2024-2025学年福建省福州市福建师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B.
C. 或 D.
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.偶函数在区间是单调函数，且满足，则函数在区间内零点的个数是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.定义域的函数满足，当时，，若恒成立，则实数的取值范围是( )
A. ， B.
C. ， D.
8.设函数的定义域为，且，当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
10.某数学课外兴趣小组对函数的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中正确的命题有( )
A. 函数的图象关于轴对称
B. 当时，是增函数，当时，是减函数
C. 函数的最小值是
D. 函数与有四个交点
11.已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则( )
A. 的图象关于点对称 B.
C. D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，且，则实数的取值范围是______．
13.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
14.设正数，满足，，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，若的最小值为，写出的表达式．
16.本小题分
已知集合，，若．
求实数的取值范围；
求的最值．
17.本小题分
已知函数为常数且，的图象经过点，
试求，的值；
若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数且．
Ⅰ若，求实数的取值范围；
Ⅱ设，函数．
若，证明：；
若，求的最大值．
19.本小题分
已知函数是偶函数，是自然对数的底数，
求的最小值；
当时，
令，，求的值域；
记，已知，，且，当取最大值时，求的值．
参考答案
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15.解：函数，，开口向上，对称轴为，
当，即时，函数在上单调递减，
所以，
即；
当，即时，函数在上先减后增，
所以；
当时，函数在上单调递增，
所以．
综上可得，．
16.解：由，得，
解得，或
；
由，得，得，
．
，，解得，
实数的取值范围是；
，
令，，，
则函数化为，
当时，有最小值，即原函数有最小值为；
当时，有最大值，即原函数有最大值为．
17.解：函数，其中，为常数且，的图象经过点，，
，
解得，，
，
设，
在上是减函数，
当时，．
若不等式在时恒成立，
即
18.解：Ⅰ当时，递减，
等价于，解得：，
当时，递增，等价于，解得：，
综上：或；
解：Ⅱ，是增函数，
证明：若，则，令，则，
故，，
当即时，，
当即时，当时，，
故；
若，则，令，则，
故，，
，，
当即时，，
，，
，
此时的最大值为，
当即时，在上递增，
，，
，
此时的最大值为：，
综上，．
19.解：函数的定义域为，是偶函数，
，即，
即：上式对任意恒成立，这等价于，
，等号成立当且仅当，，
的最小值为．
由可得：，由于，为偶函数，
故只需考虑时，的值域，
，
令，，，显然为增函数，
，
在上单调递增，
在上单调递增，
，，
的值域为．
(ⅱ)对于常数，令，为偶函数，
下面先证明一个结论：在上单调递增，
证明：
．
由可得：为偶函数，在上单调递增，在上单调递增，
证毕．
对于，且，
先证明：当取最大值时，，，，，中最多只有一个，其余的数要么等于，要么等于．
用反证法，假如当取最大值时，，，，中存在两个数，，不妨设，
记，则，且，
记，则，
根据的单调性可知：
，
在中，将，分别替换成，，
其余的数不变的情况下，得到了更大的值，这与取最大值相矛盾
，，，，中最多只有一个．
，，，，中没有数字在区间时，，，，，中的每一个数，要么等于，要么等于，
记，，，，中等于的元素个数为，，，这与为整数矛盾．
，，，，中只有一个数字在区间时，不妨记为，记等于的数字个数为，
则等于的数字个数为，则．
即，由于，，且，
，，
这个数为，，，，，，，，，其中有个，个．
．
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