2024-2025学年黑龙江省龙东地区高二上学期阶段测试（期中）数学试卷（三）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年黑龙江省龙东地区高二上学期阶段测试（期中）数学试卷（三）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 156.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-29 12:04:26 | ||
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文档简介
2024-2025学年黑龙江省龙东地区高二上学期阶段测试（期中）
数学试卷（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
2.若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为，则该椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
4.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则( )
A. B. C. D.
6.分别是抛物线和轴上的动点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.双曲线的左、右焦点为，，直线过点且平行于的一条渐近线，交于点，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆的方程为，圆的方程为，其中，那么这两个圆的位置关系可能为( )
A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切
10.已知曲线的方程为，则( )
A. 当时，曲线表示一个圆
B. 当时，曲线表示椭圆
C. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
D. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
11.已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是( )
A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，已知，，则的最小值是 ．
13.设、为双曲线：左、右焦点，且的离心率为，若点在的右支上，直线与的左支相交于点，且，则 ．
14.已知分别为椭圆的左右焦点，为上一点，则的离心率为 ，内切圆的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆经过点，且被直线平分．
求圆的一般方程；
设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．
16.本小题分
已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线．
求的方程；
不过点的直线与交于横坐标不相等的，两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点．
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
求直线到直线的距离；
求直线到平面的距离．
18.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，短轴长为，点在上
求椭圆 的标准方程；
已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值；
过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值．
19.本小题分
过双曲线常数上任意一点作轴，交轴于点，作轴，交轴于点，得到矩形，则它的面积，是与点位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线，并证明你的推广．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
直线恒过点．
因为圆恒被直线平分，
所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径，
所以圆的方程为，即．
设因为为线段的中点，所以，
因为点是圆上的动点，所以，
即，所以的轨迹方程为．
16.
因为动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，
所以动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线，
此时，
则曲线的方程为；
证明：设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
因为，
所以，
解得，
设点为的 中点，
此时，
所以直线的方程为，
令，
解得．
故点为定点，坐标为．
17.解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
因为，，
所以，即 ，
所以点到直线的距离即为直线到直线的距离．
，
，，
所以直线到直线的距离为．
因为 ， 平面， 平面，
所以 平面，
所以直线到平面的距离等于到平面的距离．
，，
设平面的一个法向量为，
则 即取，可得，
所以到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为．
18.解：依题意，，
且，解得，
所以椭圆的标准方程为；
由知，，而，
则，
周长
，
当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号，
所以周长的最大值为；
设直线的方程为，，
由 ，
消去得：，
显然，，
，
因此面积
，
令，
，
显然函数在上单调递增，
则当，即时，
取得最小值，
则，
所以当时，面积取得最大值．
19.推广结论：设是双曲线上任意一点，过点分别作渐近线的平行线、，并分别交渐近线于、，得到平行四边形，则平行四边形的面积是与点位置无关的常数．
证明：设，直线的方程为，
联立方程组，解得交点，
则，
点到的距离，
平行四边形的面积，
又因为点在双曲线上，所以，即，
所以，是与点位置无关的常数．
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数学试卷（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
2.若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为，则该椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
4.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则( )
A. B. C. D.
6.分别是抛物线和轴上的动点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.双曲线的左、右焦点为，，直线过点且平行于的一条渐近线，交于点，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆的方程为，圆的方程为，其中，那么这两个圆的位置关系可能为( )
A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切
10.已知曲线的方程为，则( )
A. 当时，曲线表示一个圆
B. 当时，曲线表示椭圆
C. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
D. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
11.已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是( )
A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，已知，，则的最小值是 ．
13.设、为双曲线：左、右焦点，且的离心率为，若点在的右支上，直线与的左支相交于点，且，则 ．
14.已知分别为椭圆的左右焦点，为上一点，则的离心率为 ，内切圆的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆经过点，且被直线平分．
求圆的一般方程；
设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．
16.本小题分
已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线．
求的方程；
不过点的直线与交于横坐标不相等的，两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点．
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
求直线到直线的距离；
求直线到平面的距离．
18.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，短轴长为，点在上
求椭圆 的标准方程；
已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值；
过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值．
19.本小题分
过双曲线常数上任意一点作轴，交轴于点，作轴，交轴于点，得到矩形，则它的面积，是与点位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线，并证明你的推广．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
直线恒过点．
因为圆恒被直线平分，
所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径，
所以圆的方程为，即．
设因为为线段的中点，所以，
因为点是圆上的动点，所以，
即，所以的轨迹方程为．
16.
因为动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，
所以动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线，
此时，
则曲线的方程为；
证明：设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
因为，
所以，
解得，
设点为的 中点，
此时，
所以直线的方程为，
令，
解得．
故点为定点，坐标为．
17.解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
因为，，
所以，即 ，
所以点到直线的距离即为直线到直线的距离．
，
，，
所以直线到直线的距离为．
因为 ， 平面， 平面，
所以 平面，
所以直线到平面的距离等于到平面的距离．
，，
设平面的一个法向量为，
则 即取，可得，
所以到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为．
18.解：依题意，，
且，解得，
所以椭圆的标准方程为；
由知，，而，
则，
周长
，
当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号，
所以周长的最大值为；
设直线的方程为，，
由 ，
消去得：，
显然，，
，
因此面积
，
令，
，
显然函数在上单调递增，
则当，即时，
取得最小值，
则，
所以当时，面积取得最大值．
19.推广结论：设是双曲线上任意一点，过点分别作渐近线的平行线、，并分别交渐近线于、，得到平行四边形，则平行四边形的面积是与点位置无关的常数．
证明：设，直线的方程为，
联立方程组，解得交点，
则，
点到的距离，
平行四边形的面积，
又因为点在双曲线上，所以，即，
所以，是与点位置无关的常数．
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