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2024-2025沪科版九年级上册期中全真模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．的值等于（ ）
A．； B．1； C．； D．.
3．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：1，AC＝6，则DF为（ ）
A．18 B．2 C．54 D．
4．规定，若函数，则该函数的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．5
5．已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，点D、E在边、上，，要使，可添加下列条件中的（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴的交点B在（0，1）和（0，2）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a+b+c＝0；④ ＜b＜1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，BG延长交CD于点F，CG延长交BD于点H，交AB于N.下列结论：①DE=CN；② ；③S△DEC=3S△BNH；④∠BGN=45°；⑤ .其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知三条线段、、，其中，，是、的比例中项，则 cm.
12．如果点A(﹣1，m)、B( ，n)是抛物线y＝﹣(x﹣1)2+3上的两个点，那么m和n的大小关系是m n(填“＞”或“＜”或“＝”)．
13．以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：h＝20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是 s．
14．把抛物线y＝ 先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是 ．
15．如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得，点、分别为线段和线段上的动点，若，则下列结论：①四边形为菱形；②；③为等边三角形；④；⑤若，，则．正确的有（填序号） ．
16．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y= 的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为 ．
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．已知函数 是二次函数．
（1）求m的值；
（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．已知：如图， 中， ， ， 为 边上一点， ．
（1）求证： ．
（2）若 交 于点 ，请再写出另一个与 相似的三角形，并直接写出 长．
19．如图，一块矩形土地 由篱笆围着，并且由一条与 边平行的篱笆 分开.已知篱笆的总长为90米（篱笆的厚度忽略不计），设 米， 米.
（1）用含有 的代数式表示 .
（2）设矩形土地 面积为S平方米，当 时，求 的取值范围.
20．
（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC= ，解直角三角形.
（2）已知△ABC中，∠A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.
21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧)，与y轴交于点C.
（1）若A（-1，0），B （3，0），C（ 0，-3）
①求抛物线的解析式；
②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；
（2）如图2，若直线 与抛物线交于点M、点N（点M在对称轴左侧）.直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D.试说明点C是线段DE的中点.
22．定义：在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ）与 轴交于点 ， ．点 为平面内任意一点，若 ，且 时，称点 为线段 的“居中点”．特别地，当 ，且 时，又称点 为线段 的“正居中点”．抛物线 与 轴的正半轴交于点 ．
（1）若点 是线段 的“正居中点”，且在第一象限，则点 的坐标为 ；
（2）若点 是线段 的“居中点”，则点 的纵坐标 的取值范围是 ；
（3）将射线 绕点 顺时针旋转 得到射线 ，已知点 在射线 上，若在第四象限内存在点 ，点 既是线段 的“居中点”，又是线段 的“正居中点”，求此时点 的坐标．
23．如图，已知 和 均为等腰三角形， ， .
（1）问题发现：如图①，当 时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断线段BD、CE之间的数量关系及 的度数，并说明理由：
（2）拓展探究：如图②，当 时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断线段BD、CE之间的数量关系及 的度数，并说明理由.
24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x﹣2m，其中m为常数，点A（﹣2，n）在此抛物线上．
（1）n的值为 ；
（2）若当﹣1≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为3，求m的值．
（3）抛物线与直线x＝2m+1交于点B，连接AB，过点A作AB的垂线，与y轴交于点C，当AB＝AC时，求m的值．
25．在 中，AB＝AC＝5，BC＝8，过点C作直线l//AB，点N为直线l上一动点，作射线AN，交射线BC于点P，将射线AN绕点A顺时针旋转，交线段BC于M，使得 ，连接MN.
（1）如图1，当点N在点C左侧时，求证 ∽ .
（2）如图2，当点N在点C右侧时，若AM＝ ，求线段CN的长.
（3）如图3，若射线AM与直线l交于点Q，满足 ，请直接写出线段CN的长.
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2024-2025沪科版九年级上册期中全真模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 将抛物线向右平移1个单位得到，再向上平移2个单位后得到.
故答案为：D.
【分析】根据图象变换规律左加右减，上加下减，写出平移后的抛物线解析式.
2．的值等于（ ）
A．； B．1； C．； D．.
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： .
故答案为：B。
【分析】根据特殊角的三角函数值选择即可。
3．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：1，AC＝6，则DF为（ ）
A．18 B．2 C．54 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴AB：DE=AC：DF，
∵AB：DE＝3：1，AC＝6，
∴3：1＝6：DF，
解得：DF＝2.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得AB：DE=AC：DF，然后将已知条件代入计算即可.
4．规定，若函数，则该函数的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．5
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；二次函数的最值；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当，即时，
，
∵，
∴当时，该函数的值最小，最小值为；
当，即或时，
，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，该函数的值最小，最小值为；
综上所述，该函数的最小值为.
故答案为：A.
【分析】分两种情况讨论：①，②，分别解不等式求出x的取值范围，进而根据题干给出的信息得出相应的函数解析式，在取值范围内，根据所得函数的性质求出各自的最值，再比大小即可.
5．已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、，即，但x是未知线段，不能画出，故不符合题意；
B、，即，不符合题意；
C、，即，不符合题意；
D、，即，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据比例线段的性质逐项判断即可。
6．在中，点D、E在边、上，，要使，可添加下列条件中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：只有选项D正确，理由如下，
如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵公共，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D符合题意，
选项A、B、C的条件都不能推出，
故答案为：D．
【分析】将各项分别代入，先证明，可得，再利用平行线的判定方法可得。
7．如图，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：，
∽，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
由图可知：，，，，
，
，
，
即，
解得，
．
故答案为：．
【分析】先证明∽，根据相似三角形的性质得到进而得到，，结合求出，设，，可得，，，，，根据，求出的值，从而得出结论.
8．如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵AP=CQ，
∴CP=BQ，
∵PC=2AP，
∴BQ=2CQ，
如图，过P作PD∥BC交AQ于D，
∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，
∴，，
∴CQ=3PD，
∴BQ=6PD，
∴BO=6OP；故①正确；
过B作BE⊥AC于E，
则CE=AC=4，
∵∠C=60°，
∴BE=4，
∴PE==1，
∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误；
在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABP与△CAQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，
∵∠APO=∠BPA，
∴△APO∽△BPA，
∴，
∴AP2=OP PB，
∴AP2=OP AQ.故③正确；
以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，
∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，
∵∠PBA=∠QAC，
∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA
=60°+∠BAQ+60°+∠QAC
=120°+∠BAC
=180°，
∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，
设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，
∵NA=NB，CA=CB，
∴CN垂直平分AB，
∴∠MAD=∠ACM=30°，
∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，
在Rt△MAC中，AC=3，
∴MA=AC tan∠ACM=，CM=2AM=2，
∴MO′=MA=，
即CO的最小值为，故④正确.
综上：正确的有①③④.
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC，由已知条件可知AP=CQ，则CP=BQ，结合PC=2AP可得BQ=2CQ，过P作PD∥BC交AQ于D，易证△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，根据相似三角形的性质可得CQ=3PD，则BQ=6PD，据此判断①；过B作BE⊥AC于E，则CE=AC=4，利用勾股定理可得PE，进而判断②；利用SAS证明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，证明△APO∽△BPA，利用相似三角形的性质可判断③；以AB为边作等边△NAB，连接CN，则∠NAO+∠NBO=180°，故点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边△NAB的中心M，设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，易知∠MAD=∠ACM=30°，∠MAC=90°，根据三角函数的概念可得MA、CM，据此判断④.
9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴的交点B在（0，1）和（0，2）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a+b+c＝0；④ ＜b＜1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故①符合题意；
∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），
∴当 时， ，抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），故②符合题意；
∴ ，
∴⑤+⑥得 ，即 ，故③符合题意；
∴ ，即 ，
∵与y轴的交点B在（0，1）和（0，2）之间，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案。
10．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，BG延长交CD于点F，CG延长交BD于点H，交AB于N.下列结论：①DE=CN；② ；③S△DEC=3S△BNH；④∠BGN=45°；⑤ .其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】全等三角形的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：①∵在正方形ABCD中， ， ，
∴
即：
∴ （ASA）
∴CN= DE，故①符合题意；
②∴在正方形ABCD中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，E为BC的中点， 四边形ABCD是正方形
∴ ，
∴ ，故②符合题意；
③如下图示，过H点作 ，
∴根据 ，有 ，
则：
∴ ，
即是： ，故③符合题意 ；
④过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，
∴∠BPC=∠BQD=∠PGQ=90°，
∴四边形PBQG是矩形，
∴∠PBQ=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠NBP=∠QBE，
由①得：△BNC≌△CED，
∴EC=BN，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴BE=BN，
∵∠BPN=∠BQE=90°，
∴△BPN≌△BQE，
∴BP=BQ，
∴四边形PBQG是正方形，
∴∠BGE=45°，故④符合题意；
⑤如图示，连接N，E
设 ，则 ， ，
∵CG⊥DE，
∴ ，
，
由 的面积可得：
化简得： ，
∴ ，
则有：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
，
并∵
∴
∴ ，故⑤符合题意．
综上所述，
故答案为：D．
【分析】根据题目已知证明 可判断①符合题意；证明 可判断②符合题意；过H点作 ，利用 ， 求解即可判断③符合题意；添加辅助线过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，利用△BNC≌△CED，证得△BPN≌△BQE，即可判断④符合题意；连接N，E，设 ，则 ， ，利用勾股定理求出CN，CE的长，然后根据 的面积求出GE，GN，再证 ，利用相似三角形对应边成比例，求出BG，BF的长，即可得⑤符合题意．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知三条线段、、，其中，，是、的比例中项，则 cm.
【答案】2
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵是、的比例中项，
∴，
解得：（线段的长度是正数，负值舍去），
则.
故答案为：2.
【分析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段长度的乘积，据此建立方程，求解即可.
12．如果点A(﹣1，m)、B( ，n)是抛物线y＝﹣(x﹣1)2+3上的两个点，那么m和n的大小关系是m n(填“＞”或“＜”或“＝”)．
【答案】＜
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，
而抛物线开口向下，
所以当x＜1时，y随x的增大而增大，
所以m＜n．
故答案为：＜．
【分析】由函数y＝﹣(x﹣1)2+3 ，可知，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，即可得到答案.
13．以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：h＝20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是 s．
【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵球从飞出到落地，
∴当h=0时20t﹣5t2=0
解之：t1=0，t2=4
∵t＞0
∴t=4.
故答案为：4.
【分析】利用已知条件，要求出球从飞出到落地要用的时间，也就是求出当h=0时t的值，根据t＞0，可得答案.
14．把抛物线y＝ 先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是 ．
【答案】y＝ (y＝ )
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：函数y＝ 向上平移2个单位，得：y＝ ；
再向左平移1个单位，得：y＝ ，即y＝ 或y＝ ；
故答案为y＝ 或y＝ ．
【分析】根据把抛物线y＝ 先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度， 计算求解即可。
15．如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得，点、分别为线段和线段上的动点，若，则下列结论：①四边形为菱形；②；③为等边三角形；④；⑤若，，则．正确的有（填序号） ．
【答案】①②③④
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由等边三角形和旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABDC为菱形，故①符合题意；
∵在△ABE和△CBF中，，
∴△ABE △CBF(SAS)，故②符合题意；
∵△ABE △CBF，
∴BE=BF，∠ABE=∠CBF，
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠CBF+∠EBC=60°，即∠EBF=60°，
∴△BEF为等边三角形，故③符合题意；
∵∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+∠FCG，
又∵∠FCG=60°，∠BFG=60°，
∴∠CFB=∠CGE，故④符合题意；
∵AE=CF=1，
∴BC=AC=AE+CE=4，
∵∠CFB=∠CGE，∠ECG=∠BCF=60°，
∴△CFB △CGE，
∴，即
∴CG=，
∴BG=BC CG=4 =，故⑤不符合题意．
综上，①②③④符合题意．
故答案为①②③④．
【分析】利用等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及旋转的性质逐项判断即可。
16．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y= 的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为 ．
【答案】-16
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OD=2AD，
∴ = ，
∵∠ABO=90°，DC⊥OB，
∴AB∥DC，
∴△DCO∽△ABO，
∴ = = = ，
∴ =（ ）2= ，
∵S四边形ABCD=10，
∴S△ODC=8，
∴OC×CD=8，
OC×CD=16，
∵双曲线在第二象限，
∴k=-16，
故答案为-16．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ODC的面积．证△DCO∽△ABO，推出 = = = ，求出 =（ ）2= ，求出S△ODC=8，根据三角形面积公式得出 OC×CD=8，求出OC×CD=16即可．
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．已知函数 是二次函数．
（1）求m的值；
（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）∵
∴
∵
∴m≠3
∴
（2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为
∵a=-6＜0
∴开口方向向下
∴对称轴是直线 ，顶点坐标是（-2，-5）．
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m的值，再结合二次项系数不等于0，即可最终确定m的值；（2）将m代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a的正负，对称轴为直线x=-h以及顶点坐标为（-h，k），即可解决本题．
18．已知：如图， 中， ， ， 为 边上一点， ．
（1）求证： ．
（2）若 交 于点 ，请再写出另一个与 相似的三角形，并直接写出 长．
【答案】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
且 ，
∴ ．
（2）解：如图，∵ ，∴ ，
∴ ， ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先判断出AB∶BC=BD∶BA=1∶2，然后滚局有两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可得出结论：△ABD∽△CBA ；
（2）根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△CDE∽△CBA ，又△ABD∽△CBA ，从而得出△ABD∽△CDE；根据相似三角形对应边成比例即可列出方程求出DE的长。
19．如图，一块矩形土地 由篱笆围着，并且由一条与 边平行的篱笆 分开.已知篱笆的总长为90米（篱笆的厚度忽略不计），设 米， 米.
（1）用含有 的代数式表示 .
（2）设矩形土地 面积为S平方米，当 时，求 的取值范围.
【答案】（1）解：由题可知：
.
（2）解：由题可知：
当 时， .
，∴当 时， ，
∴ 的取值范围： .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可知AB=EF=CD=x，AD=BC，可得到3AB+2AD=90，由此可得到y与x之间的函数解析式。
（2）利用长方形的面积公式建立S与x之间的函数解析式，再将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质及x的取值范围，可确定出S的取值范围。
20．
（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC= ，解直角三角形.
（2）已知△ABC中，∠A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°，AB=2BC=2 ，
∴AC= =3；
（2）解：如图，过点B作BD⊥AC于D，
∵∠A=45°，
∴∠ABD=∠A=45°，
∴AD=BD，
∵AB=4， ，
∴AD=BD= ，
在Rt△BCD中，BC=3，
∴ ，
∴AC=AD+CD= +1.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠B，利用30度角的性质求出AB，再利用勾股定理求出AC；
（2）过点B作BD⊥AC于D，根据∠A=45°证得AD=BD，利用勾股定理求出AD=BD= ，再利用勾股定理求出CD，即可得到AC的长.
21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧)，与y轴交于点C.
（1）若A（-1，0），B （3，0），C（ 0，-3）
①求抛物线的解析式；
②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；
（2）如图2，若直线 与抛物线交于点M、点N（点M在对称轴左侧）.直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D.试说明点C是线段DE的中点.
【答案】（1）解：①将A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）代入解析式可得
；
∴抛物线的解析式为：
②如图，作QD⊥x轴于D点，
∵△PCQ是等腰直角三角形，
∴∠OPC+∠DPQ=90°
又在△OPC中，∠OPC+∠PCO=90°
∴∠DPQ=∠PCO
在△OPC和△PQD中
∴△OPC △PQD（AAS）
∴OC=PD，OP=DQ
设P（x，0），则D（x+3，0），Q（x+3，-x）
又Q点在抛物线上，故
解得x=0或-5（舍去）
故P（0，0）；
（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），如图2
联立方程得
则有x1+x2=2+b，x1x2=-3-t，
设直线AM的解析式为y=kx+m，
分别将M点坐标和A点坐标代入直线AM解析式，
可求出直线AM的解析式为
点E是直线AM与y轴的交点，则E（0， ）
同理可求D（0， ）
则
=
=b-4=-6
=2yc
∴点C是线段DE的中点.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①将A、B、C三点的坐标代入解析式求出a、b、c的值即可；②通过构造和证明△OPC △PQD，再根据条件假设P点坐标，根据全等三角形对应边相等列式可求出P点坐标；（2）假设M、N两点坐标，通过联立方程得到关于x的一元二次方程，求出直线AM的解析式，进而根据交点的位置表达出E点、D点坐标，求出DE中点坐标与C点坐标比较即可证明
22．定义：在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ）与 轴交于点 ， ．点 为平面内任意一点，若 ，且 时，称点 为线段 的“居中点”．特别地，当 ，且 时，又称点 为线段 的“正居中点”．抛物线 与 轴的正半轴交于点 ．
（1）若点 是线段 的“正居中点”，且在第一象限，则点 的坐标为 ；
（2）若点 是线段 的“居中点”，则点 的纵坐标 的取值范围是 ；
（3）将射线 绕点 顺时针旋转 得到射线 ，已知点 在射线 上，若在第四象限内存在点 ，点 既是线段 的“居中点”，又是线段 的“正居中点”，求此时点 的坐标．
【答案】（1）
（2） 或
（3） 点 是线段 的“居中点”， ，
点 在线段 的垂直平分线上．
设线段 的垂直平分线交 轴于点 ．
，
．
点 是线段 的“正居中点”，
， ，
．
，
．
是等边三角形，
．
在 中， ，
点 在第四象限，
．
．
．
又 ，
．
．
【知识点】二次函数-动态几何问题；定义新运算
【解析】【解答】解：
（1）抛物线 的对称轴为 ，
令 ，则
∴ ，
在抛物线上作对称轴 ，交x轴于点N，
∴ ，点C在对称轴上，
∵C是OM的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴C ；
（2）由（1）知线段OM的“正居中点”坐标为 或 ，
∵C是线段OM的“居中点”，
∴点C在点 的上方或 的下方，
∴D纵坐标取值范围为 或 ；
【分析】（1）由抛物线 的对称轴为 ，令 ，则 ，得出点M的坐标，在抛物线上作对称轴 ，交x轴于点N，得出ON的值，因为C是OM的中点，得出，得出NC的值，由此得出点C的坐标；
（2）由（1）知线段OM的“正居中点”坐标为 或 ，由C是线段OM的“居中点”，得出点C在点 的上方或 的下方，即可得出D纵坐标取值范围为 或 ；
（3）根据点 是线段 的“居中点”， ，得出点 在线段 的垂直平分线上．设线段 的垂直平分线交 轴于点 ．可得出点G的坐标，因为点 是线段 的“正居中点”，再证出 是等边三角形，得出，在 中， ， ，根据点 在第四象限，得出FG的值，由此得出点F的坐标，由此得出点E的坐标。
23．如图，已知 和 均为等腰三角形， ， .
（1）问题发现：如图①，当 时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断线段BD、CE之间的数量关系及 的度数，并说明理由：
（2）拓展探究：如图②，当 时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断线段BD、CE之间的数量关系及 的度数，并说明理由.
【答案】（1）解： ， ，
理由：∵ 是等腰三角形， ， ，
∴ 是等边三角形，
同理 也是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： ， ，
理由：在等腰三角形ABC中， ， ，
∴ ， ，
同理， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点B、D、E在同一条直线上，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1） BD=CE，∠CEB=60°；理由：先求出△ABC、△ADE是等边三角形，再利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得BD=CE， ，再利用∠CEB=∠AEC-∠AED即可求解；
（2），；理由：利用等腰直角三角形求出 ， ， ， ，从而可证，利用相似三角形的性质可得，，利用邻补角求出∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°，再根据即可求解.
24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x﹣2m，其中m为常数，点A（﹣2，n）在此抛物线上．
（1）n的值为 ；
（2）若当﹣1≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为3，求m的值．
（3）抛物线与直线x＝2m+1交于点B，连接AB，过点A作AB的垂线，与y轴交于点C，当AB＝AC时，求m的值．
【答案】（1）0
（2）解：当x＝1时，y＝1﹣m+2﹣2m＝3﹣3m，
当x＝﹣1时，y＝1+m﹣2﹣2m＝﹣1﹣m，
抛物线的对称轴为直线x＝ ，
当x＝ 时，y＝﹣ m2﹣m﹣1，
①当 ≤﹣1时，即m≤﹣2，
∴3﹣3m﹣（﹣1﹣m）＝4﹣2m＝3，
∴m＝ （舍）；
②当﹣2＜ ≤﹣1时，即﹣2＜m≤0，
∴3﹣3m﹣（﹣1﹣m）＝4﹣2m＝3，
∴m＝ （舍）；
③当﹣1＜ ≤0时，即0＜m≤2，
∴3﹣3m﹣（﹣ m2﹣m﹣1）＝3，
∴m＝4±2 ，
∴m＝4﹣2 ；
④当0＜ ≤1时，即2＜m≤4，
∴﹣1﹣m﹣（﹣ m2﹣m﹣1）＝3，
∴m＝±2 ，
∴m＝2 ；
⑤当 ＞1时，即m＞4，
∴﹣1﹣m﹣（3﹣3m）＝3，
∴m＝ （舍）；
综上所述：m的值为4﹣2 或2 ；
（3）解：设直线x＝2m+1与x轴的交点为E，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠BAE+∠CAO＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAO，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△ACO（AAS），
∴AO＝BE，
∵A（﹣2，0），
∴AO＝BE＝2，
∵抛物线与直线x＝2m+1交于点B，
∴B（2m+1，2m2+5m+3），
∴2m2+5m+3＝2，
解得m＝ ，
当2m2+5m+3＝-2时，
无实数解
∴m＝ ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）∵点A（﹣2，n）在此抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x﹣2m上，
∴n＝4+2（m﹣2）﹣2m，
解得n＝0，
故答案为：0；
【分析】（1）先求出n＝4+2（m﹣2）﹣2m，再计算求解即可；
（2）分类讨论，列方程计算求解即可；
（3）先求出 △BAE≌△ACO ，再列方程计算求解即可。
25．在 中，AB＝AC＝5，BC＝8，过点C作直线l//AB，点N为直线l上一动点，作射线AN，交射线BC于点P，将射线AN绕点A顺时针旋转，交线段BC于M，使得 ，连接MN.
（1）如图1，当点N在点C左侧时，求证 ∽ .
（2）如图2，当点N在点C右侧时，若AM＝ ，求线段CN的长.
（3）如图3，若射线AM与直线l交于点Q，满足 ，请直接写出线段CN的长.
【答案】（1）证明：∵AB＝AC
∴
∵
∴
∵
∴ ∽
（2）解：作AH⊥BC交于点C
∵AB＝AC＝5，AH⊥BC
∴BH＝HC＝4
∴
∵AM＝
∴ ，
∵ ，
∴ ∽
∴ ，得
∴
∵l//AB
∴
∴ ∽
∴
∴
（3）解：
∵l//AB
∴
∵
∴
∵ ， ，
∴
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ .
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，由已知条件可知∠MAN=∠ABC，则∠MAN=∠ACB，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）作AH⊥BC交于点C，由等腰三角形的性质得BH＝HC＝4，由勾股定理求出AH，HM，证△AMP∽△CMA，△PNC∽△PAB，然后利用相似三角形的性质求解即可；
（3）由平行线的性质可得∠B=∠BCQ，∠BAQ=∠Q，证明△ABM∽△QMC，得到∠AQN=∠ANM，进而证△ABM≌△NMA，得AB=AN=QN=5，BC=AQ=8，证明△AMN∽△ANQ，△ABM∽△QMC，由相似三角形的性质可得AM、MQ、CQ，进而求出CN.
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