2024-2025学年重庆十一中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆十一中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，四面体中，点是的中点，记，，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知点，，，若，，三点共线，则，的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为用坐标表示
A. B. C. D.
5.空间内有三点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.正方体不在同一表面上的两顶点，，则正方体的体积是( )
A. B. C. D.
8.已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是( )
A. 点与点关于轴对称
B. 点与点关于轴对称
C. 点与点关于平面对称
D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
10.下列说法错误的是( )
A. 若，，，是空间任意四点，则有
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若共线，则
D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若其中，，，则，，，四点共面
11.已知正三棱柱的所有棱长都为，是空间中的一动点，下列选项正确的是( )
A. 若，则的最小值为
B. 若，则三棱锥的体积为定值
C. 若，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D. 若，则平面截三棱柱所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知、，为线段上一点，且，则的坐标为______．
13.在四面体中，，，，，则 ______．
14.如图，在三棱锥中，，平面，于点，是的中点，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
求；
求；
求．
16.本小题分
如图，在正方体中，，，分别是，的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求点到平面的距离．
17.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设．
求的长；
求异面直线和夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，．
求证：平面平面；
在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科如图，球的半径为，，，为球面上三点，曲面阴影部分叫做球面三角形若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为．
若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
将图中四面体截出得到图，若平面三角形为直角三角形，，设，，．
证明：；
延长与球交于点，连接，，若直线，与平面所成的角分别为，，且，，为的中点，为的中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值．
参考答案
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15.解：；
，
则；
，则．
16.解：在正方体中，，，分别是，的中点，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为；
设平面的法向量为，
，，，
则，取，得，
点到平面的距离为．
17.解：在平行六面体中，
因为，，，，，是的中点，
，
所以，
由题意，，，
，，
，
所以，
所以；
，
，，
所以，．
设异面直线和夹角为，则，
所以，．
所以异面直线和夹角的余弦值为．
18.证明：在中，，
由余弦定理，得，
所以，即．
因为平面平面，平面平面，
，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
设，的中点分别为，，连接，，
因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为，分别为，的中点，所以，
又，所以，即，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，
设，则，，
所以，
，，
设是平面的法向量，
则，即，
令，则，，
即平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，又，
则，
即，解得，
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时．
19.解：若平面，平面，平面两两垂直，有，
所以球球面三角的面积为；
证明：由余弦定理有：，且，
消掉，可得；
由是球的直径，则，，
且，，，平面，
所以平面，且平面，则，
且，，平面，可得平面，
由直线，与平面所成的角分别为，，
所以，
不妨先令，则，
由，，，
以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴，过点作的平行线为轴，建立如图空间直角坐标系，设
则，
可得，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，则，
可得平面的一个法向量为，
设平面法向量为，
则，即，取，则，，
可得平面法向量为，
要使取最小值，则取最大值，
因为，
，
令，则，
可得，
当且仅当取等号，
则取最大值，为最小值．
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