2024-2025学年黑龙江省大庆市大庆外国语学校高三（上）第一次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省大庆外国语学校高三（上）第一次质检
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.欧拉公式是瑞士数学家欧拉发现的，若复数的共轭复数为，则( )
A. B. C. D.
3.在中，三边长，，，则的值等于( )
A. B. C. D.
4.已知函数与，则下列说法错误的是( )
A. 与存在相同的对称轴 B. 与存在相同的对称中心
C. 与的值域相同 D. 与在上有相同的单调性
5.若为偶函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知某羽毛球小组共有名运动员，其中一级运动员人，二级运动员人，三级运动员人现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为，，，则这名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆和抛物线相交于、两点，直线过抛物线的焦点，且，椭圆的离心率为则抛物线和椭圆的标准方程分别为( )
A. ； B. ；
C. ； D. ；
8.已知直线是曲线的切线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 若随机变量，且，则
B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于
C. 若随机事件，满足：，则事件与相互独立
D. 已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为
10.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则( )
A. 的图象关于对称 B. 的图象关于对称
C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若在上单调递增，则的取值范围是
B. 点为曲线的对称中心
C. 若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足：，，则 ______．
13.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．
14.已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求的最小值；
若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
16.本小题分
在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且．
若，求的大小；
若，求的取值范围．
17.本小题分
如图，已知斜三棱柱中，侧面侧面，侧面是矩形，侧面是菱形，，，点是棱的中点．
证明：平面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近个工作日每日的汽车销售情况进行统计，如图所示．
求的值以及该公司这个工作日每日汽车销售量的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择天，记汽车销售量在区间内的天数为，求的分布列及数学期望；
为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有，两个盒子，其中盒中放有张金卡、张银卡，盒中放有张金卡、张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次抽奖，中途可更换盒子，卡片结果的排列对应相应的礼品已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率．
19.本小题分
已知双曲线：，点在上按如下方式构造点；过点作斜率为的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为
求点，的坐标；
记，证明：数列为等比数列；
为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值．
参考答案
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15.解：当时，，则，
由，解得；由，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
．
由，得．
当时，由，解得；由，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
．
不等式恒成立，，解得．
当时，，不符合题意．
综上，实数的取值范围为．
16.解：因为 ，
所以
由余弦定理可得： ，
，
或．
若，，则舍去．
若，，则．
故A．
若三角形为非等腰三角形，则且，
又三角形为锐角三角形，
，
，
故．
正弦定理：可得 ，

17.解：证明：因为侧面是矩形，
所以，
又因为侧面侧面 ，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
菱形中，，所以是等边三角形，
又是的中点，所以，得，
又，，平面，
所以平面C.
由，如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
因为，所以，
因此，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
由，得，
由，得，
令，得，
设平面的法向量为，
由，得，
由，得，
令，得，
．
所以二面角的余弦值为．
18.解：依题意得，
解得，
所求平均数为．
因汽车销售量在区间内的概率为，
在所有工作日中随机选择天，相当于一个重伯努利试验，故，
则，，
，，
，
故．
设“选到盒”为事件，“选到盒”为事件，摸到金卡”为事件，摸到银卡”为事件，
因为，是对立事件，而，则．
由题意得，
所以，
则．
故所求的概率．
19.解：由题知，
所以双曲线：，
又过点，斜率为的直线方程为，
由双曲线与直线的对称性可知，所以，
又过，且斜率为的直线方程为，即，
由，解得或，
当时，，
所以，所以；
证明：设，
则过，且斜率为的直线方程为，
联立，消得到，
由题有，
得到，
由题知点在直线上，
即有，
所以，
因为，
则，
由知，
所以数列为为首项，的公比的等比数列；
由知，
所以，
由，，
得，
则，
，
故，，
，，
故，
，
即，
则，
则
，
，
故．
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