中小学教育资源及组卷应用平台
第十四章《整式的乘法与因式分解》提优测评卷
一．选择题（共10小题）
1．计算（﹣2a2）3的结果正确的是（ ）
A．﹣2a6 B．﹣6a8 C．﹣8a6 D．﹣8a3
2．已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值（ ）
A．4 B．3 C．1 D．0
3．如果，那么x2m的值是（ ）
A．4 B．8 C．64 D．16
4．已知4x2+kxy+9y2是完全平方式，则k的值是（ ）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
5．若（2x+m）（x﹣3）的展开式中不含x项，则实数m的值为（ ）
A．﹣6 B．0 C．3 D．6
6．若am＝3，an＝5，则a2m+n＝（ ）
A．15 B．30 C．45 D．75
7．按如图所示的方式分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证的等式是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
8．我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集：同样，如果引进“虚数”实数集就扩展到“复数集”．现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：i1＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，则i2023的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
9．在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式x2﹣3x﹣4．设x2﹣3x﹣4＝（x+a）（x+b），利用多项式相等得a＝﹣4，b＝1，故x2﹣3x﹣4可分解（x﹣4）（x+1）．此时，我们就说多项式（x2﹣3x﹣4）既能被（x﹣4）整除，也能被（x+1）整除．根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（ ）
（1）（x2+3x+2）能被（x+1）整除；
（2）若（x2﹣4x﹣5）能被（x+a）整除，则a＝1或a＝﹣5；
（3）若（x3+ax2+bx﹣3）能被（x2+2x+3）整除，则a＝1，b＝1．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（ ）
①log61＝0；
②log323＝3log32；
③若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0；
④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共8小题）
11．计算的值等于 ．
12．因式分解a2+a﹣6的结果是 ．
13．若a2+a﹣2024＝0，代数式（a2﹣2024）（a+1）的值是 ．
14．因式分解：a2+2a（b+c）+（b+c）2＝ ．
15．若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为 ．
16．已知（x+m）（x﹣n）＝x2﹣4x﹣2，则m+n＝ ．
17．如图，两个正方形边长分别为m，n，如果m+n＝mn＝5，则阴影部分的面积为 ．
18．定义：Φ[a，b，c]是以a、b、c为系数的二次多项式，即Φ[a，b，c]＝ax2+bx+c，其中a、b、c均为实数．例如Φ[1，2，3]＝x2+2x+3、Φ[2，0，﹣2]＝2x2﹣2．
①当x＝2时，求Φ[1，1，1]×Φ[﹣1，﹣1，﹣1]＝ ；
②若Φ[p，q，﹣1]×Φ[m，n，﹣2]＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，求（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝ ．
三．解答题（共8小题）
19．计算：
（1）（﹣2）3
（2）（﹣x2）5÷x+2x6 x3
（3）（9x2y3﹣27x3y2）÷（3xy）2
（4）（x+2）2﹣x（x+1）
（5）（2x2）3﹣3x3（2x3+3x2）
20．把下列各式因式分解：
（1）8m2﹣12mn
（2）x2+6x+9
（3）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）
（4）16x4﹣8x2y2+y4．
21．已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．
22．若a2﹣4a+b2﹣10b+29＝0，求a2b+ab2的值．
23．（1）阅读下列文字与例题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如：
am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；
x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）．试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2＝
（2）利用分解因式说明：（n+5）2﹣（n﹣1）2能被12整除．
24．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如：
．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）仿照材料的方法，分解因式：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，请判断△ABC的形状．
25．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b）的正方形，B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．
（1）已知大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，求长方形B的面积；
（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝ ．
（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从这18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？请你直接写出答案．
范例：拼法一：拼出一个长方形，长为 ，宽为 ；
拼法二：拼出一个正方形，边长为 ；
（注：以上范例中的拼法次数仅供参考，请写出全部答案）
26．阅读下列材料：
1637年笛卡尔（R．Descartes，1596﹣1650）在其（几何学）中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为，若一个高于二次的关于x的多项式能被（x﹣a）整除，则其一定可以分解为（x﹣a）与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为0时，x＝a是关于x的这个方程的一个根．例如：多项式x2+9x﹣10可以分解为（x﹣1）与另外一个整式M的乘积，即x2+9x﹣10＝（x﹣1）M，令x2+9x﹣10＝0时，可知x＝1为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：x3+2x2﹣3．
观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．
令：x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c），
而（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，
因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，
从而x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+3x+3）．
此时，不难发现x＝1是方程x3+2x2﹣3＝0的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若取任意值，等式x3+x+1＝x3+（4﹣a）x+1恒成立，则a的值为 ．
（2）若多项式3x4+ax3+bx﹣34含有因式x+1及x﹣2，求a+b的值．
（3）若多项式6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y+a可以分解为两个一次因式之积，求a的值并将该多项式分解因式．中小学教育资源及组卷应用平台
第十四章《整式的乘法与因式分解》提优测评卷
一．选择题（共10小题）
1．计算（﹣2a2）3的结果正确的是（ ）
A．﹣2a6 B．﹣6a8 C．﹣8a6 D．﹣8a3
【思路点拔】利用幂的乘方与积的乘方的性质求解即可求得答案．
解：（﹣2a2）3＝﹣8a6．
故选：C．
2．已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值（ ）
A．4 B．3 C．1 D．0
【思路点拔】先根据平方差公式进行变形，再代入，最后求出答案即可．
解：∵a﹣b＝1，
∴a2﹣b2﹣2b
＝（a+b）（a﹣b）﹣2b
＝（a+b） 1﹣2b
＝a+b﹣2b
＝a﹣b
＝1，
故选：C．
3．如果，那么x2m的值是（ ）
A．4 B．8 C．64 D．16
【思路点拔】根据同底数幂的除法以及幂的乘方运算法则求解即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
解：∵xm+n＝4，，
∴xm＝xm+n÷xn，
∴x2m＝（xm）2＝82＝64．
故选：C．
4．已知4x2+kxy+9y2是完全平方式，则k的值是（ ）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
【思路点拔】注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个．根据完全平方公式求解即可．
解：4x2+kxy+9y2＝4x2±12xy+9y2，
∴k＝±12．
故选：D．
5．若（2x+m）（x﹣3）的展开式中不含x项，则实数m的值为（ ）
A．﹣6 B．0 C．3 D．6
【思路点拔】先将式子进行展开，再合并同类项，然后根据题意进行求解即可．
解：∵（2x+m）（x﹣3）＝2x2﹣6x+mx﹣3m＝2x2+（m﹣6）x﹣3m，
又∵展开式中不含x项，
∴m﹣6＝0，
即m＝6，
故选：D．
6．若am＝3，an＝5，则a2m+n＝（ ）
A．15 B．30 C．45 D．75
【思路点拔】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．
解：∵am＝3，an＝5，
∴a2m+n＝（am）2×an＝9×5＝45．
故选：C．
7．按如图所示的方式分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证的等式是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【思路点拔】分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再根据两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．
解：左边一幅图阴影部分面积为a2﹣b2，右边一幅图阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），
∵两幅图阴影部分面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
8．我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集：同样，如果引进“虚数”实数集就扩展到“复数集”．现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：i1＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，则i2023的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【思路点拔】根据已知得出变化规律进而求出答案．
解：∵il＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，
∴每4个数据一循环，
∵2023÷4＝505…3，
∴i2023＝i3＝﹣i．
故选：D．
9．在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式x2﹣3x﹣4．设x2﹣3x﹣4＝（x+a）（x+b），利用多项式相等得a＝﹣4，b＝1，故x2﹣3x﹣4可分解（x﹣4）（x+1）．此时，我们就说多项式（x2﹣3x﹣4）既能被（x﹣4）整除，也能被（x+1）整除．根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（ ）
（1）（x2+3x+2）能被（x+1）整除；
（2）若（x2﹣4x﹣5）能被（x+a）整除，则a＝1或a＝﹣5；
（3）若（x3+ax2+bx﹣3）能被（x2+2x+3）整除，则a＝1，b＝1．
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拔】对所给多项式进行因式分解即可解决问题．
解：因为x2+3x+2＝（x+1）（x+2），
所以（x2+3x+2）能被（x+1）整除．
故（1）正确．
因为x2﹣4x﹣5＝（x+1）（x﹣5），且（x2﹣4x﹣5）能被（x+a）整除，
所以x+1＝x+a或x﹣5＝x+a，
则a＝1或﹣5．
故（2）正确．
因为（x3+ax2+bx﹣3）能被（x2+2x+3）整除，
所以将整式x3+ax2+bx﹣3因式分解后，有一个因式为x2+2x+3，
则令x3+ax2+bx﹣3＝（x+c）（x2+2x+3），
所以x3+ax2+bx﹣3＝x3+（c+2）x2+（2c+3）x+3c，
对比两边系数可知，
，
解得．
故（3）正确．
故选：D．
10．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（ ）
①log61＝0；
②log323＝3log32；
③若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0；
④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拔】根据对数的定义和乘方解题即可．
解：∵60＝1，
∴log61＝0，说法①符合题意；
由于dm dn＝dm+n，设M＝dm，N＝dn，
则m＝logdM，n＝logdN，
于是logd（MN）＝m+n＝logdM+logdN，说法④符合题意；
则log323＝log3（2×2×2）＝log32+log32+log32＝3log32，说法②符合题意；
设p＝logab，则ap＝b，
两边同时取以c为底的对数，
，则plogca＝logcb，
所以即，
则log23，
∵log2（3﹣a）＝log827＝log23，
∴a＝0，说法③符合题意；
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．计算的值等于 4 ．
【思路点拔】利用积的乘方法则计算即可．
解：原式＝（1.25）2023×（）×5
＝（﹣1）2023×（）×5
＝（﹣1）×（）×5
＝4，
故答案为：4．
12．因式分解a2+a﹣6的结果是 （a﹣2）（a+3） ．
【思路点拔】利用十字相乘法进行因式分解即可．
解：a2+a﹣6＝（a﹣2）（a+3）．
13．若a2+a﹣2024＝0，代数式（a2﹣2024）（a+1）的值是 ﹣2024 ．
【思路点拔】首先根据a2+a﹣2024＝0，可得a2﹣2024＝﹣a，把a2﹣2024＝﹣a代入（a2﹣2024）（a+1）；然后把a2+a＝2024代入化简后的算式计算即可．
解：∵a2+a﹣2024＝0，
∴a2﹣2024＝﹣a，
∴（a2﹣2024）（a+1）
＝﹣a（a+1）
＝﹣（a2+a）．
∵a2+a﹣2024＝0，
∴a2+a＝2024，
∴原式＝﹣（a2+a）＝﹣2024．
故答案为：﹣2024．
14．因式分解：a2+2a（b+c）+（b+c）2＝ （a+b+c）2 ．
【思路点拔】利用完全平方公式因式分解即可．
解：原式＝[a+（b+c）]2
＝（a+b+c）2，
故答案为：（a+b+c）2．
15．若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为 ﹣2 ．
【思路点拔】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可．
解：（x2+2x+4）（x+k）
＝x3+2x2+4x+kx2+2kx+4k
＝x3+（2+k）x2+（4+2k）x+4k，
∵展开后不含有一次项，
∴4+2k＝0，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．已知（x+m）（x﹣n）＝x2﹣4x﹣2，则m+n＝ ．
【思路点拔】先利用多项式乘多项式法则计算已知条件中等式的左边，然后根据右边得到m﹣n＝﹣4，mn＝2，再灵活利用完全平方公式求出m+n即可．
解：（x+m）（x﹣n）
＝x2﹣nx+mx﹣mn
＝x2+（m﹣n）x﹣mn，
∵（x+m）（x﹣n）＝x2﹣4x﹣2，
∴m﹣n＝﹣4，mn＝2，
∴（m﹣n）2＝16，
m2+n2﹣2mn＝16，
m2+n2﹣2×2＝16，
m2+n2＝20，
∴（m+n）2
＝m2+n2+2mn
＝20+2×2
＝20+4
＝24，
∴，
故答案为：．
17．如图，两个正方形边长分别为m，n，如果m+n＝mn＝5，则阴影部分的面积为 5 ．
【思路点拔】先根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积，再利用完全平方公式的变形求解代数式的值即可．
解：∵两个正方形边长分别为m，n，
∴阴影部分的面积为：；
∵m+n＝mn＝5，
∴原式
＝5．
故答案为：5．
18．定义：Φ[a，b，c]是以a、b、c为系数的二次多项式，即Φ[a，b，c]＝ax2+bx+c，其中a、b、c均为实数．例如Φ[1，2，3]＝x2+2x+3、Φ[2，0，﹣2]＝2x2﹣2．
①当x＝2时，求Φ[1，1，1]×Φ[﹣1，﹣1，﹣1]＝ ﹣49 ；
②若Φ[p，q，﹣1]×Φ[m，n，﹣2]＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，求（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝ ﹣6 ．
【思路点拔】①根据Φ[a，b，c]定义即可代入计算；
②根据Φ[a，b，c]定义分别求出p，q，m，n的关系，再代入计算即可求解．
解：①Φ[1，1，1]×Φ[﹣1，﹣1，﹣1]＝（x2+x+1）×（﹣x2﹣x﹣1）＝﹣（x2+x+1）2，
当x＝2时，原式＝﹣（x2+x+1）2＝﹣（22+2+1）2＝﹣49，
故答案为：﹣49；
②Φ[p，q，﹣1]×Φ[m，n，﹣2]
＝（px2+qx﹣1）×（mx2+nx﹣2）
＝pmx4+（pn+qm）x3+（﹣2p+qn﹣m）x2+（﹣n﹣2q）x+2
＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，
∴，
（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）
＝8pm﹣4pn﹣4p﹣4qm+2qn+2q﹣2m+n+1
＝8pm﹣4（pn+qm）+2（﹣2p+qn﹣m）﹣（﹣n﹣2q）+1
＝8×2﹣4×1+2×（﹣10）﹣（﹣1）+1
＝16﹣4﹣20+1+1
＝﹣6，
故答案为：﹣6．
三．解答题（共8小题）
19．计算：
（1）（﹣2）3
（2）（﹣x2）5÷x+2x6 x3
（3）（9x2y3﹣27x3y2）÷（3xy）2
（4）（x+2）2﹣x（x+1）
（5）（2x2）3﹣3x3（2x3+3x2）
【思路点拔】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及单项式乘以单项式法则计算，合并即可得到结果；
（3）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及多项式除以单项式法则计算即可得到结果；
（4）原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
（5）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
解：（1）原式＝﹣8﹣1+9
＝0；
（2）原式＝﹣x9+2x9
＝x9；
（3）原式＝（9x2y3﹣27x3y2）÷（9x2y2）
＝y﹣3x；
（4）原式＝x2+4x+4﹣x2﹣x
＝3x+4；
（5）原式＝8x6﹣6x6﹣9x5
＝2x6﹣9x5．
20．把下列各式因式分解：
（1）8m2﹣12mn
（2）x2+6x+9
（3）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）
（4）16x4﹣8x2y2+y4．
【思路点拔】（1）直接提公因式4m进行分解即可；
（2）直接利用完全平方进行分解即可；
（3）首先提公因式x﹣y，再次利用平方差进行二次分解即可；
（4）首先利用完全平方进行分解，再次利用平方差进行二次分解即可．
解：（1）原式＝4m（2m﹣3n）；
（2）原式＝（x+3）2；
（3）原式＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）；
（4）原式＝（4x2﹣y2）2＝（2x+y）2（2x﹣y）2．
21．已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．
【思路点拔】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2＝4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．
解：（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）＝mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，
因为该多项式是四次多项式，
所以m+2＝4，
解得：m＝2，
原式＝2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2
∵多项式不含二次项
∴3+12n＝0，
解得：n，
所以一次项系数8﹣3n＝8.75．
22．若a2﹣4a+b2﹣10b+29＝0，求a2b+ab2的值．
【思路点拔】由a2﹣4a+b2﹣10b+29＝0可化为两个完全平方的形式，根据非负数相加等于0，所以各个非负数都为0进行解答．
解：∵a2﹣4a+b2﹣10b+29＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣5﹣0，
则a＝2，b＝5，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝2×5×（2+5）＝70．
23．（1）阅读下列文字与例题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如：
am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；
x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）．试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2＝ （a+b）（a+b+c）
（2）利用分解因式说明：（n+5）2﹣（n﹣1）2能被12整除．
【思路点拔】（1）根据分组分解因式的方法，将所求式子分组为（a2+2ab+b2）+（ac+bc）即可求解；
（2）利用平方差公式将式子化为（n+5）2﹣（n﹣1）2＝（n+5+n﹣1）（n+5﹣n+1）＝12（n+2），即可证明．
解：（1）a2+2ab+ac+bc+b2＝a2+2ab+b2+ac+bc＝（a+b）2+c（a+b）＝（a+b）（a+b+c）；
故答案为（a+b）（a+b+c）；
（2）（n+5）2﹣（n﹣1）2＝（n+5+n﹣1）（n+5﹣n+1）＝6（2n+4）＝12（n+2），
∵12（n+2）能被12整除，
∴（n+5）2﹣（n﹣1）2能被12整除．
24．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如：
．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）仿照材料的方法，分解因式：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，请判断△ABC的形状．
【思路点拔】（1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可；
（2）把多项式变形为（x+2）2﹣7，然后根据偶数次方的非负性即可得出多项式的最小值；
（3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
解：（1）x2+2x﹣8
＝（x+1）2﹣9
＝（x+1+3）（x+1﹣3）
＝（x+4）（x﹣2）；
（2）x2+4x﹣3
＝（x+2）2﹣7，
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2﹣7≥﹣7，
∴x2+4x﹣3的最小值为﹣7；
（3）∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，
∴a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
又（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，（c﹣5）2≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴a2+b2＝32+42＝52＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
25．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b）的正方形，B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．
（1）已知大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，求长方形B的面积；
（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝ 9 ．
（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从这18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？请你直接写出答案．
范例：拼法一：拼出一个长方形，长为 3a+5b ，宽为 2b ；
拼法二：拼出一个正方形，边长为 a+3b ；
（注：以上范例中的拼法次数仅供参考，请写出全部答案）
【思路点拔】（1）用代数式表示图形面积，再分解即可．
（2）先表示所拼的长方形面积，再对照三种卡片面积求出x，y，z的值即可．
（3）通过因式分解找到正方形或长方形的边长．
解：（1）∵大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34．
∴a2+b2＝169，a+b17．
∴（a+b）2＝289．
∴a2+b2+2ab＝289．
∴ab60．
∴长方形B的面积是60．
（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2．
A的面积是a2，B的面积ab，C的面积b2．
∴x＝2，y＝5，z＝2．
∴x+y+z＝9．
故答案为9．
（3）当拿掉2张C，则：∵a2+6ab+9b2＝（a+3b）2．
∴拼成的正方形边长为a+3b．
当拿掉1张A，1张B，则5ab+11b2＝b（5a+11b）．
∴拼成的长方形的长为5a+11b，宽为b．
当拿掉1张A，1张C，则6ab+10b2＝2b（3a+5b）．
∴拼成的长方形的长为（3a+5b），宽为：2b．
故答案为：长方形，3a+5b，2b．
正方形，a+3b．
26．阅读下列材料：
1637年笛卡尔（R．Descartes，1596﹣1650）在其（几何学）中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为，若一个高于二次的关于x的多项式能被（x﹣a）整除，则其一定可以分解为（x﹣a）与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为0时，x＝a是关于x的这个方程的一个根．例如：多项式x2+9x﹣10可以分解为（x﹣1）与另外一个整式M的乘积，即x2+9x﹣10＝（x﹣1）M，令x2+9x﹣10＝0时，可知x＝1为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：x3+2x2﹣3．
观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．
令：x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c），
而（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，
因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，
从而x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+3x+3）．
此时，不难发现x＝1是方程x3+2x2﹣3＝0的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若取任意值，等式x3+x+1＝x3+（4﹣a）x+1恒成立，则a的值为 3 ．
（2）若多项式3x4+ax3+bx﹣34含有因式x+1及x﹣2，求a+b的值．
（3）若多项式6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y+a可以分解为两个一次因式之积，求a的值并将该多项式分解因式．
【思路点拔】（1）由题干得对应系数相等即可求得答案；
（2）根据题意可得原方程的解，代入即可求得其包含的系数，即可求得代数式的值；
（3）由多项式可得部分因式之积，根据笛卡尔的“待定系数法”原理，可得设分解为两个一次因式之积[（2x+y）+c][（3x﹣2y）+d]，即可求得对应系数，进一步将多项式分解因式．
解：（1）根据题意得4﹣a＝1，
解得a＝3；
（2）根据题意得3x4+ax3+bx﹣34＝（x+1）（x﹣2）M，则x＝﹣1和x＝2为3x4+ax3+bx﹣34＝0的解，即可得：
，
解得，
∴a+b＝8﹣39＝﹣31；
（3）∵6x2﹣xy﹣2y2＝（2x+y）（3x﹣2y），
∴6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y+a可以分解为[（2x+y）+c][（3x﹣2y）+d]，
则[（2x+y）+c][（3x﹣2y）+d]＝6x2﹣xy﹣2y2+（2d+3c）x+（d﹣2c）y+cd，
∴，
解得，
则6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y+a
＝6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y﹣6
＝[（2x+y）+3][（3x﹣2y）﹣2]
＝（2x+y+3）（3x﹣2y﹣2）．
