2024-2025学年安徽省马鞍山二中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年安徽省马鞍山二中高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知集合，若集合有且仅有个子集，则的取值是( )
A. B. C. D.
4.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，而且窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好设某所公寓的窗户面积为，地板面积为，若同时增加的窗户面积和地板面积，则这所公寓的采光效果变化是( )
A. 变好了 B. 变差了 C. 不变 D. 变化不确定
5.设，若当时，关于的不等式恒成立，则( )
A. B. C. D.
6.已知实数，满足，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
8.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.“关于的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是( )
A. B. C. D.
11.下列说法正确的有( )
A. 若，则的最小值为
B. 若正数，为实数，若，则的最大值为
C. 若，且，则的最大值为
D. 设，为实数，若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集为______．
13.设，，记，则函数的最小值为______．
14.设且恒成立，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二次函数满足，且，求函数的解析式．
已知，求函数的解析式．
16.本小题分
已知集合，集合．
若，求实数的取值范围；
若：，：，是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
某个体户计划经销、两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，经销、商品中所获得的收益分别为万元与万元．其中；如果该个体户准备投入万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．
18.本小题分
已知函数．
若不等式恒成立，求的取值范围；
解不等式；
对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
排序不等式：设，为两组实数，，，，是，，，的任一排列，那么即“反序和乱序和顺序和”．
当且仅当或时，反序和等于顺序和．
设，，，为实数，，，，是，，，的任一排列，则乘积的值不会超过_____．
设，，，是个互不相同的正整数，求证：．
有人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同问只有一个水龙头时，应如何安排人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？
参考答案
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15.解：二次函数满足，且，
设二次函数，因为，
所以，故此时函数解析式为，
因为，令，所以，
令，所以，因为，所以，
因为，所以，将两个式子联立，
解得，，故二次函数的解析式为，
因为，且令，所以，
故，化简得，
即函数的解析式为．
16.解：，
若，则，即；
若，即时，需或，解得．
综上，实数的取值范围为．
是的充分不必要条件，
，
则，不同时取等号，解得．
实数的取值范围为．
17.解：设投入商品的资金为万元，
则投入商品的资金为万元，设收入为万元，
当时，，，
则
，
当且仅当，即时，取等号．
当时，，，
则，
此时当时，取得最大值，
，
最大收益为万元，
所以投入商品的资金为万元，投入商品的资金为万元，此时收益最大，为万元．
18.解：由题意，不等式恒成立，即不等式恒成立，
当时，不等式为，显然不恒成立，舍去；
当时，要使恒成立，应满足，
即，解得，
所以的取值范围是
由不等式，可得，
等价于，
当时，不等式为，解得，不等式的解集为；
当时，不等式可化为，即，
当时，不等式等价于，解得或，
不等式的解集为或；
当时，不等式等价于，
当时，即时，解得，不等式的解集为；
当时，即时，解得，不等式的解集为；
当时，即时，解得，不等式的解集为，
综上可得：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或．
由不等式在上恒成立，
得在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，
则可转化为不等式在上恒成立，
设，则，
所以的最大值为，所以，解得，
所以实数的取值范围是
19.解：由题意，，，是，，，的任一排列，
设两组数，，，与，，，，
则可看作，，，与，，，两组实数的“乱序和”；
设，，，也是，，，的一个排列，且，
其中满足集合
则，，，与，，，两组实数的“顺序和”，
且．
则由排序不等式：乱序和顺序和，
得．
故空格处填：．
证明：设两组数：，，，与，，，．
由，，，是个互不相同的正整数，
设，，，是，，，的一个排列，且满足，
即，，，是这个互不相同的正整数从小到大的排列，
因此，，，．
又因为，
故由排序不等式：乱序和反序和，
得．
故，命题得证．
由题意可知，水龙头注满第个人的水桶需要分钟，
则第个人打水时，即个人都在等，需要等候总时间为，
故所有人打完水，他们等候的总时间为．
设两组数：，，，，与，，，，．
由假定，这些各不相同，
设，，，，为，，，，的一个排列，且，
又因为，
由排序不等式：乱序和反序和，
得．
所以只有一个水龙头时，要使他们等候的总时间最少，应安排需要时间最少的人总是先打水，
即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水．
等候的总时间最少为，其中，，，，为，，，从小到大的一个顺序排列．
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