2024-2025学年中学生标准学术能力诊断性测试高二上学期9月测试数学（A）试卷（含答案）

2024-2025学年中学生标准学术能力诊断性测试高二上学期9月测试
数学（A）试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，那么是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.集合，则( )
A. B.
C. D.
3.已知复数满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4.已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.设函数的定义域为，且，，当时，，，则( )
A. B. C. D.
6.班级里有名学生，在一次考试中统计出平均分为分，方差为，后来发现有名同学的分数登错了，甲实际得分却记成了分，乙实际得分却记成了分，丙实际得分却记成了分，则关于更正后的平均分和方差分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.已知，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，且对任意的恒成立，则下列结论正确的是( )
A.
B. 的图象关于点对称
C. 将的图象向左移个单位，得到的图象关于轴对称
D. 当时，满足成立的的取值范围是
11.在长方体中，已知，分别为的中点，则下列结论正确的是( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 点为长方形内一点，满足平面时，的最小值为
C. 三棱锥的外接球的体积为
D. 过点的平面截长方体所得的截面周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若实数满足，则的取值范围是 ．
13.如图所示，在梯形中，与交于点，若，则 ．
14.在四面体中，，且与所成的角为若四面体的体积为，则它的外接球表面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若，求；
在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小．
16.本小题分
在中，角的对边分别是，且．
求角；
已知为边上一点，且，求的长．
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点为的三等分点，满足．
设平面与直线相交于点，求证：；
若，求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
甲乙两位同学进行投篮训练，每个人投次，甲同学投篮的命中率为，乙同学投篮的命中率为，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响．已知每次投篮甲乙同时命中的概率为，恰有一人命中的概率为．
求的值；
求甲乙两人投篮总共命中两次的概率．
19.本小题分
已知函数是偶函数，．
求函数的零点；
当时，函数与的值域相同，求的最大值．
参考答案
1.
2.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.
依题意向量
于是有
为与的夹角，
，

16.
由正弦定理可得：，
，
由可得：，
，
，
可得：，
，，．
，
与相似，满足：，
设，则有，
解得：舍去，即：，
，
在中，由余弦定理可得：，
即：，
解得：舍去，的长为．

17.
证明：因为平面与直线相交于点，
所以平面平面，
因为四边形为平行四边形，，
平面平面平面，
平面，平面平面，
，
过点作于点，
平面平面，
所以平面平面，
因为平面平面，且，
平面，
连接是直线与平面所成的角，
因为点为的三等分点，，
在中，，
在中，利用余弦定理可得：，
在中，，
在中，，
可得，
即直线与平面所成的角等于．

18.
设事件：甲投篮命中，事件：乙投篮命中，
甲乙投篮同时命中的事件为，则，
恰有一人命中的事件为，则，
由于两人投篮互不影响，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响，所以与相互独立，互斥，所以：
可得：
解得：或．
设：甲投篮命中了次；：乙投篮命中了次，，
设：甲乙两人投篮总共命中两次，则
由于与相互独立，互斥，

19.
是偶函数，
则，即，
，由的 任意性得，即，
，
，
令，则或舍去，即，
有一个零点，为．
设当时，函数的值域为，
则函数的 值域也为，
由知，
当且仅当，即时等号成立，
令，则，
在区间上单调递增，
所以当时，的值域为，
即，则
即为方程的 两个根，解得
所以当时，的值域为，
令，则，
在上单调递增，对勾函数在上单调递增，
由复合函数的单调性知，在上单调递增，
是偶函数，在上单调递减，
令，即，解得或，
即或，
故的最大值为．

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