警戒线，要求如下：
游船底部在，之间通行；
当载重最少通过时，游船顶部与拱桥的竖直距离至少为米．
问题解决
任务 确定拱桥形状 在图中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
任务 设计警戒线之间的宽度 求的最大值．
24.本小题分
已知抛物线为常数的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大．
求的值；
点在抛物线上，点在抛物线上．
(ⅰ)若，且，，求的值；
(ⅱ)若，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.
16.
17.如图所示：
台风中心位于点，并沿东北方向移动，市位于点的北偏东方向上，
，，，
作于点，在中，由条件知，，
得 ，
本次台风会影响市．
如图，若台风中心移动到时，台风开始影响市，台风中心移动到时，台风影响结束．由得，由条件得，
，
台风影响的时间小时．
18.解：，，，
根据勾股定理列式可得：，
，
，
半径，
，，，
所以根据以上结论判断可得：点在圆上，点在圆内，在圆外；
由题意可知：，，，
，即，
圆的半径的取值范围为．
19.
20.解：描点连线绘制函数图象如下：
当和当的函数值相同，
对称轴为直线，
当时的函数值小于的函数值，
函数开口向上，在对称轴处有最小值，
结合函数图象可知，当时，．
21.解：根据表中的数据可知，估计当很大时，摸到白球的概率为；
故答案为：；
估算盒子里约有白球个，
故答案为：；
根据题意知，，
解得，
答：可以推测出最有可能是．
22.解：抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为；
抛物线的解析式为，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
．
当时，时，函数值最大，
，解得；
当时，则方程无解；
当时，时，函数值最大，
，解得
综上，当时，该函数有最大值，则或．
23.解：任务：
以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，如图：
，，
点的坐标为，顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
这条抛物线的函数表达式为；
任务：
过点作于点，如图：
米，米，
米，
米，
由题意可知，当最大时，
点的纵坐标为 ，
在中，令，得，
解得或，
米，米，
米，
游船底部在，之间通行，
的最大值为米．
24.解：抛物线的顶点横坐标为，的顶点横坐标为，
，
；
点在抛物线上，
，
在抛物线上，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
将代入，
，
，
，
当，即时，取最大值．
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