广东省广州市荔湾区2025届高三上学期调研测试数学试题（含答案）

广东省广州市荔湾区2025届高三上学期调研测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.元代数学家朱世杰编著的算法启蒙中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为( )
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数和是相邻的两个零点，则( )
A.
B. 在区间上单调递减
C.
D. 直线是曲线的切线
6.已知椭圆与抛物线，椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩服从正态分布，女生成绩服从正态分布则( )
A. B.
C. D.
10.设函数，则( )
A. 是的极小值点 B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
11.在圆锥中，母线，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则( )
A. 当时，圆锥内接圆柱体的体积最大值为
B. 当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为
C. 当时，圆锥能在棱长为的正四面体内任意转动
D. 当时，棱长为的正四面体能在圆锥内任意转动
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若是夹角为的两个单位向量，则 ．
13.在一次活动上，四位同学将自己准备好的一张贺卡放在纸箱中，随后每人随机从中抽取一张，则四位同学均未取到自己的贺卡的概率为 ．
14.如图，某数阵满足：各项均为正数，每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，，则 ， ．



四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，四棱锥中，底面是平行四边形，是正三角形，．
证明：平面平面
求二面角的余弦值．
17.本小题分
在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间单位：小时，得到如下样本数据的频率分布直方图．
求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；同一组数据用该区间的中点值作代表
为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；
以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值．
18.本小题分
已知函数．
若，求实数的取值范围；
若，求的最大值．
19.本小题分
已知双曲线的虚轴长为，离心率为．
求双曲线的标准方程；
为了求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，可得因为，可得重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，故得若方程的正整数解为，且初始解为．
证明：；
的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：中，，
由正弦定理得，
又，
则有，由，，
则，得，
由，则，得．
，则，由，得，
由余弦定理，
得，得，
所以的周长为．

16.解：取中点，连接，
因为是正三角形，为中点，
所以，且，
又，由余弦定理得，
则，故，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
如图，连接，则，
所以，故，
如图，过作，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
设平面的一个法向量为，
则，取，
由图可知二面角的平面角为钝角，
二面角的余弦值为：
，．

17.解：由已知，解得，
所以平均数为
．
这名高中学生户外运动的时间分配，
在两组内的学生分别有人，和人；
所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，
所以，，
则分布列为
期望；
由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，
则，
若为最大值，则
即
即，解得，
又，且，则．

18.解：由题意得，则，
令，
显然时，，即此时单调递减，
时，，即此时单调递增，
所以，则，
实数的取值范围为；
若，则，
令，则，
若，则，此时在上单调递增，
当时，，不符合题意；
当，则时，，此时单调递增，
时，，此时单调递减，
即，
即，
所以，
令，
易知当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
即，
所以，
当且仅当时，，
所以的最大值为．

19.解：由题知，，解得，
所以双曲线的标准方程为．
由知双曲线的方程为，
由题知，方程的初始解为，
根据循环构造原理可得：，
所以，
因为
，
，
所以．
记，，
则
，
记，
则
．

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