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2024-2025华师大版八年级上册期中真题实战卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣a+b）（a﹣b） B．（x+2）（2+x）
C．（ +y）（y﹣ ） D．（x﹣2）（x+1）
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，6cm D．5cm，6cm，7cm
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．9的算术平方根是3 B． 的平方根是±2
C．27的平方根是±3 D．立方根等于-1的实数是-1
4．若 ，则m+n的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．估计 的值在两个整数（ ）
A．3与4之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．28与30之间
6．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，添加下列条件后，仍无法判定△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD＝CD B．∠BAD＝∠CAD
C．∠B＝∠C D．∠ADB＝∠ADC
7．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+9=（x+3）2 B．a2+2a+4=（a+2）2
C．a3-4a2=a2（a-4） D．1-4x2=（1+4x）（1-4x）
8．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．25° B．25°或40° C．30°或40° D．50°
9．如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°
10．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形.点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
11．一位无线电爱好者把天线杆设在接收效果最佳的矩形屋顶之上．然后，他从杆顶到屋顶四角之间安装固定用的支撑线．有两根相对的支撑线分别长7米和4米，另一根长1米，则最后一根的长度应为（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
12．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．-0.008的立方根是 ．
14．若n为正整数，且n<15．分解因式： = .
16．在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使 ，再分别以点A，B为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为 ，则a的值为 ．
17．如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，则以下结论：①BE=CG；②DF=DH；③BH=CF；④AF=CH．其中正确的是 .
18．若 ， ， ，则 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
例如：如果ab<0，那么a+b<0．
反例：设a=4，b=-3，ab=4 （-3）=-12<0，而a+b=4+（-3）=1>0，所以这个命题是假命题．
（1）如果a+b>0，那么ab>0．
（2）如果a是无理数，b也是无理数，那么a+b也是无理数．
20．把下列多项式分解因式：
（1）
（2）
21．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
22．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．
23．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)
（1）观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为 ；
（2）若每块小长方形的面积为10
cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
24．如图(1)， ，.点P在线段AB上以 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为 .
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 时， 与 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图(2)，将图(1)中的“ ，”为改“”，其他条件不变.设点Q的运动速度为 ，是否存在实数x，使得 与 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由.
25．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图（1））．令△ABD不动，
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图（2）），证明：MB=MC．
（2）若将图（1）中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图（3）），判断MB、MC的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图（4）），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由.
26．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；
②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2=5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值．
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2024-2025华师大版八年级上册期中真题实战卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣a+b）（a﹣b） B．（x+2）（2+x）
C．（ +y）（y﹣ ） D．（x﹣2）（x+1）
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、两个二项式中没有完全相同的项，故不可以使用平方差公式进行计算，错误；
B、两个二项式中，所有的项都是完全相同的，故不可以使用平方差公式进行计算，错误；
C、两个二项式中，有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同，故可以使用平方差公式进行计算，正确；
D、两个二项式中，有一项完全相同，剩下的一项不只有符号不同，故不可以使用平方差公式进行计算，错误.
故答案为：C.
【分析】两个二项式相乘，如果这两个二项式满足有一项完全相同，剩下的一项只有符号不同，那么这两个二项式相乘即可利用平方差公式进行计算.
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，6cm D．5cm，6cm，7cm
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、22+32≠42，故此选项错误；
B、32+42=52，故此选项正确；
C、42+52≠62，故此选项错误；
D、52+62≠72，故此选项错误；
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，在一个三角形中如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．9的算术平方根是3 B． 的平方根是±2
C．27的平方根是±3 D．立方根等于-1的实数是-1
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、9的算术平方根是3，不符合题意；
B、 ， 的平方根是±2，不符合题意；
C、27的平方根是 ，故本选项符合题意；
D、立方根等于－1的实数是－1，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据平方根、算术平方根及立方根的定义进行各项的判断即可．
4．若 ，则m+n的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵ ， ，且
∴
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法计算即可。
5．估计 的值在两个整数（ ）
A．3与4之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．28与30之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】 ，
∴ ，
的值在5与6之间．
故答案为：B．
【分析】直接利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案．
6．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，添加下列条件后，仍无法判定△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD＝CD B．∠BAD＝∠CAD
C．∠B＝∠C D．∠ADB＝∠ADC
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：因为AB=AC，AD=AD，
A.根据SSS即可推出△ABD≌△ACD，故不符合题意；
B.根据SAS即可推出△ABD≌△ACD，故不符合题意；
C.不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故符合题意；
D.根据∠ADB=∠ADC可得∠ADB=∠ADC=90°，然后根据HL即可推出△ABD≌△ACD，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用等边对等角，可证∠B=∠C，两三角形的条件有AB=AC，AD=AD，∠B=∠C，再利用全等三角形的判定定理，对各选项逐一判断，即可得出无法判定△ABD≌△ACD的选项。
7．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+9=（x+3）2 B．a2+2a+4=（a+2）2
C．a3-4a2=a2（a-4） D．1-4x2=（1+4x）（1-4x）
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】A、B无法进行因式分解；C符合题意；D、原式=（1+2x）（1－2x）
【分析】分解因式首选的步骤是提公因式法，然后根据多项式的项数灵活选用方法：当多项式是二项式的时候，一般利用平方差公式法，不过这个二项式需要满足：两项的符号相反，且每一项都能写成一个整式的平方；当这个多项式是三项式，一般用完全平方公式法，但这个三项式需要满足：有两项能写成一个整式的平方，且这两项的符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数积的2倍，根据特点即可一一判断。
8．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）
A．25° B．25°或40° C．30°或40° D．50°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝25°．
故答案为：B．
【分析】根据题意分两种情况：50°为底角和50°为顶角，分别画出图形求解即可．
9．如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点D作 ，
如图，DF=DF′=DE；
∵BD平分∠ABC，
，
，
△BDE≌△BDF，
∴∠DFB=∠DEB；
∵DE∥AB，∠ABC=40°，
∴∠DEB=180° 40°=140°；
∴∠DFB=140°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=40°.
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥BC，DG⊥AB，由角平分线的性质可得DG=DH，证明△FDG≌△EDH，△BDG≌△BDH，得到GF=EH，BG=BH，进而推出BF=BE，证明△BDE≌△BDF，得到∠DFB=∠DEB，由平行线的性质可得∠DEB=140°，则∠DFB=140°；当点F位于点F′处时，DF=DF′，由等腰三角形的性质可得∠DF′B的度数.
10．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形.点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：若以AB为底组成等腰三角形，则点C在AB中垂线上且在格点上，满足条件的点C有5个.如图：
若以AB为腰组成等腰三角形，则满足关于格线与AB成轴对称的线段共有4条，即点C共有4个.如图：
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，分以AB为底组成等腰三角形，则点C在AB中垂线上且在格点上，若以AB为腰组成等腰三角形，则满足关于格线与AB成轴对称的线段，综上所述就可得出答案.
11．一位无线电爱好者把天线杆设在接收效果最佳的矩形屋顶之上．然后，他从杆顶到屋顶四角之间安装固定用的支撑线．有两根相对的支撑线分别长7米和4米，另一根长1米，则最后一根的长度应为（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图（1），矩形ABCD中，存在AP2+CP2=BP2+DP2；
如图（2），存在直角三角形：△APF，△BPF，△CPF，△DPF．
于是有FD2-PF2+BF2-PF2=AF2-PF2+FC2-FP2；
整理得PD2+BF2=AF2+FC2；
于是72+42=12+FC2；
解得FC=8．
故答案为：A
【分析】根据矩形内任意一点到相对的两个顶点的距离的平方和相等，即如图（1），矩形ABCD中，存在AP2+CP2=BP2+DP2；如图（2），存在直角三角形：△APF，△BPF，△CPF，△DPF，于是有FD2-PF2+BF2-PF2=AF2-PF2+FC2-FP2，整理得PD2+BF2=AF2+FC2，从而代入值即可算出答案。
12．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如上图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．
因为S△ABC=1.5，
所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．
故选B．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰；然后根据S△ABC=1.5，再确定点C的位置．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．-0.008的立方根是 ．
【答案】-0.2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵(-0.2)3=-0.008，
∴-0.008的立方根是-0.2。
故答案为：-0.2.
【分析】如果x3=a，那么x叫做a的立方根。
14．若n为正整数，且n<【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】
解：∵
即：
∴ n=3
故答案为：3.
【分析】本题考查根式的估算，找出根式前后的平方数，可得范围。
15．分解因式： = .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】观察代数式的特点，利用平方差公式分解即可。
16．在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使 ，再分别以点A，B为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为 ，则a的值为 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：
由作法可知点P在 的平分线上，故横坐标与纵坐标相等，
∵点P的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【分析】由作法可知点P在 的平分线上，故横坐标与纵坐标相等，可得，求出a的值即可。
17．如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，则以下结论：①BE=CG；②DF=DH；③BH=CF；④AF=CH．其中正确的是 .
【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：连接CD
∵D为等腰直角三角形ABC斜边AB上的中点
∴BD=DC，∠B=∠DCA=45°
∵∠BDC=∠EDH=90°
∴∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDH
∴∠BDE=∠CDH
∴△DBE≌△DCG
∴DE=DG，BE=CG，即①正确；
∵∠F+∠DEC=∠H+∠DEC=90°
∴∠F=∠H
∵∠FDG=∠HDE=90°
∴△DCH≌△DAF
∴FG=HE，DF=DH，即②正确
∴FG+GC=HE+BE
∴FC=BH，即③正确
∵BC=AC
∴BH-BC=CF-AC
即AF=CH，即④正确。
【分析】根据题意，由全等三角形的判定和性质，分别判断得到答案即可。
18．若 ， ， ，则 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】由题意得：a-b=－1，b-c=-1，a-c=-2．
a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc） （a﹣b）2 （a﹣c）2 （b﹣c）2= = =3．
故答案为：3．
【分析】先求出a-b，b-c，a-c的值，由a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc） （a﹣b）2 （a﹣c）2 （b﹣c）2，即可求解．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
例如：如果ab<0，那么a+b<0．
反例：设a=4，b=-3，ab=4 （-3）=-12<0，而a+b=4+（-3）=1>0，所以这个命题是假命题．
（1）如果a+b>0，那么ab>0．
（2）如果a是无理数，b也是无理数，那么a+b也是无理数．
【答案】（1）解：取a=2，b=-1，则a+b=1＞0，但ab=-2＜0．所以此命题是假命题．
（2）解：取a=1+ ，b=1- ，a、b均为无理数．但a+b=2是有理数，所以此命题是假命题．
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】根据假命题的定义及举反例进行作答即可。
20．把下列多项式分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
原式＝
（2）解：原式＝
＝x(x＋2)(x－2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）提取公因式发分解因式，提取出多项式的公因式3x（2）先提取公因式x，然后进行观察，得出x2-4是一个平方差公式，然后利用平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解得出值
21．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【答案】（1）解：由题意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得，a＝1；
（2）解：当a＝1时，a+6＝1+6＝7，
∴m＝72＝49；
（3）解：x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
【知识点】平方根
【解析】【分析】（1）根据平方根的定义可得 a+6+2a﹣9＝0， 求出a的值即可；
（2）将a的值代入a+6，再将其平方可得答案；
（3）将a的值代入方程，再利用平方根求解即可。
22．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．
【答案】（1）解：AC∥EF．理由：
∵∠1＝∠BCE，
∴AD∥CE．
∴∠2＝∠4．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠4+∠3＝180°．
∴EF∥AC．
（2）解：∵AD∥EC，CA平分∠BCE，
∴∠ACD＝∠4＝∠2．
∵∠1＝72°，
∴∠2＝36°．
∵EF∥AC，EF⊥AB于F，
∴∠BAC＝∠E＝90°．
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2
＝54°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由 ∠1＝∠BCE， 得出直线AD与EC平行，得出 ∠2＝∠4． 再由 ∠2+∠3＝180°， 判断出AC与EF的位置关系；
（2）由（1）的结论及垂直可得出 ∠BAC 的度数，再由平行线及角平分线的性质得出 ∠2 的度数，利用角的和差关系即可得出答案。
23．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)
（1）观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为 ；
（2）若每块小长方形的面积为10
cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
【答案】（1）(m＋2n)(2m＋n)
（2）解：依题意得：2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29．
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn=49，
∴m+n＝7，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为6m+6n=6(m+n)=6×7=42cm．
【知识点】列式表示数量关系；因式分解的应用
【解析】【解答】解：(1)2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
故答案为（m+2n）（2m+n）；
【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）求出m+n的值，然后根据图象由正方形的性质和长方形的性质即可得出结论；
24．如图(1)， ，.点P在线段AB上以 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为 .
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 时， 与 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图(2)，将图(1)中的“ ，”为改“”，其他条件不变.设点Q的运动速度为 ，是否存在实数x，使得 与 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当 时，
又
在 和 中，
，
即线段 与线段 垂直.
（2）解：①若
则
解得
②若
则
解得
综上所述，存在 或 使得 与 全等.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据“SAS”可证△ACP≌△BPQ，可得∠ACP=∠BPQ，从而可得∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，据此即可求出结论；
（2）分两种情况讨论①当△ACP≌△BPQ，②当△ACP≌△BQP，利用全等三角形的对应边相等，建立方程组，求出x、t的值即可.
25．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图（1））．令△ABD不动，
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图（2）），证明：MB=MC．
（2）若将图（1）中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图（3）），判断MB、MC的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图（4）），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由.
【答案】（1）解：如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.
∵MD=ME，
∴∠MAD=∠MAE，
∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，
即∠BAM=∠CAM.
在△ABM和△ACM中，
AB=AC，
∠BAM=∠CAM，
AM=AM，
∴△ABM≌△ACM（SAS），
∴MB=MC
（2）解：MB=MC．理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.∵CE∥BD，∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.∵M是ED的中点，∴MD=ME.在△MCE和△MFD中，∠MCE=∠MFD，∠MEC=∠MDF，MD=ME，∴△MCE≌△MFD（AAS）.∴MF=MC.∴在△MFB和△MCG中，MF=MC，∠FMB=∠CMG，BM=MG，∴△MFB≌△MCG（SAS）.∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.∴∠GCB=90°.在△FBC和△GCB中，FB=GC，∠FBC=∠GCB，BC=CB，
∴△FBC≌△GCB（SAS）.
∴FC=GB.
∴MB= GB= FC=MC
（3）解：MB=MC还成立．如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.∵CE∥BD，
∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.
又∵M是DE的中点，∴MD=ME.在△MDB和△MEF中，∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，MD=ME，
∴△MDB≌△MEF（AAS），
∴MB=MF.
∵CE∥BD，∴∠FCM=∠BGM.在△FCM和△BGM中，
CM=MG，
∠CMF=∠GMB，MF=MB，
∴△FCM≌△BGM（SAS）.
∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.
∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上.在△CFB和△BGC中，CF=BG，∠FCB=∠GBC，CB=BC，
∴△CFB≌△BGC（SAS）.
∴BF=CG.
∴MC= CG= BF=MB．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得出AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE，根据等腰三角形的三线合一得出∠MAD=∠MAE，根据等式的性质得出∠BAM=∠CAM.然后利用SAS判断出△ABM≌△ACM，根据全等三角形的对应边相等得出MB=MC；
（2）MB=MC．理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.根据平移的性质得出CE∥BD，根据二直线平行内错角相等得出∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD，然后利用AAS判断出△MCE≌△MFD，根据全等三角形的对应边相等得出MF=MC，再利用判断出△MFB≌△MCG，根据全等三角形的性质得出FB=GC，∠MFB=∠MCG，根据内错角相等两直线平行得出CG∥BD，进而根据过直线外一点有一条而且只有一条直线平行于已知直线得出G、C、E在同一条直线上.再利用SAS判断出△FBC≌△GCB，根据管等三角形的性质得出FC=GB，从而得出答案；
（3）MB=MC还成立．如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.根据平移的性质得出CE∥BD，根据二直线平行内错角相等得出∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用AAS判断出△MDB≌△MEF，根据全等三角形的性质得出MB=MF.再利用SAS判断出△FCM≌△BGM，根据全等三角形的性质得出CF=BG，∠FCM=∠BGM.根据内错角相等两直线平行得出CE∥BD，进而根据过直线外一点有一条而且只有一条直线平行于已知直线得出G、B、D在同一条直线上.再利用SAS判断出△FBC≌△GCB，根据管等三角形的性质得出BF=CG，从而得出答案.
26．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；
②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2=5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值．
【答案】（1）解：（a+b）2，a2+b2+2ab
（2）解：（a+b）2=a2+2ab+b2
（3）解：①∵a+b=5，
∴（a+b）2=25，
∴a2+b2+2ab=25，
又∵a2+b2=11，
∴ab=7；
② 设2018﹣a=x，a﹣2017=y，则x+y=1，
∵（2018﹣a）2+（a﹣2017）2=5，
∴ x2+y2=5，
∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
∴xy= =﹣2，
即（2018﹣a）（a﹣2017）=﹣2．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）由边长的平方可得面积为（a+b）2，由四个图形的面积和得到的面积为a2+b2+2ab；（2）两种形式所表示的面积相等，所以有（a+b）2=a2+b2+2ab；（3）对完全平方公式变形后可得（a+b）2-（a2+b2）=2ab，代入相关代数式的值即可求得ab的值； 设2018﹣a=x，a﹣2017=y后用换元法将所求代数式化为完全平方公式即可得到所给代数式的值.
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