中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025华师大版九年级上册期中提分冲刺卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．和 B．和 C．或 D．和
2．一元二次方程5x2﹣3x＝x+1化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1 B．a＝5，b＝4，c＝1
C．a＝4，b＝﹣5，c＝1 D．a＝﹣5，b＝4，c＝﹣1
3．用配方法解方程，下面配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91.设每个支干长出 个分支，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
5．在一只暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以推算a大约是（ ）
A．15 B．12 C．9 D．4
6．在 中， ＝ ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．昭通苹果以其香甜可口闻名全国，我省某水果批发商以每千克5元的价格对外批发昭通苹果，每到秋收季节，为了减少库存，决定对苹果降价销售，经过两次降价后，批发价为每千克3.2元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，则点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（3， ） C．（3， ） D．（2， ）
9．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°.在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧 上.则半径OA的长为（ ）
A． B．2 C． D．
10．在平面直角坐标系中，点A（-3，3），B（-4，1），C（-2，1），点M（2，m）绕坐标原点O逆时针旋转90°后，恰好落在△ABC内部（不包括边界），则m的取值范围为（ ）
A． C． 11．如图是一个装置的示意图，其中圆形吊舱初始位置与水平横杆 、卡槽 相切.水平横杆 米， 米，吊舱半径为10米.放开挡板 后，吊舱沿着水平横杆 向点A方向匀速平移，平移速度是每秒1米.从放开挡板，直至吊舱触碰竖直放置的 为止（ ），吊舱平移的时间为（ ）
A．30秒 B．40秒 C．50秒 D．60秒
12．如图，在反比例函数 的图象上有一动点A，连接并AO延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数 的图象上运动，若 ，则k的值为
A．－3 B．－6 C．－9 D．－12
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么线段的长度等于 .
14．如果，那么＝ ．
15．已知：，则k＝ ．
16．如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为 ．
17．如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点从的直线与曲线相交于点M、N．若的面积为3，则 ．
18．如图，半径为6cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为 cm2
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，在 中， ， ， ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求证： ．
20．解方程：
（1）x2+2x-1=0
（2）x(x-3)=x-3.
21．如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
（1）求证：△HCD∽△HDB．
（2）求DH长度．
22．小明和小王在玩数学游戏，袋子中装有四张分别标上数字2，3，4，5的卡片（卡片除数字外其余都相同），先抽取一张卡片记录下所标数字，不放回再抽取一张．
（1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能结果．
（2）求两次抽到卡片上的数字之和是7的概率．
（3）双方约定规则：若两次抽到的数字之和为奇数，小明胜；若两数之和为偶数，则小王胜．该游戏规则对双方是否公平，请说明理由．
23．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程 的根，求m的值．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，点P从点C出发沿线段CA以每秒2cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段BC以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）填空：AB＝ cm；
（2）t为何值时，△PCQ与△ACB相似；
（3）如图2，以PQ为斜边在异于点C的一侧作Rt△PEQ，且 ，连结CE，求CE．（用t的代数式表示）．
25．暑假是旅游旺季，为吸引游客，某旅游公司推出两条“精品路线”——“亲子游”和“夏令营”.（1）7月份，“亲子游”和“夏令营”活动的价格分别为8000元/人和12000元/人.其中，参加“夏令营”活动的游客人数为“亲子游”活动游客人数的2倍少300人，且“夏令营”线路的旅游总收入不低于“亲子游”线路旅游总收入的一半，
问：
（1）参加“亲子游”线路的旅游人数至少有多少人？
（2）到了8月份，该旅游公司实行降价促销活动，“亲子游”和“夏令营”线路的价格分别下降 和 (a<20)，旅游人数在7月份对应最小值的基础上分别上升 和 ,当月旅游总收入达到256.32万元，求a
26．如图1，在 中， ， ，点 在边 上，连接 ，过 作 的垂线交 的延长线于点 ．
（1）若 ， 分别为线段 ， 的中点，如图1，求证： ；
（2）如图2，过点 作 交 于点 ，求证： ；
（3）如图3，以 为一边作一个角等于 ，这个角的另一边与 的延长线交于 点， 为 的中点，连接 ，求证： ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025华师大版九年级上册期中提分冲刺卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．和 B．和 C．或 D．和
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由方程可知：二次项系数为2，一次项系数为-3；
故答案为：B．
【分析】一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a是二次项系数，b是一次项系数，c为常数项，据此解答即可.
2．一元二次方程5x2﹣3x＝x+1化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）后，a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1 B．a＝5，b＝4，c＝1
C．a＝4，b＝﹣5，c＝1 D．a＝﹣5，b＝4，c＝﹣1
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程5x2﹣3x＝x+1化为一般形式ax2+bx+c＝0后，
得5x2﹣4x﹣1＝0，
则a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1.
故答案为：A.
【分析】将等号右边的式子移至左边，并整理可得5x2-4x-1＝0，据此可得a、b、c的值.
3．用配方法解方程，下面配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+6x+7=0，
∴x2+6x=-7，
∴x2+6x+9=-7+9，
∴（x+3）2=2．
故答案为：B．
【分析】利用配方法求解一元二次方程即可。
4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91.设每个支干长出 个分支，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意主干为1，长出x数量的支干，此时数量为1+x，而每个支干又长出x个小分支，所以分支的数量为x2，所以 .
故答案为：A.
【分析】主干有1个，再长出x个支干，所以此时数量为（1+x），每个支干又长出x个小分支，所以分支的数量为x2，所以加起来即可得到总数91，列出方程即可解决.
5．在一只暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以推算a大约是（ ）
A．15 B．12 C．9 D．4
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵摸到红球的频率稳定在20%，
∴摸到红球的概率为20%，
而a个小球中红球只有3个，
∴摸到红球的频率为．解得．
故答案为：A．
【分析】根据频率估计概率，再根据概率的运用即可得出答案。
6．在 中， ＝ ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：
在 中， ，可设BC=5k，AB=13k．
由勾股定理可求得 ．
所以， ．
故答案为：D．
【分析】根据 ，可设BC=5k，AB=13k，再利用勾股定理可得，再利用余弦的定义可得。
7．昭通苹果以其香甜可口闻名全国，我省某水果批发商以每千克5元的价格对外批发昭通苹果，每到秋收季节，为了减少库存，决定对苹果降价销售，经过两次降价后，批发价为每千克3.2元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：5（1 x）2＝3.2，
故答案为：C．
【分析】根据题意求出5（1 x）2＝3.2，即可作答。
8．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，则点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（3， ） C．（3， ） D．（2， ）
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM，
又∵∠AEO=∠CMO=90°，
∴△AEO∽△OMC，
∴ ，
∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN=CM．
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，
∴BN ，
∴CM ，
∴ ，
∴MO=3，
∴点C的坐标是：（3， ）．
故答案为：B．
【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝ ，MO＝3，进而得出答案．
9．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°.在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧 上.则半径OA的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连结OF，作FG⊥OB于点G，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ODE+∠FDG＝90°，
∵∠DFG+∠FOG＝90°，
∴∠DFG＝∠ODE，
∵∠EOD＝∠DGF＝90°，
∴△EOD∽△DGF，
∴ ，
设DE＝10x，OD＝10y，则DG＝9x，FG＝9y，
∵OE2+OD2＝ED2，
∴（10x）2+（10y）2＝102，
∴x2+y2＝1，
∵DO＝2BD，
∴BD＝5y，
∴OF＝OB＝15y，
∵OG2+FG2＝OF2，
∴（10y+9x）2+（9y）2＝（15y）2，
整理得180xy＝125y2﹣81，
∴（180xy）2＝（125y2﹣81）2，
∴32400（1﹣y2） y2＝15625y4+20250y2+6561，
整理得：48025y4﹣52650y2+6561＝0，
解得： 或 ，
∵BD＞DG，
∴5y＞9x＞0，
即（5y）2＞（9x）2，
当 时， ， ， ，
∴ （舍去），
∴ ，
∴ ，
∴＝ .
故答案为：D.
【分析】连接OF，作FG⊥OB于点G，由同角的余角相等可得∠DFG＝∠ODE，证明△EOD∽△DGF，设DE＝10x，OD＝10y，则DG＝9x，FG＝9y，在Rt△ODE中，由勾股定理可得x2+y2＝1，由DO=2BD可得BD=5y，则OF＝OB＝15y，在Rt△OFG中，应用勾股定理可得180xy＝125y2-81，联立x2+y2＝1可得y2，根据BD>DG可得(5y)2＞(9x)2，然后对求出的y进行取舍，进而可得AO的值.
10．在平面直角坐标系中，点A（-3，3），B（-4，1），C（-2，1），点M（2，m）绕坐标原点O逆时针旋转90°后，恰好落在△ABC内部（不包括边界），则m的取值范围为（ ）
A． C． 【答案】A
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，
则A'（3，3），B'（1，4），C'（1，2），
∴直线A'B'的解析式为y=-x+，直线A'C'的解析式为y=x+，
设直线x=2与△A'B'C'的边交于点D、E，
令x=2，y=-x+=，y=x+=，
∴当点M（2，m）在线段DE上（不含端点）时， 故答案为：A.
【分析】作出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的图形△A'B'C'，然后利用待定系数法求出直线A'B'和直线A'C'的解析式，设直线x=2与△A'B'C'的边交于点D、E，然后求出当x=2时两个一次函数值，端点除外，即可得到求出m的范围.
11．如图是一个装置的示意图，其中圆形吊舱初始位置与水平横杆 、卡槽 相切.水平横杆 米， 米，吊舱半径为10米.放开挡板 后，吊舱沿着水平横杆 向点A方向匀速平移，平移速度是每秒1米.从放开挡板，直至吊舱触碰竖直放置的 为止（ ），吊舱平移的时间为（ ）
A．30秒 B．40秒 C．50秒 D．60秒
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，圆形吊舱初始位置与水平横杆 、卡槽 相切时的圆心为F，切点分别为P，O，连接FP，FO，CF，延长CF交AB于点G，则∠FPC=∠FOC=90°，
∵FP=FO，FC=FC，
∴△FPC≌△FOC，
∴∠PCF=∠OCF，
过点G作GH⊥BC，垂足为H，
∵GA⊥AC，
∴GA=GH，
在直角三角形ABC和直角三角形BGH中，
∵AB=60，AC=80，
∴tanB= ，
设GH=4k，则BH=3k，BG= =5k，
GA=4k，
∴AB=60=BG+GA=4k+5k=9k，∴k= ，∴GA= ，
过点F作FM∥AC，交AB于点M，圆心F运动到点Q停止，此时与AC切于点N，与AB切于点M，连接QN，
∵∠A=∠QMA=∠QNA=90°，∴四边形AMQN是矩形，
∵QM=QN，∴四边形AMQN是正方形，
∴MA=MQ=10，MG=GA-MA= -10= ，
∵FM∥AC，
∴△GMF∽△GAC，
∴ ，
∴ ，
∴QF=40，
∵∠QNP=∠NPF=∠NQF=90°，∴四边形NQFP是矩形，
∴NP=QF=40，
∴运动时间40÷1=40（秒）
故答案为：B.
【分析】圆形吊舱初始位置与水平横杆AC、卡槽BC相切时的圆心为F，切点分别为P，O，连接FP，FO，CF，延长CF交AB于点G，则∠FPC=∠FOC=90°，证明△FPC≌△FOC，得到∠PCF=∠OCF，过点G作GH⊥BC，垂足为H，得到GA=GH，求出∠B的正弦函数值，设GH=4k，则BH=3k，则BG=5k，GA=4k，表示出AB，根据AB=60可得k的值，得到GA，过点F作FM∥AC，交AB于点M，圆心F运动到点Q停止，此时与AC切于点N，与AB切于点M，连接QN，则四边形AMQN是正方形，证明△GMF∽△GAC，由相似三角形的性质求出QF，然后根据矩形的性质可得NP=QF=40，据此解答.
12．如图，在反比例函数 的图象上有一动点A，连接并AO延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数 的图象上运动，若 ，则k的值为
A．－3 B．－6 C．－9 D．－12
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，过点A作 轴于点E，过点C作 轴于点F，
∵直线AB过点O，点A、B在反比例函数y= 的图像上，
∴点A、B点关于O点对称，
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴ = = ，
∵tan∠CAB= =2，
∴ = = = ，
∴CF=2AE，OF=2OE．
又∵= ，
，
∴k=±6．
∵点C在第二象限，
∴k=-6，
故答案为：B．
【分析】连接OC，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，通过同角的余角相等得出 ，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由 ，可得出 的值，进而得到k的值．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么线段的长度等于 .
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割的定义，得
，
解得：MP= （负根舍去）。
故答案为： 。
【分析】根据黄金分割的定义或黄金比求解。黄金比为：.
14．如果，那么＝ ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：化简为：2b=3（a-b）
2b=3a-3b
5b=3a
即：
【分析】根据比例的性质变形求解即可。
15．已知：，则k＝ ．
【答案】2或-1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：此题要分情况考虑：
当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，得k＝＝2；
当x+y+z＝0时，即x+y＝-z，则k＝-1，
故答案为：2或-1．
【分析】分两种情况：当x+y+z≠0时，根据比例的等比性质求解；当x+y+z＝0时，即得x+y＝-z，继而得解.
16．如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解： ，
∴，
又，
，
，
，，
，
，
，
，
，
由勾股定理可得：，
即，
解得：，
．
．
如图，过点作轴于点，
，
设，，
，
，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解．
∴，，
点坐标为：．
故答案为：．
【分析】先求出，过点作轴于点，设，，则，所以，求出m的值，即可得到点C的坐标。
17．如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点从的直线与曲线相交于点M、N．若的面积为3，则 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，，过作轴于，过作轴于，
点，，，，
，，
，，
同理得：，，
，
，
函数在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转，
建立新的坐标系：为轴，为轴，
则旋转后的函数解析式为：，
在新的坐标系中，，，
设直线的解析式为：，
则，解得，
直线的解析式为：，
设，，，，
由得：，
，，
，
整理得，
，
，
，
，
；
故答案为：4．
【分析】连接，，过作轴于，过作轴于，由题意可得，，根据两点间距离公式可得，，同理得：，，则，再根据旋转性质建立新的坐标系：为轴，为轴，则旋转后的函数解析式为：，设直线的解析式为：，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得直线的解析式为：，设，，，，联立直线与反比例函数解析式得一元二次方程，根据根与系数的关系可得，，再根据三角形面积可得，配方，整体代入即可求出答案.
18．如图，半径为6cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为 cm2
【答案】
【知识点】轴对称的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，
∵△DBF的轴对称图形△CAG，
由于C、D为直径AB的三等分点，则H与点C重合
∴△ACG≌△BDF，
∴∠ACG=∠BDF=60°，
∵∠ECB=60°，
∴G、C、E三点共线，
∵AM⊥CG，ON⊥CE，
∴AM∥ON，
∴，
在Rt△ONC中，∠OCN=60°，
∴ON=sin∠OCN OC= OC，
∵OC=OA-AC=6-12÷3=2，
∴ON=，
同理：AM=，
∵ON⊥GE，
∴NE=GN=GE，
连接OE，
在Rt△ONE中，NE=，
∴GE=2NE=，
∴S△AGE=GE AM=，
∴图中两个阴影部分的面积和为.
故答案为：.
【分析】如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，判断出G、C、E三点共线，根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行，可得AM∥ON，根据平行线分线段成比例定理得，由ON=sin∠OCN OC求出ON，同理求出AM，根据垂径定理得NE=GN=GE，连接OE，利用勾股定理算出NE，从而即可得出GE，进而根据三角形面积计算公式即可得出答案.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，在 中， ， ， ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求证： ．
【答案】（1）解：设 ，则
∵ ，
∴
解得
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴
即 ．
∴ ．
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例进行解答即可。
20．解方程：
（1）x2+2x-1=0
（2）x(x-3)=x-3.
【答案】（1）解：
解得：
（2）解：
故 或
解得：
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程。
（2）利用因式分解法解一元二次方程。
21．如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
（1）求证：△HCD∽△HDB．
（2）求DH长度．
【答案】（1）证明：∵DH∥AB，
∴∠A=∠HDC，
∵∠CBD=∠A，
∴∠HDC=∠CBD，又∠H=∠H，
∴△HCD∽△HDB；
（2）解：∵DH∥AB，
∴ ，
∵AC=3CD，
∴ ，
∴CH=1，
∴BH=BC+CH=3+1=4，
由（1）知△HCD∽△HDB，
∴ ，
∴DH2=4×1=4，
∴DH=2（负值舍去）．
答：DH的长度为2．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两个角对应相等即可证明△HCD∽△HDB；（2）根据DH∥AB，AC=3CD，对应线段成比例可得CH=1，再结合（1）△HCD∽△HDB，对应边成比例即可求出DH的长度．
22．小明和小王在玩数学游戏，袋子中装有四张分别标上数字2，3，4，5的卡片（卡片除数字外其余都相同），先抽取一张卡片记录下所标数字，不放回再抽取一张．
（1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能结果．
（2）求两次抽到卡片上的数字之和是7的概率．
（3）双方约定规则：若两次抽到的数字之和为奇数，小明胜；若两数之和为偶数，则小王胜．该游戏规则对双方是否公平，请说明理由．
【答案】（1）解：列表如下：
2 3 4 5
2 / （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，2） / （3，4） （3，5）
4 （4，2） （4，3） / （4，5）
5 （5.2） （5，3） （5，4） /
（2）解：根据题意得：
（3）解：不公平．理由如下：
∵ ， ，
∵
∴双方不公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）由题意可知此事件是抽取不放回，列表，根据表中数据可得到所有等可能的结果数。
（2）由表中数据可得到所有等可能的结果数及两次抽到卡片上的数字之和是7的情况数，然后利用概率公式可求解。
（3）分别求出小明胜和小王胜的概率，再比较大小，可作出判断。
23．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果符合条件的最大整数k是一元二次方程 的根，求m的值．
【答案】（1）解： 方程 是关于x的一元二次方程，
，解得 ，
又 一元二次方程 有两个不相等的实数根，
其根的判别式 ，
解得 ，
综上，k的取值范围是 且 ；
（2）解：由（1）得： ，
是一元二次方程 的根，
，
解得 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得；（2）先根据（1）的结果求出k的值，再根据一元二次方程的根的定义可得一个关于m的一元一次方程，解方程即可得．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，点P从点C出发沿线段CA以每秒2cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段BC以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）填空：AB＝ cm；
（2）t为何值时，△PCQ与△ACB相似；
（3）如图2，以PQ为斜边在异于点C的一侧作Rt△PEQ，且 ，连结CE，求CE．（用t的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）解：由题意可知： ， ，QC=5-t
∵∠PCQ=∠ACB
∴当 或 时，△PCQ与△ACB相似
当 时， ，解得t=1；
当 时， ，解得t= ，
当t=1或 秒时，△PCQ与△ACB相似；
（3）解：如图，过点 作 交 于 ，
则
即
∴
∵
∴
△ ∽△
∴ ，
∴
在 中， ，
即
∴
∴
【知识点】勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（2）需要大家养成分类讨论的好习惯，分两种情况：第1中PC与CA对应，CQ与CB对应；第2中PC与CB对应，CQ与CA对应；
（3）需要添加辅助线构造直角三角形，再用勾股定理进行计算，属于难题，需要思考。
25．暑假是旅游旺季，为吸引游客，某旅游公司推出两条“精品路线”——“亲子游”和“夏令营”.（1）7月份，“亲子游”和“夏令营”活动的价格分别为8000元/人和12000元/人.其中，参加“夏令营”活动的游客人数为“亲子游”活动游客人数的2倍少300人，且“夏令营”线路的旅游总收入不低于“亲子游”线路旅游总收入的一半，
问：
（1）参加“亲子游”线路的旅游人数至少有多少人？
（2）到了8月份，该旅游公司实行降价促销活动，“亲子游”和“夏令营”线路的价格分别下降 和 (a<20)，旅游人数在7月份对应最小值的基础上分别上升 和 ,当月旅游总收入达到256.32万元，求a
【答案】（1）解：设参加“亲子游”线路的游客人数为x人 ，则参加“夏令营”活动的游客人数为（2x-300）人，由题意得
，
解得 ，
参加“亲子游”线路的旅游人数至少有180人；
（2）解：由（1）可知，参加“夏令营”活动的游客人数的最小值为60人，由题意得，
，
设 整理得 ， 解得 ，
a=10.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设参加“亲子游”线路的游客人数为x人，则参加“夏令营”活动的游客人数为（2x-300）人，根据“夏令营”线路的旅游总收入不低于“亲子游”线路旅游总收入的一半列不等式求解即可；
（2）由（1）可知，参加“夏令营”活动的游客人数的最小值为60人，根据当月旅游总收入达到256.32万元列方程求解即可.
26．如图1，在 中， ， ，点 在边 上，连接 ，过 作 的垂线交 的延长线于点 ．
（1）若 ， 分别为线段 ， 的中点，如图1，求证： ；
（2）如图2，过点 作 交 于点 ，求证： ；
（3）如图3，以 为一边作一个角等于 ，这个角的另一边与 的延长线交于 点， 为 的中点，连接 ，求证： ．
【答案】（1）证明：如图1，连接 、 ，
， 是 的中点，
， ，
，
是 的中点，
；
（2）证明：如图2， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）证明：如图，过点 作 交 于点 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
为 的中点，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接EM、CM，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EM=CM；再由等腰三角形三线合一的性质得
出结论；（2）证明△AEC∽△BFC，得 ，由AC=2BC得AE=2BF；（3）证明△ACB∽△AEP，得 ，从而知道AE=2PE，由AE=2BF得PE=BF；根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得OC= EF，代入得结论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
