立体几何中的向量方法（无答案）

3.2 立体几何中的向量方法
一、证明线线平行或垂直
设直线的方向向量分别为， ，则
例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、E、M分别为BD1、AC、C1D1
中点，求证：（1）OM//BC1 （2）BD1EB1
变式：1、设是直线的方向向量，根据下列条件判断直线的位置关系：
（1）=（2，-1，-2），=（6，-3，-6）（2）=（1，2，-2），=（-2，3，2）
（3）=（0，0，1），=（0，0，-3）
2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1和CB1相交于点O，连结DO，求证：DOBC1
二、证明线面平行或垂直
1、平面的法向量
平面的法向量定义：
注意：一个平面的法向量不是唯一的
求平面的法向量
例1、已知平面经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0)。求平面的一个法向量。
变式：已知=(2,2,1),=(4,5,3).求平面ABC的单位法向量。
若直线l的方向向量为，平面的法向量是，
则
例、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，且PA=AD，E,F分别为线段AB,PD的中点
求证：（1）AF//平面PEC （2）AF平面PCD
变式：
1、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是BB1，CD的中点，求证：D1F平面ADE
2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：DB1平面ACD1
三、证明面面平行、面面垂直
若两平面的法向量分别是，
则
例1、正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为4，M、N、E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点。求证：平面AMN//平面EFBD
例2、在四面体ABCD中，AB平面BCD，BC=CD，,,E、F分别是AC、AD中点。求证：平面BEF//平面ABC
变式：
设分别是平面的法向量，根据下列条件判断平面的位置关系：
（1）=（-2，2，5），=（6，-4，4）
（2）=（1，2，-2），=（-2，-4，4）
（3）=（2，-3，5），=（-3，1，-4）
夹 角
一、用向量求异面直线所成角
设直线的方向向量为，其夹角为，有
例、如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F、G分别是DD1、BD、BB1中点。（1）求证：EFCF (2)求EF与CG所成角的余弦
变式：
如图，点M、N分别是ABCD-A1B1C1D1，的棱BB1和B1C1的中点，
求（1）MN和CD1所成角的大小 （2）MN和AD所成角的大小
二、用向量求线面角
设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成角为，与的夹角为，则有 或=
例、如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点。（1）求证：EF平面PAB
（2）设AB=BC，求AC于平面AEF所成角的大小。
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