江苏省无锡市第一中学2025届高三上学期10月阶段性质量检测数学试题（含答案）

江苏省无锡市第一中学2025届高三上学期10月阶段性质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若虚数使得是实数，则满足( )
A. 实部是 B. 实部是 C. 虚部是 D. 虚部是
2.已知集合，若，则实数的取值集合为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知在中，，，，，在上，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.设数列的前项和为，且，为常数列，则 ．
A. B. C. D.
6.已知，均为正实数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数其中是自然对数的底数，若关于的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设是公差为的等差数列，是其前项和，且，，则( )
A. B. C. D.
10.若函数的部分图象如图中实线所示，记其与轴在原点右侧的第一个交点为，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下说法正确的是
A. 函数的最小正周期是
B. 函数在上单调递减
C. 函数的图象向左平移个单位后关于对称
D. 若圆的半径为，则
11.已知函数，，若存在，，使得成立，则( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，且则 ．
13.复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：；两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ．
14.若函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，设．
求函数的最小正周期；
若，且，求的值．
16.本小题分
已知数列满足，，，表示数列的前项和
求证：
求使得成立的正整数的最大值
17.本小题分
已知函数，，分别是的极大值点和极小值点．
若，，，求的值；
若，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在中，，点在边上，且，．
若，求；
求面积的最小值．
19.本小题分
定义函数．
求曲线在处的切线斜率；
若对任意恒成立，求取值范围；
讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．注：是自然对数的底数
参考答案
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14.
15.解：，
，
的最小正周期为；
由得，
由得，
所以，
此时


16.解：
证明：由得
累加得
于是．
由，，得：对任意，，
进而，故数列单调递增，
由可知，故，
于是只需求使得最大的正整数，
从而只需求使得最大的正整数，
由，，列举得：，，，，，，，，，，，
结合数列单调递增，于是使得最大的正整数为．

17.解：
当时，，
所以，
令，得或．
列表如下：
极大值 极小值
所以在处取极大值，即，且．
由，所以，即，
所以．
因为，所以，
所以．
由，因为，分别是的极大值点和极小值点，
所以，是方程的两个不相等的实根，且，即，
所以
因为
，
因为，所以，解得．
综上，．

18.解：因为，，，
在中，由正弦定理知：，
所以，
所以，
所以，
又在中，，
所以．
在中，，
所以，
在中，，
所以，
因为，
所以令，
，，
所以时有最小值，
即当时，的面积有最小值．
19.解：
由，
可得，
所以曲线在处的切线斜率．
若对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
令，则，
由解得，或；由解得，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，且当时，，
故的最小值为，
故，即的取值范围是．
，
当时，，
因此当为奇数时，，
此时
则，所以单调递减，
此时，显然有唯一零点，无最小值，
当时，
，
且当时，
，
由此可知此时不存在最小值，
从而当为奇数时，有唯一零点，无最小值，
当时，即当为偶数时，，
此时
由，解得；由，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，
即，所以当为偶数时，没有零点，
即当为偶数时，没有零点，存在最小值，
综上所述，当为奇数时，有唯一零点，无最小值；
当为偶数时，没有零点，存在最小值

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