2024-2025学年人教版九年级数学上册期中综合练习题 《第21—24章》 （含解析）

2024-2025学年人教版九年级数学上册第一阶段《第21—24章》综合练习题（附答案）
一．选择题（共18分）
1．下列四个交通标志图案中，是中心对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
2．若方程x2+x﹣1＝0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（　　）
A．α+β＝﹣1 B．αβ＝﹣1 C．α2+α＝1 D．α2+β2＝1
3．抛物线y＝﹣3（x﹣4）2﹣5的对称轴是（　　）
A．直线x＝4 B．直线x＝5 C．直线x＝﹣4 D．直线x＝﹣5
4．如图，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC＝36°，则∠ABC的度数是（　　）
A．22° B．54° C．36° D．18°
5．如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE以下四个结论：①BD＝CE； ②∠ACE+∠DBC＝45°；③△BDE≌△BDC； ④BD⊥CE； ⑤若∠ABE+∠AEB＝22.5°，则AD＝CD．其中结论正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣4 0 2 2 0 ﹣4 …
下列结论：
①抛物线开口向下；
②当﹣1＜x＜2时，y＞0；
③抛物线的对称轴是直线；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2．
其中所有正确的结论为（　　）
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共18分）
7．已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是，则m的值为　 　，另一个根为　 　．
8．在平面直角坐标系中，P（，0），将P绕O点逆时针旋转60°，得到的点的坐标为　 　．
9．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，D是弧AC上任意一点，则∠D＝　 　．
10．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
11．如图，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得到△A'B'C，点A'恰好落在BC边上，则图中阴影部分的面积为 　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为　 　．
三．解答题（共84分）
13．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0有一个根是x＝2，求b的值及方程的另一个根．
14．如图，大桥的圆拱的跨度CD是80米，拱高EF是20米，求这个圆拱所在的圆的半径．
15．阅读下面材料：
小明在解方程（2x﹣3）2+4（2x﹣3）﹣5＝0时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是采用了如下方法：令t＝2x﹣3①，则原方程为t2+4t﹣5＝0．解得t1＝﹣5，t2＝1，分别代入①后算出了x的值．
解决以下问题：
（1）直接写出方程（2x﹣3）2+4（2x﹣3）﹣5＝0的根为 　 　；
（2）利用材料中的方法求抛物线y＝（5x+6）2﹣（5x+6）﹣12与x轴的交点坐标；
（3）直接写出方程（2x2+1）2﹣9（2x2+1）＝0有 　 　个实根．
16．如图，已知△ABC为直角三角形，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝4，D是直线AB上一点．以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，求AE的最小值．
17．已知：射线AB．
求作：△ACD，使得点C在射线AB上，∠D＝90°，∠A＝30°．
作法：如图，
①在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，与射线AB相交于点C；②以C为圆心，OC为半径作弧，在射线AB上方交⊙O于点D；
③连接AD，CD．
则△ACD即为所求的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADC＝　 　°．
∵OD＝OC＝CD，
∴△OCD等边三角形．
∴∠DOC＝60°．
∵点A，D都在⊙O上，
∴∠DAC＝．　 　（填推理的依据）
∴∠DAC＝30°．
△ACD即为所求的三角形．
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示：
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 ……
y …… m 7 1 ﹣1 1 7 ……
解答下列问题：
（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；
（Ⅱ）表格中m的值等于　 　；
（Ⅲ）在直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（Ⅳ）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式．
19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．设每件衬衫降价x元．
（1）降价后，每件衬衫的利润为　 　元，销量为　 　件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．但需要平均每天盈利1200元，求每件衬衫应降价多少元？
20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点E是的中点，延长AC交BE的延长线于点D，点F在AB的延长线上，EF⊥AD，垂足为G．
（1）求证：GF是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝DE；
（3）若BF＝1，EF＝，求⊙O的半径．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）经过A，B两点与x轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，当△MBC面积最大时，求出点M的坐标；
（3）若点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC+∠OBA＝45°时，请直接写出点P的坐标．
参考答案
一．选择题（共18分）
1．解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．解：∵方程x2+x﹣1＝0的两实根为α、β，
∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣1，α2+α﹣1＝0，
∴α2+α＝1．
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）＝3．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
3．解：∵抛物线y＝a（x+h）2+k的对称轴是直线x＝﹣h，
∴抛物线y＝﹣3（x﹣4）2﹣5的对称轴为直线x＝4．
故选：A．
4．解：∵∠AOC＝36°，
∴∠ABC＝∠AOC＝×36°＝18°．
故选：D．
5．解：①∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．故①正确；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB＝90°，
∴∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°．
∴BD⊥CE；故④正确；
②∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°．
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故②正确；
③∵BD⊥CE，
∴BE2＝BD2+DE2，
在Rt△BCD中，∵BC2＝CD2+BD2，
而ED不一定等于CD，
∴BE不一定等于BC，
∴△BDE≌△BDC不一定成立，故③错误；
⑤∵∠ABE+∠AEB＝22.5°，
∴∠BAE＝180°﹣（∠ABE+∠AEB）＝157.5°，
∴∠DAC＝360°﹣∠EAD﹣∠BAC﹣∠BAE
＝360°﹣90°﹣90°﹣157.5°
＝22.5°，
Rt△BDE中，∠ABD＝90°﹣∠DEA﹣（∠ABE+∠AEB）
＝90°﹣45°﹣22.5°
＝22.5°，
又∵∠ABD＝∠ACE．
∴∠ACE＝ABD＝22.5°，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴AD＝CD，
故⑤正确．
故选：C．
6．解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x＝＝，故③正确，
由抛物线的对称轴可知，当x＞时，y随x的增大而减小，当x＜时，y随x的增大而增大，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，故①正确，
由表格数据可知，当﹣1＜x＜2时，y＞0，故②正确；
根据表格数据可知当x＝时，y＞2，故抛物线的最大值大于2，故④错误，
故选：A．
二．填空题（共18分）
7．解：将x＝代入2x2﹣mx﹣m＝0，
∴+﹣m＝0，
∴m＝1，
设另外一根为x，
∴x＝＝，
∴x＝1，
故答案为：1，1．
8．解：∵P（，0），
将P绕O点逆时针旋转60°到点A，如图，
∴OA＝OP＝，∠AOP＝60°，
作AB⊥x轴于点B，
∴∠OAB＝30°，
∴OB＝OA＝，
∴AB＝＝．
所以点A的坐标为（，）．
故答案为：（，）．
9．解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120°．
10．解：根据题意得：
m﹣2≠0，
解得：m≠2，
Δ＝1+4（m﹣2）＞0，
解得：m，
综上可知：m且m≠2，
故答案为：m且m≠2．
11．解：∵AC＝A′C，且∠A＝60°，
∴△ACA′是等边三角形．
∴∠ACA′＝60°，
∴∠A′CB＝90°﹣60°＝30°，
∵∠CA′D＝∠A＝60°，
∴∠CDA′＝90°，
∵∠B′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CB′D＝30°，
∴CD＝CB′＝CB＝×2＝1，
∴B′D＝＝，
∴S△CDB′＝×CD×DB′＝×1×＝，
S扇形B′CB＝＝，
则阴影部分的面积为：S扇形B′CB﹣S△CDB′＝﹣，
故答案为：﹣．
12．解：连接CN．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝4，
∵NB′＝NA′，
∴CN＝A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
∴MN≤CN+CM＝3，
∴MN的最大值为3，
故答案为3．
三．解答题（共84分）
13．解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2+t＝﹣b，2t＝﹣2，
解得t＝﹣1，b＝﹣1，
即b的值为﹣1，方程的另一个根为﹣1．
14．解：延长EF到O，使得OC＝OE，则O为圆心，
∵EF为拱高，
∴OE⊥AB，
∴CF＝CD＝40（米），
设圆弧所在圆O的半径为x米，
则OF＝（x﹣20）米，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF2+OF2＝OC2，
即402+（x﹣20）2＝x2，
解得：x＝50，
答：圆弧所在圆的半径为50米．
15．解：（1）令t＝2x﹣3①，则原方程为t2+4t﹣5＝0，
解得t1＝﹣5，t2＝1，
把t1＝﹣5，t2＝1分别代入①得：
2x﹣3＝﹣5或2x﹣3＝1，
解得x＝﹣1或x＝2，
故答案为：x＝﹣1或x＝2；
（2）令y＝0，则（5x+6）2﹣（5x+6）﹣12＝0，
令5x+6＝t①，则原方程为t2﹣t﹣12＝0，
解得t1＝﹣3，t2＝4，
把t1＝﹣3，t2＝4分别代入①得：
5x+6＝﹣3或5x+6＝4，
解得x＝﹣或x＝﹣，
∴抛物线y＝（5x+6）2﹣（5x+6）﹣12与x轴的交点坐标为（﹣，0），（﹣，0）；
（3）令2x2+1＝t①，则原方程为t2﹣9t＝0，
解方程得：t1＝0，t＝9，
把t1＝0，t＝9代入①得：
2x2+1＝0（不成立）或2x2+1＝9，
解得x＝±2．
∴方程（2x2+1）2﹣9（2x2+1）＝0有两个实数根，
故答案为：2．
16．解：如图，作CH⊥AB于H，取CD的中点O，连接OE，OH，EH，作AG⊥EH交EH的延长线于G．
∵∠CED＝∠CHD＝90°，CO＝OD，
∴OE＝OH＝OC＝OD，
∴C，E，H，D四点共圆，
∴∠EHC＝∠EDC＝45°，
∴∠AHG＝90°﹣∠EHC＝45°，
∴点E的运动轨迹是直线GH，当AE与AG重合时，AE的值最小，
在Rt△ABC中，∵BC＝4，∠CAB＝30°，
∴AC＝BC＝4，AH＝AC cos30°＝6，
∵AG⊥HG，
∴∠G＝90°，
∵∠AHG＝∠GAH＝45°，
∴AG＝GH＝AH＝3，
∴AE的最小值为3，
17．解：（1）补全的图形如图所示：
（2）连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°．
∵OD＝OC＝CD，
∴△OCD等边三角形．
∴∠DOC＝60°．
∵点A，D都在⊙O上，
∴∠DAC＝∠DOC（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半），
∴∠DAC＝30°．
△ACD即为所求的三角形．
故答案为：90，（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）．
18．解：（Ⅰ）由表格可知，
该函数有最小值，当x＝0时，y＝﹣1，当x＝﹣1和x＝1时的函数值相等，
即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x＝0，顶点坐标为（0，﹣1），
设二次函数为y＝ax2﹣1，把x＝1，y＝1代入得，1＝a﹣1，解得a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝2x2﹣1；
（Ⅱ）把x＝﹣3代入y＝2x2﹣1得，y＝17；
∴m＝17，
故答案为17；
（Ⅲ）在直角坐标系中，画出这个函数的图象如图：
（Ⅳ）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，则平移后的二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2．
19．解：（1）∵每件衬衫降价x元，
∴每件衬衫的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件．
故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．
（2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x＝20．
答：每件衬衫应降价20元．
20．（1）证明：连接OE，如图所示，
∵点E是的中点，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵OA＝OE，
∴∠EAB＝∠OEA，
∴∠CAE＝∠OEA，
∴OE∥AD，
∴∠OEF＝∠AGE，
∵EF⊥AD，
∴∠AGE＝90°，
∴∠OEF＝∠AGE＝90°，
∴GF是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
∵∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（ASA），
∴BE＝DE，
∵点E是的中点，
∴BE＝CE，
∴CE＝DE；
（3）解：方法一：
∵∠AEO+∠OEB＝90°，∠OEB+∠BEF＝90°，
∴∠AEO＝∠BEF，
∵∠AEO＝∠OAE，
∴∠OAE＝∠BEF，
∵∠BFE＝∠EFA
∴△EFB∽△AFE，
∴，
∴，
∴AF＝2，
∴AB＝AF﹣BF＝2﹣1＝1，
∴⊙O的半径为．
方法二：设半径为x，则OF＝x+1，
在Rt△OEF中，，
解得x＝．
∴⊙O的半径为．
21．解：（1）直线y＝2x+4，当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，则2x+4＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∵抛物线y＝ax2+x+c点B（0，4），
∴c＝4，
把A（﹣2，0）代入y＝ax2+x+4，得4a﹣2+4＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式的解析式为y＝﹣x2+x+4．
（2）如图1，作MG⊥x轴于点G，交BC于点F，
抛物线y＝﹣x2+x+4，当y＝0时，则﹣x2+x+4＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴C（4，0），OC＝4，
设直线BC的解析式为y＝kx+4，
把C（4，0）代入y＝kx+4，
得4k+4＝0，
解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
设M（m，﹣m2+m+4），则F（m，﹣m+4），
∴MF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
∵S△MBC＝OG MF+CG MF＝OC MF，
∴S△MBC＝×4（﹣m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，S△MBC最大＝4，
∴点M标为（2，4）．
（3）如图2，在x轴上取点D（2，0），作射线BD交抛物线于另一点P，
∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵OB⊥AD，OA＝OD＝2，
∴AB＝DB，CD＝OC﹣OD＝4﹣2＝2，
∴∠OBA＝∠OBP，
∴∠PBC+∠OBA＝∠PBC+∠OBP＝∠OBC＝45°，
设直线BP的解析式为y＝nx+4，则2n+4＝0，
解得n＝﹣2，
∴y＝﹣2x+4，
由得，，
∴P（6，﹣8）；
如图2，作CE⊥x轴，使CE＝CD＝2，连接BE交抛物线于另一点P′，则E（4，2），
∵∠OCE＝90°，∠OCB＝45°，
∴∠BCE＝∠BCD＝45°，
∵BC＝BC，
∴△BCE≌△BCD（SAS），
∴∠P′BC＝∠PBC，
∴∠P′BC+∠OAB＝∠PBC+∠OBA＝45°，
设直线BP′的解析式为y＝rx+4，
则4r+4＝2，
解得r＝﹣，
∴y＝﹣x+4，
由得，，
∴P′（3，），
综上所述，点P的坐标为（6，﹣8）或（3，）．