第3章 勾股定理 单元综合练习（含答案） 2024-2025学年苏科版数学八年级上册

苏科版八上数学 第3章 勾股定理 单元综合练习
若 ，， 为 的三边长，且 ，则下列条件：① ；② ；③ ；④ ，其中能判断该三角形是直角三角形的有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
如图，已知 ，，，，若点 到 的距离为 ，则点 在四边形 边上的个数为
A． B． C． D．
如图，点 在 的边 上，点 是 的中点，若 ，，，则 的长为
A． B． C． D．
如图，在 中，，，．若 ，且 ，连接 交 于点 ，则 和 的周长之和为
A． B． C． D．
在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离 为 尺．将它往前水平推送 尺时（即 尺），秋千的踏板就和身高 尺的人一样高，即 尺．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 长为
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
如图，长为 的橡皮筋放置在 轴上，固定两端 和 ，然后把中点 向上拉升 至 点，则橡皮筋被拉长了
A． B． C． D．
欲检验画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为 和 ，对角线长为 ，则该画框 ．（填“合格”或“不合格”）
在 中，斜边 ，则 的值是 ．
如图，点 在正方形 的边 上，若 ，，那么正方形 的面积为 ．
下列命题：
①若 是正整数，则 ，， 是一组勾股数；
②若 是整数且 ，则 ，， 是一组勾股数；
③若 是正整数，则 ，， 是一组勾股数；
④若 ， 都是正整数，且 ，则 ，， 是一组勾股数，
其中是真命题的有 ．（填序号）
爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端 ，然后将绳子末端拉直到距离旗杆 处，测得此时绳子末端距离地面高度为 ，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为 （滑轮上方的部分忽略不计）．
如图是一个直径为 的杯子的截面图，在杯子的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外 ，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子的长度．
如图，一根长 的木棍（），斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，此时 的长为 ，设木棍的中点为 ．若木棍 端沿墙下滑，且 端沿地面向右滑行．
(1) 如果木棍的顶端 沿墙下滑 ，那么木棍的底端 向外移动多少距离？
(2) 请判断木棍滑动的过程中，点 到点 的距离是否变化，并简述理由；
(3) 在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时， 的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．
如图，将长方形 沿着对角线 折叠，使点 落在 处， 交 于点 ．
(1) 试判断 的形状，并说明理由；
(2) 若 ，，求 的面积．
如图，在 中，．
(1) 为 上的中点，求证：；
(2) 若 为 上的任意一点，（）中的结论是否成立，并证明；
(3) 若 为 延长线上一点，说明 ，，， 之间的数量关系．
答案
1. 【答案】A
2. 【答案】A
3. 【答案】D
4. 【答案】C
5. 【答案】C
6. 【答案】A
7. 【答案】合格
8. 【答案】
9. 【答案】
10. 【答案】①②③④
11. 【答案】
12. 【答案】设杯子的高度是 ，则筷子的长度是 ．
因为杯子的直径为 ，
所以杯子的半径为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，（）．
答：筷子的长度为 ．
13. 【答案】
(1) 是等腰三角形．理由如下：
由折叠可知，．
，
，
，
，
即 是等腰三角形．
(2) 设 ，则 ，，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，解得 ，
.
14. 【答案】过点 作 于点 ．
，，，
，即 ．
， 是 的平分线，
，
在 和 中，
，
，，
设 ，则 ，
在 中，，
，解得 ．
点 到 的距离是 ．
15. 【答案】
(1) 连接 ，
， 是 中点，
，，
在 中，，
，
又 ，
，
．
(2) 成立．
连接 ，作 ，交 于 ，
，，
，
在 中，．
同理，，
，
又 ，，
，
．
(3) ．
是 延长线上任意一点，连接 ，并作 ，交 于 ，
，，
，
在 中，，
在 中，，
，
又 ，，
，
．