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2024-2025学年九年级上学期期中测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 连云港期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、当时，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
、化简后为不是一元二次方程，本选项不符合题意；
、是一元二次方程，本选项符合题意；
、不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意；
故选．
2．（2023秋 宿豫区校级期中）已知一组数据1，2，，4，它们的平均数是2，则的值为
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】
【解析】由题意，得，
解得，
故选．
3．（2023秋 惠山区期中）已知的半径为4，，则点与的位置关系是
A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定
【答案】
【解析】，故点与的位置关系是点在圆内．
故选．
4．（2024春 阜宁县期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次
A．正面朝上的可能性大
B．反面朝上的可能性大
C．正面朝上与反面朝上的可能性一样大
D．无法确定
【答案】
【解析】虽然连续抛掷一枚质地均匀的硬币6次都是正面朝上，
但抛掷第7次正面朝上与反面朝上的可能性也一样大．
故选．
5．（2023秋 望花区期中）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、△，方程有两个相等的实数根，所以选项合题意；
、△，方程有两个不相等的实数根，所以选项不合题意；
、△，方程没有实数根，所以选项不合题意；
、△，方程有两个不相等的实数根，所以选项不合题意．
故选．
6．（2024 南山区二模）如图，圆的半径是4，是弦，且是弧的中点，则弦的长为
A． B． C．4 D．6
【答案】
【解析】如图，连接，，，
，
，
是弧的中点，
，
，
，
是等边三角形，
．
故选．
7．（2024秋 沙坪坝区校级期中）已知实数，满足，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】实数，满足，，
，是方程的两根，
，，
．
故选．
8．（2023秋 东海县期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设圆锥的底面的半径为，则，
根据题意得：，
解得：，
侧面积为：，
底面积为：
所以圆锥的表面积为：，
故选．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 秦淮区期中）小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：
环数 5 6 7 8 9 10
次数 2 3 4 5 5 1
那么他成绩的中位数是 8 环．
【答案】8．
【解析】共20次射击，
中位数是从小到大排列后第10和第11的平均数，分别为8环、8环，
中位数为．
故答案为：8．
10．（2022秋 新市区校级期中）若关于的一元二次方程有一个根是，则 ．
【答案】．
【解析】把代入方程得，
解得，，
因为，
所以的值为．
故答案为：．
11．（2023秋 无为市期中）如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为 ．
【答案】．
【解析】，
，
，
，
，
．
故答案为：．
12．（2023秋 高州市校级期中）在一个不透明的口袋中装有仅颜色不同的白、黄两种小球，其中白球2个，黄球个，若从袋中任取一个球，摸出黄球的概率是，则 8 ．
【答案】8．
【解析】由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：8．
13．（2023秋 英吉沙县期中）已知，则的值是 1 ．
【答案】1．
【解析】设，
由原方程得，，
解得，或（舍去），
所以，，
故答案为：1．
14．（2023秋 京口区期中）2023年，某省新能源汽车产能达到30万辆．到了2025年，该省新能源汽车产能将达到41万辆，设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为．则根据题意可列方程为 ．
【答案】．
【解析】由题意可列方程为，
故答案为：．
15．（2023秋 启东市期中）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ．
【答案】．
【解析】如图，连接，
点是的内心，
平分，
，
，
点是外接圆的圆心，
，
，
，
故答案为：．
16．（2023秋 青秀区校级期中）如图，正方形的边长为4，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【解析】四边形是正方形，
，，
，
，，
阴影部分的面积：，
故答案为：．
三．解答题（共11小题）
17．（2023秋 文昌期中）解下列方程：
（1）；
（2）．
【解析】（1），
，
或，
，；
（2），
，
或
，．
18．（2023秋 海州区校级期中）在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积．
【解析】由题意得
，
解得：，
．
19．（2023秋 高港区期中）某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的，两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息．
表格一两种花生仁的长轴长度统计表：
花生仁长轴长度 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
品种花生仁粒数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0
品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2
表格二两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
品种花生仁 13.7 13.5 1.4
品种花生仁 17.5 16 3.9
根据以上信息，回答下列问题：
（1）兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是 ② （填序号）；
①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒；
②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒；
（2）表格二中 ， ；
（3）学校食堂准备从，两个品种的花生仁中选购一批做食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购 （填“”或“” 品种花生仁，理由是 ．
【解析】（1）根据抽取的样木最具有代表性可知，操作正确的是②；
故答案为：②；
（2）品种花生仁的长度的第15个和第16个数据都是17和18，则中位数为，
品种花生仁长度13出现的次数最多，
品种花生仁长度的众数为，
故答案为，；
（3）根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购品种花生仁，理由：品种花生仁的方差小，花生仁大小均匀．
故答案为：；品种花生仁的方差小，花生仁大小均匀．
20．（2023秋 郸城县期中）已知关于的一元二次方程．
（1）若这个方程没有实数根，求的取值范围．
（2）当时，若等腰三角形的两边长分别为该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【解析】（1）根据题意，得△，
，
，
解得．
（2）当时，方程为，
解得，．
若3为腰，则周长；
若1为腰，，
构不成三角形，舍去，
等腰三角形的周长为7．
21．（2023秋 海勃湾区校级期中）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”的号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“防疫宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次随机抽取的学生共有 50 名；
（2）参与了5项活动的学生人所在区域的圆心角度数为 ．
（3）若该校有3000名学生，请估计参与了4项活动的学生人数 ．
（4）在所调查的学生中随机选取一人谈活动心得，求选中参与了5项活动的学生的概率．
【解析】（1）本次随机抽取的学生共有（名；
故答案为：50；
（2）参与了5项活动的学生的数量为（名
参与了5项活动的学生人所在区域的圆心角度数，
故答案为：；
（3）估计该校参与了4项活动的学生人数为（名；
故答案为：720名；
（4）共抽取了50名学生，其中参与了5项活动的学生有6名，
选中参与了5项活动的学生的概率为．
22．（2023秋 西城区校级期中）如图，在中，，点在边上，以为直径的与直线相切于点，连接、．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的半径．
【解析】（1）证明：，
，
为的切线，
为的切线，
平分，
，
，
，
，
，
即，
；
（2）解：设的半径为，
在中，，
，
在中，，
解得或（舍去），
即的半径为．
23．（2023秋 广水市期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，．
（1）求的取值范围；
（2）若，满足，求实数的值．
【解析】（1）关于的方程有两个实数根和．
△，
．
（2），，，
，
，
即，
解得：或，
，
．
24．（2022秋 江干区校级期中）如图，在中，，以腰为直径画半圆，分别交，于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分弓形的面积．
【解析】（1）如图，连接，
以腰为直径画半圆，
，即，
又为等腰三角形，
，，
、、、四点共圆，
，
，
，
；
（2）如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
25．（2023秋 润州区期中）镇江某学校组织七年级学生到世业洲旅游景点进行研学活动．下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话．
领队：学校组团到该景点研学每人收费是多少？
导游：正常成年人的人均费用为300元，没有优惠；学生票打八折，而且若学生人数超过100人，还有优惠．
领队：学生人数超过100人怎样优惠呢？
导游：如果学生人数超过100人，每增加10人，学生人均研学费用降低6元，但旅行社规定人均研学费用不得低于150元．
该学校经商定后按旅行社的收费标准组团去该景点进行研学活动，解决下列问题：
（1）若参加研学活动的学生共180人，则学生人均研学费用是 192 元；
（2）若学校研学活动结束后，共支付给旅行社37500元（其中随队的领队、教师共5人），求学校这次到该景点参加研学活动的学生有多少人．
【解析】（1）由题意可知，（元，
故答案为：192；
（2）设学校这次到该景点参加研学活动的学生有人，
由题意得：，则学生人均研学活动费用为元，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：学校这次到该景点参加研学活动的学生有200人．
26．（2023秋 滨海县期中）如图，在中，，点，，分别是边，，上的点，以为直径的半圆经过点，，且平分．
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，求的长．
【解析】（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是半圆的切线；
（2）解：，，，
，，
，
，
，
，
是半圆的直径，
，
，
，
，
，
27．（2024秋 惠山区校级月考）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：已知，如图1，在△中，，，是△外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 或 ．（直接写答案）
问题解决：如图2，在四边形中，，，求的度数；
问题拓展：如图3，在△中，，是边上的高，且，，求的长．
【解析】（1）如图1，，，
以点为圆心，长为半径画圆，点、、必在上，
是的圆心角，而是圆周角，
，
同理，当点在弧上时，．
故答案为：或；
（2）如图2，取的中点，连接、，
，
点、、、共圆，
，
，
；
（3）如图3，作△的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，
，
，
在△中，，，
，
，
，为圆心，
，
．
在△中，，，
，
，
四边形是矩形，
，，
在△中，，，
，
．
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2024-2025学年九年级上学期期中测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 连云港期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是
A． B．
C． D．
2．（2023秋 宿豫区校级期中）已知一组数据1，2，，4，它们的平均数是2，则的值为
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
3．（2023秋 惠山区期中）已知的半径为4，，则点与的位置关系是
A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定
4．（2024春 阜宁县期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次
A．正面朝上的可能性大
B．反面朝上的可能性大
C．正面朝上与反面朝上的可能性一样大
D．无法确定
5．（2023秋 望花区期中）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是
A． B． C． D．
6．（2024 南山区二模）如图，圆的半径是4，是弦，且是弧的中点，则弦的长为
A． B． C．4 D．6
7．（2024秋 沙坪坝区校级期中）已知实数，满足，，则的值为
A． B． C． D．
8．（2023秋 东海县期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 秦淮区期中）小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：
环数 5 6 7 8 9 10
次数 2 3 4 5 5 1
那么他成绩的中位数是 环．
10．（2022秋 新市区校级期中）若关于的一元二次方程有一个根是，则 ．
11．（2023秋 无为市期中）如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为 ．
12．（2023秋 高州市校级期中）在一个不透明的口袋中装有仅颜色不同的白、黄两种小球，其中白球2个，黄球个，若从袋中任取一个球，摸出黄球的概率是，则 ．
13．（2023秋 英吉沙县期中）已知，则的值是 ．
14．（2023秋 京口区期中）2023年，某省新能源汽车产能达到30万辆．到了2025年，该省新能源汽车产能将达到41万辆，设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为．则根据题意可列方程为 ．
15．（2023秋 启东市期中）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ．
16．（2023秋 青秀区校级期中）如图，正方形的边长为4，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共11小题）
17．（2023秋 文昌期中）解下列方程：
（1）；
（2）．
18．（2023秋 海州区校级期中）在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积．
19．（2023秋 高港区期中）某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的，两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息．
表格一两种花生仁的长轴长度统计表：
花生仁长轴长度 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
品种花生仁粒数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0
品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2
表格二两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
品种花生仁 13.7 13.5 1.4
品种花生仁 17.5 16 3.9
根据以上信息，回答下列问题：
（1）兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是 （填序号）；
①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒；
②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒；
（2）表格二中 ， ；
（3）学校食堂准备从，两个品种的花生仁中选购一批做食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购 （填“”或“” 品种花生仁，理由是 ．
20．（2023秋 郸城县期中）已知关于的一元二次方程．
（1）若这个方程没有实数根，求的取值范围．
（2）当时，若等腰三角形的两边长分别为该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
21．（2023秋 海勃湾区校级期中）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”的号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“防疫宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次随机抽取的学生共有 名；
（2）参与了5项活动的学生人所在区域的圆心角度数为 ．
（3）若该校有3000名学生，请估计参与了4项活动的学生人数 ．
（4）在所调查的学生中随机选取一人谈活动心得，求选中参与了5项活动的学生的概率．
22．（2023秋 西城区校级期中）如图，在中，，点在边上，以为直径的与直线相切于点，连接、．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的半径．
23．（2023秋 广水市期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，．
（1）求的取值范围；
（2）若，满足，求实数的值．
24．（2022秋 江干区校级期中）如图，在中，，以腰为直径画半圆，分别交，于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分弓形的面积．
25．（2023秋 润州区期中）镇江某学校组织七年级学生到世业洲旅游景点进行研学活动．下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话．
领队：学校组团到该景点研学每人收费是多少？
导游：正常成年人的人均费用为300元，没有优惠；学生票打八折，而且若学生人数超过100人，还有优惠．
领队：学生人数超过100人怎样优惠呢？
导游：如果学生人数超过100人，每增加10人，学生人均研学费用降低6元，但旅行社规定人均研学费用不得低于150元．
该学校经商定后按旅行社的收费标准组团去该景点进行研学活动，解决下列问题：
（1）若参加研学活动的学生共180人，则学生人均研学费用是 元；
（2）若学校研学活动结束后，共支付给旅行社37500元（其中随队的领队、教师共5人），求学校这次到该景点参加研学活动的学生有多少人．
26．（2023秋 滨海县期中）如图，在中，，点，，分别是边，，上的点，以为直径的半圆经过点，，且平分．
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，求的长．
27．（2024秋 惠山区校级月考）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：已知，如图1，在△中，，，是△外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ．（直接写答案）
问题解决：如图2，在四边形中，，，求的度数；
问题拓展：如图3，在△中，，是边上的高，且，，求的长．
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