2024-2025学年安徽省合肥市合肥一六八中学高一上学期第二次月考数学试题（含答案）

2024-2025学年安徽省合肥市合肥一六八中学高一上学期第二次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，若不是的子集，则下列说法正确的是( )
A. 对，都有 B. 对，都有
C. 存在，满足且 D. 存在，满足且
3.设函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
4.下列命题是真命题的为( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若，则
5.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，则的定义域为( )
A. B. C. D.
7.如图，水平放置的矩形中，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有以下判断，其中是正确判断的有( )
A. 与表示同一函数
B. 函数的图象与直线的交点最多有个
C. 与是同一函数
D. 若，则
10.不等式的解集是，则下列选项正确的是( )
A. 且
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集是
11.下列正确的有( )
A. 当时，的最小值是
B. 若，则的最大值与最小值之和为
C. 的最小值是
D. 当时，若，则的最小值为为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在区间的值域为 ．
13.函数在区间上单调递减，则实数取值范围是 ．
14.已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为实数，集合，．
若，求，；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
设函数．
若不等式的解集为，求的取值范围；
当时，求关于的不等式的解集；
对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润单位：万元与投入的月研发经费，单位：万元有关：当投入的月研发经费不高于万元时，；当投入月研发经费高于万元时，对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小．
求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值；
若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围．
18.本小题分
设函数，函数，，其中为常数，且，令函数为函数和的积函数．
求函数的表达式，并求其定义域；
当时，求函数的值域
是否存在自然数，使得函数的值域恰好为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由．
19.本小题分
已知集合为非空数集，对于集合，定义对中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，再次进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的次自相减集合”，集合的次自相加集合和次自相减集合分别可表示为：．
已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合并说明理由；
对中的集合进行次自相加操作后，求：集合的次自相加集合的元素个数；
若且，集合，，求：的最小值．
参考答案
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15.解：当时，，
所以；
，
所以或；
因为，
所以当时，则有，解得；
当时，或
解得或，
综上，或，
所以实数的取值范围为或．

16.解：当时，，此时的解集为，成立；
当时，不等式的解集为，
则，解得，
综上所述，即；
，即为，
当时，，解得，即；
当时，即为，
对应方程的解为，，
当时，不等式为，且，不等式的解集为或，即；
当时，不等式为，且，不等式的解集为，即；
当时，，不等式为，解得，即；
当时，不等式为，且，不等式的解集为，即，
综上所述：
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
由已知对任意的，不等式恒成立，
即恒成立，即，
又是，恒成立，
则，
又，则，当且仅当时等号成立，
综上所述．

17.解：由已知，当时，
，
当且仅当，即时取等号；
当时，，
在上单调递减，．
，
当月研发经费为万元时，研发利润率取得最大值；
由可知，此时月研发经费，
于是，令，整理得，
解得：．
因此，当研发利润率不小于时，月研发经费的取值范围是．
18.解：，定义域为
，设
根据双勾函数性质知函数在单调递增，故，故值域为
存在；根据知，，
根据双勾函数性质知函数在单调递增，上单调递减．
当时，且时，函数的值域恰好为
故，构成的集合为

19.解：是完美自相加集合，不是完美自相加集合理由如下：
集合，由此可知集合自相加后，
新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和，
所以显然集合的最小两个元素为，所以的最小元素为
对集合进行任意次自相加操作后，最小值在变大，
故不可能有相等集合，所以是完美自相加集合；
集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数，
所以，为所有偶数构成集合；
所以对再进行一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数，
故后面集合不管进行多少次相加都是与相同；
故不是完美自相加集合；
由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加，
得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，
得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；
所以对集合进行一次自相加之后，
得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第十一次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
因为集合元素都是连续的整数，
所以集合进行次自相加操作后的元素个数为；
因为且，集合
所以
要使
则，又因为
故的最小值为．

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