【新情境·新趋势】北师大版初中数学八年级上册期中情境模拟卷1（含解析）

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初二数学上册期中考试复习卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6、7、10 B．12、16、20 C．1、2、3 D．
2．在，，，，，，（在相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“卒”的位置用坐标表示，那么“马”的位置所表示的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．点关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．最简二次根式与是同类二次根式，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
7．（新情景试题·数学传统文化）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
8．（新情景试题·生活应用型）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是（ ）．（鱼缸厚度忽略不计）
A．130 B． C． D．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．已知点关于轴对称的点在第二象限，则的取值范围是 ．
10．已知，a、b为相邻整数，则的值为 ．
11．实数在数轴上对应位置如图所示，则 ．
12．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ．
13．（新情景试题·规律型）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右向上向右向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到第次移动到．则的面积是 ．
三、解答题（本题共13小题，共81分。其中：14-20每题5分，21题每题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题10分）。
14．现有一张利用平面直角坐标系画出来的某公园景区地图，如图所示，已知游乐园的坐标为，体育馆的坐标为．
(1)请按题意建立平面直角坐标系；
(2)写出其他各景点对应的点的坐标．
15．把下列各数填到相应的集合内（只填序号）：
；；；：；；；；；（相邻两个之间的个数逐次加一）
有理数集合： ．
无理数集合： ．
分数集合： ．
16．如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别为．
(1)画出关于y轴对称的图形，并写出三个顶点的坐标；
(2)求的面积．
17．计算
(1)
(2)．
18．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所围成的两个新月形，它的面积与直角三角形的面积有什么关系？请说明理由．
19．（新情景试题·生活应用型）编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？
20．（新情景试题·数学传统文化）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．
21．已知点，请解答下列问题：
(1)点的坐标为，直线轴，求的值；
(2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求点的坐标．
22．阅读理解：因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：的小数部分为．类似地，因为，所以的小数部分就是．
请根据上述材料，解答下列相关问题．
(1)的整数部分是__________，小数部分是__________．
(2)若的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
23．如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，．
(1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______；
(2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置；
(3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示．
24．如图，长方形中，点为平面直角坐标系中的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形移动一周）．设点运动的时间为秒．
(1)直接写出点的坐标；
(2)当点移动了4秒时，求出点的坐标．
(3)在移动过程中，当点到轴距离为4个单位长度时，求点移动的时间．
25．（新情景试题·规律型）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
…
(1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________；
(3)请你利用发现的规律，计算：
26．（新情景试题·数学传统文化）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)请叙述勾股定理；
勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件
(2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示
则：______；
答案解析部分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B D A B C A
1．B
【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数是勾股数，据此求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴6，7，10不是勾股数，不符合题意；
B、∵，
∴12、16、20是勾股数，符合题意；
C、∵，
∴1，2，3不是勾股数，不符合题意；
D、∵都不是正整数，
∴不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了无理数的识别．无理数就是无限不循环小数，常见的无理数的形式有：，等；开方开不尽的数；像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）这样有规律的数．
【详解】解：在，，，，，，（在相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，
其中，，，…为无理数，共计4个．
故选：D．
3．B
【分析】此题考查了立方根和立方运算，掌握立方根的概念是解题的关键．根据立方根的概念求解即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，正确得出原点位置并创建平面直角坐标系是解题的关键．
根据题中已知位置，创建平面直角坐标系回答即可．
【详解】解：由“帅”，“卒”可确定如图平面直角坐标系，
“马”的位置所表示的坐标为，
故选：．
5．A
【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，根据在最简二次根式中，根指数相同，被开方数相同即为同类二次根式，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故选：B ．
7．C
【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【详解】解：A、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，故该选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，
，故该选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：，
，
故该选项不能证明勾股定理；
D、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
，
，故该选项能证明勾股定理；
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理．延长到点，使，连接，交于点P，连接．则．的最小值为的长．利用勾股定理求出的长度即为壁虎爬行最短路程．
【详解】解：如图，延长到点，使，连接，交于点P，连接．
则．的最小值为的长．
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
9．/
【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标和关于轴对称的点的坐标规律，根据根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”得出对称点为，然后在根据第二象限特点即可求解，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，正确理解关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【详解】∵点，
∴关于轴对称的点为，
∵对称点在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
10．11
【分析】本题主要考查无理数的估算．根据算术平方根的性质可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴；
故答案为：11．
11．
【分析】本题考查了数轴上的点、绝对值以及二次根式，根据数轴化简式子即可．
【详解】解：根据图可知：且
故答案为：．
12．72
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用；根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，得到四个小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，即可求解．
【详解】解：根据勾股定理和正方形的性质可知，
，
，
，
，
正方形A、B、C、D、E、F的面积之；
故答案为：72．
13．
【分析】本题主要考查点的坐标的变化规律，由知，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【详解】解：由题意知，
，，
，的纵坐标为，
则 的面积是 ，
故答案为：．
14．(1)图见解析
(2)，，，
【分析】本题考查了坐标确定位置，主要利用了平面直角坐标系的建立和在平面直角坐标系中确定点的位置的方法．
（1）根据题意建立坐标系解答；
（2）根据平面直角坐标系写出其他景点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：由（1）中直角坐标系可得：
音乐台坐标为：，
湖心亭坐标为：，
望春亭坐标为：，
牡丹园坐标为：．
15．见解析
【分析】本题考查了实数的分类，解题关键是掌握实数的概念，注意有理数包含了整数与分数（无限循环小数也是分数），无理数则是无限不循环小数，含有的式子和有特殊结构的无限不循环小数都是无理数，本题要先对含有立方根和平方的式子进行化简再判断．
【详解】解：∵，，
∴有理数集合：{②③④⑤⑦⑧⑨…}．
无理数集合：{①⑥⑩…}．
分数集合：{②④⑤…}．
16．(1)图见解析，
(2)5
【分析】本题考查坐标与轴对称：
（1）根据轴对称的性质，画出，进而写出三个顶点的坐标即可；
（2）分割法求出三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
由图可知：；
（2）的面积为：．
17．(1)4
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握相关运算法则和公式是解题的关键．
（1）先求出括号内的，再作除法即可；
（2）先用乘法公式计算，再合并即可．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
18．两个新月形的面积等于直角三角形的面积，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据得到，再由勾股定理推出，据此可得结论．
【详解】解：两个新月形的面积等于直角三角形的面积，理由如下：
由题意得，，
，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴两个新月形的面积等于直角三角形的面积．
19．每一根这样的竹条的长度最少是
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键．将圆柱侧面展开，再根据勾股定理求出的长即可求解．
【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示，
圆柱底面周长为，高为，
，
即每一根这样的竹条的长度最少是．
20．秋千绳索长为尺
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解∶ 设秋千绳索长为尺，
则尺，
在中，，即，
解得：，
∴秋千绳索长为尺．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键．
（1）根据“直线轴”得出纵坐标相等，列方程求解；
（2）根据题意列方程求解．
【详解】（1）解：∵轴，
∴点和点的纵坐标相等，
∴，
解得．
（2）解：∵点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
∴点的横坐标和纵坐标互为相反数，
∴，
解得，
∴，，
∴点的坐标为．
22．(1)，
(2)
【分析】此题考查了无理数的估算、无理数整数部分和小数部分的计算．
（1）由得到，即可得到答案；
（2）分别求出的小数部分为，的整数部分为，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，
（2）∵，，
∴，
∴的小数部分为，的整数部分为，
∴
23．(1)，，，
(2)目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站
(3)，
【分析】本题考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，理解题意、熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键．
（1）根据“目标C，F的位置表示为，”， 表示目标A，B，D，E的位置即可；
（2）根据“目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站”，求出每一圈表示，观察图形，根据用方向角和距离确定物体的位置，写出目标A，B，D，E的实际位置即可；
（3）根据“目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处”，观察图形并计算，写出G，H的位置表示即可．
【详解】（1）解：∵目标C，F的位置表示为，，
∴按照此方法表示：，，，，
故答案为：，，，；
（2）解：∵，，目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，
∴，
又∵，，，，
∴，，，，
∴目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站；
（3）解：∵目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，
∴，，，，
∴，．
24．(1)
(2)
(3)秒或秒
【分析】本题考查坐标与图形：
根据长方形的性质，易得的坐标，
根据题意，的运动速度与移动的时间，可得运动了个单位，进而结合长方形的长与宽可得答案，
根据题意，当点 到轴距离为个单位长度时，有在与上两种情况，分别求解可得答案．
【详解】（1）解：长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，
，，
∵点在第一象限，
∴点坐标为．
（2）解：∵点，，
∴，，
当移动了秒时，移动的距离是个单位长度，，
此时点在线段上，坐标为．
（3）根据题意，分两种情况：
①当点在线段上时，此时点移动的距离是个单位长度，移动时间为（秒），
②当点在线段上时，此时点移动的距离是个单位长度，移动的时间为（秒），
综上所述，当点到轴距离为个单位长度时，点移动的时间为秒或秒．
25．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．
（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．由此可求解即可；
（2）根据（1）找的规律进行计算即可；
（3）根据规律把所求式子先化简二次根式，最后计算期间即可；
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，
（3）解：
．
26．(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析；
(2)①3，②结论；
(3)
【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用．
（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；
②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；
②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；
（3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，．
【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
②证明：
在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，
化简得．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即，化简．
（2）解：①根据题意，如下图所示：
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
，，，
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，
∴，，，
∴
故答案为：