2024-2025学年安徽省合肥市部分学校2024—2025学年高一上学期第二次教学质量检测数学试题（含答案）

2024-2025学年安徽省合肥市部分学校2024—2025学年高一上学期第二次教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数与函数是同一函数的是( )
A. B. C. D.
3.若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. 或 D. 或
4.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.已知，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则( )
A. B. C. D.
7.已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为( )
A. B. 的不同子集的个数为
C. D.
8.若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”已知函数是“函数”，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.不等式的解集是，则下列选项正确的是( )
A. 且 B. 不等式的解集是
C. D. 不等式的解集是
10.已知全集，是的子集，当时，且，则称为的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是( )
A. 若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素
B. 若中不含孤立元素，则中最少有个元素
C. 若中元素均为孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个
D. 若中不含孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如设函数，则下列说法错误的是( )
A. 的图象关于轴对称 B. 的最大值为，没有最小值
C. D. 在上是增函数
12.已知函数，，，对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 ．
13.已知集合，若，且，则实数所取到的值为 或 ．
14.已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是 ．
15.已知集合，．
若，全集，试求；
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围；
16.已知函数．
若，，函数的最小值为，求的值；
若，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围；
当时，对，，若存在实数使得成立，求的最小值．
17.已知，且
求最大值
求最小值
若不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.已知方程
若，，求方程的解；
若对任意实数，方程恒有两个不相等的实数解，求实数的取值范围；
若方程有两个不相等的实数解，且，求的最小值．
19.若函数的定义域为集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数．
已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由：
已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
如果的图像关于原点对称，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：
解不等式得，，
解得，，
当时，，
，，
．
由可知，，
，，
实数的取值范围：．
由可知，，
，，，
实数的取值范围：．

16.解：
当，时，，
由题意得，函数的值域
时，不符合题意；
时，，即；
综上，．
因为，不等式转化为，
因为有四个整数解，
则必有两个不相等实数根，记为，且，
又因为当时，，
当时，，
的图象开口向上，对称轴为，所以，
故不等式的解集中的四个整数解为，所以，
所以，故．
因为当时，对，，
由题设，有，又，则，
又，，
故存在使成立，则，
所以，
令，则，，
令，则，且，
故，
当且仅当，即，，时，等号成立，
所以，即的最小值为．

17.解：
已知，且，
，，
当且仅当即，，取“”．
所以最大值为．
，
当且仅当，即，时取“”，
所以最小值为．
，
当且仅当，即，时取“”，
，解得，
所以实数的取值范围为．

18.解：
，时，，解得或；
，
故，所以，
其中，当且仅当时，等号成立，
故；
有两个不相等的实数解，
，
由韦达定理得，
故，所以，此时，
所以
，
因为，
所以，
令，其在上单调递增，故，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．

19.解：
是：因为，；
不是，反例：当时，．
由题意得，对于恒成立，
等价于，即对恒成立，
令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数，
要保证对恒成立，则，
即，解得，
所以满足题意的最小正整数为．
根据题意，当时，，当时，，
因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示：

所以
若是上的增长函数，则对任意的，都有，
因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示，

所以，解得，
所以实数的取值范围为．

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