2024-2025学年湖南省衡阳市耒阳一中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省衡阳市耒阳一中高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：“，使得”，则命题的否定是( )
A. ，使得 B. ，使得
C. ， D. ，
3.，，下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. ，若，则
C. 若，则 D. ，，若，则
4.一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是( )
A. 大于 B. 大于等于 C. 小于 D. 小于等于
5.函数的值域为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，且，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知，，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.设、是实数，定义：，则满足不等式的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，则下列选项中说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.下面选项中正确的有( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 命题“，”的否定是“，”
C. “”是“”的充要条件
D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件
11.已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则且
B. 若，则关于的不等式的解集也为
C. 若，则关于的不等式的解集为或
D. 若为常数，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为 ．
13.下列命题：，；，；，；，，其中所有真命题的序号是______．
14.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若，试比较与的大小；
已知，，求的取值范围．
16.本小题分
一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小，而且这个比值越大，采光效果越好．
若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
17.本小题分
设
若命题：，是假命题，求的取值范围；
若命题：，是真命题，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数，二次函数满足：且．
求的解析式；
若，解关于的不等式．
19.本小题分
阅读：已知、，，求的最小值．解法如下：，当且仅当，即，时取到等号，则的最小值为应用上述解法，求解下列问题：
已知，，，，求的最小值；
已知，求函数的最小值；
已知正数、、，，，，求证：．
参考答案
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15.解：，
；
设
则，解得，，
，
，，则，
，即．
16.解：设这所公寓的客户面积为平方米，则地板面积为平方米，
由题意可得：，解得：．
所以这所公寓的窗户面积至少为平方米．
设窗户面积为平方米，地板面积为平方米，窗户和地板同时增加平方米，
则，
由题意可知，，
，即．
公寓的采光效果变坏了．
17.解：由题意可得，，是真命题，
即在上恒成立，
当时，，符合题意；
当时，需满足，解得；
综上所述，的取值范围为；
由题意可得，存在使得成立，
故只需，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以．
18.解：设二次函数，
所以，
即，故，
解得，所以，
所以，解得，
所以．
因为，
所以，即，
因为，
当，即舍或时，不等式的解集为：；
当，即时，不等式的解集为：；
当，即时，不等式为，解集为：．
综上所述，当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
19.解，
，
当且仅当时取等号．即的最小值为．
，
而，，
当且仅当，即时取到等号，则，
函数的最小值为．
，
．
当且仅当时取到等号，则．
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