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2024-2025学年九年级上学期期中测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 西湖区校级期中）下列图形为旋转对称图形（即绕一个点旋转后能与原图重合的图形）的是
A． B．
C． D．
2．（2023秋 花垣县校级期中）抛物线的顶点坐标为
A． B． C． D．
3．（2023秋 姜堰区期中）如图，半径为5，那么图中到圆心距离为7的点可能是
A．点 B．点 C．点 D．点
4．（2023秋 西山区校级期中）已知是二次函数，则的值为
A．0 B．1 C． D．1或
5．（2023秋 官渡区校级期中）在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率为
A． B． C． D．
6．（2023秋 中山市校级期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为
A． B． C． D．
7．（2024春 献县期中）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是
A．面朝上的点数是3 B．面朝上的点数是奇数
C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数不小于3
8．（2024秋 东莞市期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
9．（2023秋 文成县期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径为
A．1.7米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.4米
10．（2022秋 寿县期中）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④若关于的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 宁海县期中）已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为 ．
12．（2023秋 萧山区校级期中）某九年级一名学生进行定点投篮训练，其成绩如表，则这名学生定点投篮一次，投中的概率约为 （精确到．
投篮次数 10 100 10000
投中次数 6 59 6003
13．（2023秋 绍兴期中）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为 ．
14．（2023秋 龙华区校级期中）如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于，则的度数为 ．
15．（2023秋 锡山区期中）如图，为的直径，、是的弦，且，，，图中阴影部分的面积为，则 ．
16．（2023秋 义乌市期中）如图，已知矩形，，，将矩形绕顺时针旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接．
（1）如图①，当时，的长为 ；
（2）如图②，点是的中点，连结，在旋转过程中，线段的最大值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2023秋 绍兴期中）如图，是的直径，，过作，垂足为点，的延长线交于点，，求的度数和的长．
18．（2023秋 龙安区期中）如图三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出绕点逆时针旋转的△．
（2）请画出关于原点对称的图形△，并写出点的坐标．
19．（2024秋 凉州区期中）已知二次函数．
（1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点；
（2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标．
20．（2024春 市中区校级期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 58 96 295 480 601
摸到白球的频率 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的 ， ；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到；
（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．
21．（2023秋 陆河县期中）如图，是的外接圆，，平分交于，过作的延长线于．
（1）若，求证：；
（2）若，，求的长度．
22．（2024秋 东莞市期中）学科实践
任务驱动：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情．数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查．
研究步骤：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式及入水处点的坐标．
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与轴的水平距离为3米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由．
（3）在该运动员入水处点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点在之间（包括，两点），请求出的取值范围．
23．（2024秋 上城区校级月考）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连结，使．
（1）若，为直径，求的度数．
（2）求证：①；
②．
24．（2023秋 巧家县校级期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线顶点，已知，连接，抛物线对称轴与交于点．
（1）求的值及顶点的坐标；
（2）点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为边，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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2024-2025学年九年级上学期期中测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 西湖区校级期中）下列图形为旋转对称图形（即绕一个点旋转后能与原图重合的图形）的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，，无法通过旋转一个小于的角度，与自身重合，只有选项图形可以平分成3份，因而它至少需要旋转，才能与其自身完全重合，是旋转对称图形．
故选．
2．（2023秋 花垣县校级期中）抛物线的顶点坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意，抛物线为，
该抛物线的顶点坐标为，
故选．
3．（2023秋 姜堰区期中）如图，半径为5，那么图中到圆心距离为7的点可能是
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】
【解析】、因为点在圆上，所以点到圆心距离即为半径，为5，故该选项是错误的；
、因为点在圆内，所以点到圆心距离小于半径5，故该选项是错误的；
、因为点在圆内，所以点到圆心距离小于半径5，故该选项是错误的；
、因为点在圆外，所以点到圆心距离大于半径5，那么图中到圆心距离为7的点可能是点，故该选项是正确的；
故选．
4．（2023秋 西山区校级期中）已知是二次函数，则的值为
A．0 B．1 C． D．1或
【答案】
【解析】由是二次函数，得
，
解得，
故选．
5．（2023秋 官渡区校级期中）在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，
从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率．
故选．
6．（2023秋 中山市校级期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，连接、．
是的直径，四边形内接于，，
，
．
又，
是等边三角形，
，
的周长．
故选．
7．（2024春 献县期中）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是
A．面朝上的点数是3 B．面朝上的点数是奇数
C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数不小于3
【答案】
【解析】．面朝上的点数是3的概率为；
．面朝上的点数是奇数的概率为；
．面朝上的点数小于2的概率为；
．面朝上的点数不小于3的概率为；
概率最大的是面朝上的点数不小于3，
故选．
8．（2024秋 东莞市期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，
抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
，，，
，
．
故选．
9．（2023秋 文成县期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径为
A．1.7米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.4米
【答案】
【解析】过作于，过作于，如图所示：
则（米，，
，
，
四边形是矩形，
米，（米，
设该圆的半径长为米，
由题意得：，
解得：，
即该圆的半径长为1.3米，
故选．
10．（2022秋 寿县期中）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④若关于的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】
【解析】由图象得：，，，
，故①是正确的；
抛物线与轴有两个交点，
有两个不相等的实数根，
，故②是错误的；
根据抛物线的对称性，抛物线与轴的交点的横坐标分别为：，4，
当时，，故③是正确的；
由图象得：抛物线与的交点的横坐标分别位于的左边，4的右边，
，；故④是正确的；
直线经过点和，
于的不等式即：的解集是，故⑤是正确的；
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 宁海县期中）已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为 ．
【答案】 ．
【解析】弧长为．
故答案为： ．
12．（2023秋 萧山区校级期中）某九年级一名学生进行定点投篮训练，其成绩如表，则这名学生定点投篮一次，投中的概率约为 0.6 （精确到．
投篮次数 10 100 10000
投中次数 6 59 6003
【答案】0.6．
【解析】观察表格发现随着投篮次数的增多投中的频率逐渐稳定在0.6附近，
故投中的概率估计值为0.6；
故答案为：0.6．
13．（2023秋 绍兴期中）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为 ．
【答案】．
【解析】将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为：，即．
故答案为：．
14．（2023秋 龙华区校级期中）如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于，则的度数为 ．
【答案】．
【解析】四边形是的内接四边形，，
，
，
，
，
平分，
，
故答案为：．
15．（2023秋 锡山区期中）如图，为的直径，、是的弦，且，，，图中阴影部分的面积为，则 ．
【答案】．
【解析】，
，，
即图1中阴影部分①的面积与扇形的面积相等，图1中阴影部分②的面积与扇形的面积相等，
图1中，圆的面积为，而图1中阴影部分的面积为，
图1中阴影部分的面积占圆面积的一半，
如图2，扇形的面积与图1中阴影部分①的面积相等，扇形的面积与图1中阴影部分②的面积相等，
在图2中，是直径，
，
在图中，，，
，
即．
16．（2023秋 义乌市期中）如图，已知矩形，，，将矩形绕顺时针旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接．
（1）如图①，当时，的长为 ；
（2）如图②，点是的中点，连结，在旋转过程中，线段的最大值为 ．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）连接、，
是矩形，
，
又，，
，
由旋转可得，
；
故答案为：；
（2）连接，交于点，连接，，
是矩形，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
点在以为圆心，以为半径的圆上运动，
根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点与点重合时，最大，最大为：，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．（2023秋 绍兴期中）如图，是的直径，，过作，垂足为点，的延长线交于点，，求的度数和的长．
【解析】如图，连接，
，
，
是的直径，
，
；
，，，
，
，，且是直径，
，，
，，
．
18．（2023秋 龙安区期中）如图三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出绕点逆时针旋转的△．
（2）请画出关于原点对称的图形△，并写出点的坐标．
【解析】（1）如图所示：△即为所求；
（2）如图所示：△即为所求．
19．（2024秋 凉州区期中）已知二次函数．
（1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点；
（2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标．
【解析】（1）证明：抛物线为，
△
．
不论取何值都有，
△．
不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点．
（2）解：该函数图象的对称轴是直线，
对称轴为直线．
．
．
当时，．
该函数的图象与轴的交点坐标为．
20．（2024春 市中区校级期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 58 96 295 480 601
摸到白球的频率 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的 0.58 ， ；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到；
（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．
【解析】（1），，
故答案为：0.58，118；
（2）由表格的数据可得，
“摸到白球的”的概率的估计值是0.6．
故答案为：0.6；
（3）（个，
答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球．
21．（2023秋 陆河县期中）如图，是的外接圆，，平分交于，过作的延长线于．
（1）若，求证：；
（2）若，，求的长度．
【解析】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：在中，，，，
，是的直径，
平分，
，
，
是的直径，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
22．（2024秋 东莞市期中）学科实践
任务驱动：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情．数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查．
研究步骤：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式及入水处点的坐标．
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与轴的水平距离为3米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由．
（3）在该运动员入水处点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点在之间（包括，两点），请求出的取值范围．
【解析】（1）设运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为，
抛物线经过原点，
，
解得，
运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为，
当时，，
解得或（舍去），
点的坐标为；
（2）运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与轴的水平距离为3米，
运动员调整好入水姿势的点的横坐标为3，
当时，，
调整点的坐标为，
运动员此时距离水面高度为（米．
，
运动员此次跳水不会失误；
（3），，，
，．
人水处点，
，①，
当抛物线经过点时，，②，
由①②联立方程组，解得，；
当抛物线经过点时，，③，
由①③联立方程组，解得，
出水处点在之间（包括，两点），
．
23．（2024秋 上城区校级月考）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连结，使．
（1）若，为直径，求的度数．
（2）求证：①；
②．
【解析】（1）解：为直径，
，
，
，
；
（2）证明：①如图，延长，
四边形是圆内接四边形，
，
又，
，
；
②过点作交于点，连接，，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
△△，
，
．
24．（2023秋 巧家县校级期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线顶点，已知，连接，抛物线对称轴与交于点．
（1）求的值及顶点的坐标；
（2）点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为边，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）将代入得：
，
解得：，
，
，
．
（2）存在以为边，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
当时，，
解得：，，
，
当时，，
，
设直线解析式为，
将、代入得：
，
解得：，
直线解析式为，
当时，，
，
则．
设、分类讨论：
①当点在点下方时，
，
解得：，，
②当点在点上方时，
，
解得：（舍去），，
综上所述，点的坐标为或或．
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