2024-2025学年山东省淄博市淄博四中高二（上）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省淄博四中高二（上）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为( )
A. B. C. D.
2.对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标，两次都没击中目标，恰有一次击中目标，至少有一次击中目标，下列关系不正确的是( )
A. B. C. D.
3.为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则( )
A. B. C. D.
4.西游记红楼梦水浒传三国演义是我国著名的四大古典小说，某学校图书室将西游记红楼梦水浒传三国演义各一本赠送给三个不同的同学，每人至少一本，则西游记和红楼梦被分给同一个同学的概率为( )
A. B. C. D.
5.袋中有张卡片，分别写有数字，，，，，有放回的摸出两张卡片事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得”，“两次摸得数字之和大于”，“两次摸得数字之和是”，则( )
A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
6.已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是( )
A. B. C. D.
7.口袋里装有红，白，黄共个形状相同小球，从中取出球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的球中至少有一个黄球”，事件“取出的球至少有一个白球”，事件“取出的球不同色”，“取出的球中至多有一个白球”下列判断中正确的是( )
A. B. C. D.
8.如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 非零向量，，若，则
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线
10.已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是( )
A. B. ，为对立事件
C. ，相互独立 D.
11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，若一点在底面内包括边界移动，且满足，则( )
A. 与平面的夹角的正弦值为
B. 点到的距离为
C. 线段的长度的最大值为
D. 与的数量积的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______．
13.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是 ．
14.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制有球队先胜三局则比赛结束第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低则独孤队不超过四局获胜的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间向量，，．
若，求；
若，求，的值．
16.本小题分
新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了名学生的成绩，技照成绩为，，，分成了组，制成了如图所示的频率分布直方图假定每名学生的成绩均不低于分．
求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的名学生成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有人被抽到的概率．
17.本小题分
某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费元不足小时的部分按小时计算现有甲、乙两人在该停车场临时停车，两人停车时长互不影响且都不超过小时．
若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过小时，小时以上且不超过小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车付费之和为元的概率；
若甲、乙停车半小时以上且不超过小时的概率分别为，停车小时以上且不超过小时的概率分别为，求甲，乙两人临时停车付费不相同的概率．
18.本小题分
空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴轴、轴、轴正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．
若，，求的斜坐标；
在平行六面体中，，，，为线段的中点如图，以为基底建立“空间斜坐标系”．
求的斜坐标；
若，求与夹角的余弦值．
19.本小题分
如图，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图，连接，．
求证：平面；
若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：空间向量，，
，
存在实数，使得，
所以，则，
则．
，则，
，
，
故．
16.解：由频率分布直方图得：
，
解得．
平均分为．
由频率分布直方图得到成绩位于和上的人数比为，
抽取的人中成绩位于上的有人，编号为，，，，
位于上的有人，编号为，，
从这人中任人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共个，
其中这组中至少有人被抽到的基本事件有，，，，，，，，，共个，
这组中至少有人被抽到的概率为．
17.解：设甲停车付费元，乙停车付费元，其中，，
则甲、乙两人的停车费用的所有可能结果为：
，，，，，，，，，共种，
其中事件“甲、乙两人停车付费之和为元”含，，这种结果，
故甲、乙两人停车付费之和为元”的概率为．
设甲、乙两人停车的时长不超过半小时分别为事件，，
停车的时长在半小时以上且不超过小时分别为事件，，
停车的时长在小时以上且不超过小时分别为事件，，
则，
，
所以甲乙两人临时停车付费相同的概率为：
，
所以甲乙两人临时停车付费不相同的概率为．
18.解：由，，得，，
所以，所以；
解：设，，分别为与，，同方向的单位向量，
则，，，
，
所以．
因为，所以，
则，
因为，
所以，
所以，
所以与的夹角的余弦值为．
19.解：，分别为，的中点，，
，，，
又，，平面，平面，
平面；
由于，，两两垂直，于是以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设平面的法向量为，则，则可取，
，
直线与平面所成角的正弦值为；
假设存在，使得二面角的正弦值为，即二面角的余弦值为，
由得，，
，
易得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，
则可取，
若二面角的余弦值为，
则，
解得，又，
，即存在，使二面角的正弦值为．
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