2024-2025学年上海市宝山中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市宝山中学高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在以下四个图中，直线与直线平行的位置关系只能是( )
A. B.
C. D.
2.已知的直观图是直角边长为的等腰直角三角形，那么的面积为( )
A. B. C. D.
3.已知直线、和平面、，下列命题中的真命题是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.用集合符号表述语句“平面经过直线”：______．
6.若圆柱底面半径为，高为，则其侧面积为______．
7.已知直线，，则直线与直线的位置关系有______种填数字．
8.若正方体的棱长为，则点到直线的距离为______．
9.已知圆锥的侧面展开图为一个半径为，且弧长为的扇形，则该圆锥的体积等于______．
10.如图，在正四棱柱中，，，则三棱锥的体积为______．
11.下来命题中，真命题的编号为______．
若直线与平面斜交，则内不存在与垂直的直线；
若直线平面，则内不存在与不垂直的直线；
若直线与平面斜交，则内不存在与平行的直线；
若直线平面，则内不存在与不平行的直线．
12.在正方体中，二面角的平面角大小为______．
13.已知中，，，所在平面外一点到此三角形三个顶点的距离都是，则点到平面的距离是______．
14.在一个长方体的三条棱长分别为、、，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为______．
15.点是二面角内一点，于，于，设，，，则点到棱的距离是______．
16.两个边长为的正方形和各与对方所在平面垂直，、分别是对角线、上的点，且，则、两点间的最短距离为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在直三棱柱中，，，，．
求四棱锥的体积；
求异面直线与所成角的大小．
18.本小题分
如图，在正四棱柱中，
求证：平面；
求证：平面平面．
19.本小题分
如图图中单位：是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱底面是正六边形，侧面是全等的矩形，上部是实心的圆柱．
已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？结果精确到；
要给一批共个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌，求需要用锌的总量结果精确到．
20.本小题分
如图，三棱锥中，侧面底面，，底面是斜边为的直角三角形，且，记为的中点，为的中点．
求证：；
若，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小．
21.本小题分
如图，现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，
若，斜边，点为圆锥底面圆周上的一点，且，是的中点，求：直线与平面所成的角的大小用反三角函数表示；
若圆锥底面的半径为，母线长为，求底面圆周上一点沿侧面绕两周回到点的最短距离；
若圆锥的母线长为，为圆锥的侧面积，为体积，求取得最大值时圆锥的体积的值．
参考答案
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17.解：在直三棱柱中，，，，，
易得平面，
四棱锥的体积为．
，
异面直线与所成的角为，
又在直三棱柱中，，，，，
易得平面，，
，
，
异面直线与所成角的大小为．
18.证明：因为为正四棱柱，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
因为底面为正方形，所以，
又为正四棱柱，
所以底面，
又底面，所以，
又，平面，，
所以平面，又在平面内，
所以平面平面．
19.解：根据已知图中的几何体的尺寸可得：
圆柱体积为，
六棱柱体积为，
所以零件的体积为，
又因为铁的密度为，
所以生产一件这样的铸铁零件需要：克铁；
根据已知图中的几何体的尺寸可得：
此零件的表面积为
．
所以个零件的表面积为．
所以需锌的质量为．
20.解：证明：连接，，，
侧面垂直于底面，平面，平面平面，
底面，底面，，
又是斜边为的直角三角形，且，，
又为的中点，，为等边三角形，
又为的中点，，
，，，，平面，
平面，又平面，
；
由知底面，，平面，
直线与底面所成角为，，，
直线与底面所成角的大小为，，
，所以，在中，，
，
取中点，连接，，
，，，，
又平面，平面，平面平面，
锐角为二面角的平面角，
由题意，
，
，
，
二面角的大小为．
21.解：将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，
作出在底面的投影，连接，显然为中点，
则直线与平面所成的角为，
由题意可知，，
所以，
所以；
沿将圆锥展开得扇形，沿翻折扇形得扇形，
易知，
由，可得，
所以，
根据两点之间线段最短，知底面圆周上一点沿侧面绕两周回到点的最短距离为，
显然为等腰三角形，，
可得；
设底面半径为，则，
所以，
则，
当且仅当，即时取得等号，
所以取得最大值时圆锥的体积的值为．
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