2024-2025学年广东省佛山市南海中学高二（上）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省佛山市南海中学高二（上）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过点，倾斜角为的直线方程是( )
A. B.
C. D.
2.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现、时表示一局比赛乙获胜由于要比赛局，所以每个随机数为一组，现产生组随机数，结果如下：
则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是( )
A. B. C. D.
3.已知两个向量，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.下列命题中正确的是( )
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为
D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则
5.已知，，，则在上的投影向量的模是( )
A. B. C. D.
6.如图，在正三棱柱中，点为棱的中点，点为上底面的中心，用空间的一组基表示，则( )
A.
B.
C.
D.
7.从甲袋中随机摸出个球是红球的概率是，从乙袋中随机摸出个球是红球的概率是，从两袋中有放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则个球中恰有个红球的概率是( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，对于空间任意两点，，若线段上不存在也在线段，上的点，则称，两点“可视”，则与点“可视”的点为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为，，，的个小球，从中任意摸出两个球设事件“摸出的两个球的编号之和小于”，事件“摸出的两个球的编号都大于”，事件“摸出的两个球中有编号为的球”，则( )
A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件
C. 事件与事件是相互独立事件 D. 事件与事件是互斥事件
10.若，为两个随机事件，且，，则( )
A. 当时，
B. 当和互斥时，
C. 当和独立时，
D. 当和独立时，
11.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点含端点，，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得异面直线与所成的角为
C. 三棱锥体积的最大值是
D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过点和的直线与斜率为的直线互相垂直，则的值是______．
13.如图，线段，在平面内，，，且，，则，两点之间的距离为______．
14.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分分求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于分的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
柜子里有双不同的鞋，分别用，；，；，表示只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚如果从中随机地取出只，那么
写出试验的样本空间；
求下列事件的概率：
取出的鞋都是一只脚的；取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋．
求取出的鞋不成双的概率．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点．
求点到平面的距离；
求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，：：，，．
证明：平面平面；
在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
图是边长为的正方形，将沿折起得到如图所示的三棱锥，且．
Ⅰ证明：平面平面；
Ⅱ点是棱上不同于，的动点，设，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
19.本小题分
甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀，规定每局中：
三人出现同一种手势，每人各得分；
三人出现两种手势，赢者得分，输者负分；
三人出现三种手势均得分当有人累计得分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响．
求甲在一局中得分的概率；
求游戏经过两局后甲恰得分且为唯一获胜者的概率；
求游戏经过两局就结束的概率．
参考答案
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15.解：该试验的样本空间可表示为，，，，，，，，，
，，，，；
记：“取出的鞋都是一只脚的”，
，，，，，，
，
；
记：“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，
，，，，
，
，
记：“取出的鞋不成双”，
由得，
，，，
，
．
16.解：，，，，底面为正方形，
以为原点，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，分别为，中点，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以，
则，，
点到平面的距离；
首先设平面的法向量，，，
由，即，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，，，
所以，
所以，
则直线与平面所成角的余弦值．
17.证明：如图，连接，由于平面，平面，则．
且，，则．
又，则，故CD．
又，则，又，则四边形为平行四边形．则．
平面，平面，则平面．
由于，，则又：：，则：：：，
则，则，则．
平面，平面，则平面．
，，平面，结合 ，，得到平面平面．
解：由前面证明知道，四边形为矩形，平面，
则，，两两垂直，可建立空间直角坐标系．
则，，，，，
设，则，．
设为平面的一个法向量，且，
则，取，则，
又，若平面，则，
则，则，解得，此时．
故棱上存在一点，使得平面，．

18.解：Ⅰ由于正方形的边长为，所以．
取的中点，连接，，由题意，得，
再由，可得，即，
由题易知，又，所以平面，又平面，
所以平面平面．
Ⅱ由Ⅰ可知，，又，
于是可分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．
所以，，，
由题意知，所以．
所以．
设平面的法向量为，
则，
令，得平面的法向量为，
同理可得平面的一个法向量为．
，，
设，，则上式可化为，
即，所以或舍去，
所以，解得．
19.解：根据题意画出树状图，如图：
每局共有种情况，其中甲在一局中得分的情况有出手顺序按甲乙丙：
剪刀、剪刀、布，剪刀、布、剪刀，剪刀、布、布，石头、石头、剪刀，石头、剪刀、石头，
石头、剪刀、剪刀，布、布、石头，布、石头、布，布、石头、石头，有种情况，
甲在一局中得分的概率．
游戏经过两局后甲恰得分且为唯一获胜者的情况有种：
第一局甲得分，第二局甲得分，则第一乙丙得负一分，第二局得分，
由中树状图得满足情况有：
第一局：剪刀、布、布，石头、剪刀、剪刀，布、石头、石头，
第二局：剪刀、剪刀、剪刀，布、布、布石头、石头、石头，
此时概率为；
第一局甲得分，第二局甲得分，则第一局乙丙得负分，
由种树状图得满足情况有：
第一局：剪刀、剪刀、剪刀，布、布、布石头、石头、石头，
第二局：剪刀、布、布，石头、剪刀、剪刀，布、石头、石头，
此时概率为．
游戏经过两局后甲恰得分且为唯一获胜者的概率．
游戏经过两局就结束总共有种情况：
仅人得分，记为事件，则，
有人得分为分，记为事件，则，
仅人得分，记为事件，
一人得分，另两人各负分，概率为：，
一人得分，一人得负分，一人得分，概率为：，
一人得分，另两人各得分，概率为：，
，
有人分别得分，记为事件，则，
游戏经过两局就结束的概率．
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