【新情境·新趋势】北师大版初中数学九年级上册期中情境模拟卷2（含解析）

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初三数学上册期中考试复习卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．用配方法解一元二次方程时，配方后所得的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．在一个不透明的盒子中装有颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在，则盒子中黑色棋子可能有（ ）
A．5颗 B．10颗 C．18颗 D．26颗
3．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．6 B． C．2 D．
4．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在和中，，，M是的中点，连接，，，若，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（ ）
A．1 B．3 C．1 或 D．1 或 3
7．如图，在菱形中，，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动过程中，的长度（ ）
A．逐渐增加 B．先减小再增加 C．恒等于 D．恒等于4
8．（新情景试题·社会热点型）在2023年国家医保药品目录调整的现场谈判环节中，某药品售价为25元，经过两次“灵魂砍价”，若每次降价的百分率都为，最终以元的价格进入医保药品目录，则与的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．某市中考体育考试考查5个项目，具体规定是：项目必考，再从，，，四项中随机抽考两项，则抽考两项恰好是，两项的概率是 ．
10．如图，已知长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，点C落在，点B落在，若，则的度数为 ．
11．（新情景试题·新定义问题）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ．
12．（新情景试题·生活应用型）如图，在宽为、长为的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块作为试验田，假设试验田面积为，则道路的宽为 ．
13．如图，中，，点，分别是，的中点，在上找一点，使最小，则这个最小值是 ．
三、解答题（本题共13小题，共81分。其中：14-20每题5分，21题每题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题10分）。
14．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根也都是整数，求m的值
15．（新情景试题·学科交叉型）中国有着悠久的历史文化，一个个非物质文化遗产被国家和世界所肯定，在娱乐匮乏的古代社会，中国的民间文学类非物质文化遗产无不表达人们对美好生活的期盼．为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁、戊五位班干部准备从A．牛郎织女传说、B．蔡伦造纸传说、C．仓颉传说、D．陕北民谚、E．三顾茅庐这五个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的张卡片中随机抽取一张，以所抽取的卡片正面内容为准进行讲解．
(1)甲所抽取的卡片正面是C．仓颉传说的概率为________；
(2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙二人中，有一个人讲解E．三顾茅庐这个故事传说的概率．
16．已知的两条直角边长是一元二次方程的两根．
(1)当时，求的周长；
(2)当为等腰直角三角形时，求的值．
17．如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
18．如图，已知四边形中，，E是的中点．

(1)求证：：
(2)若，，求的度数．
19．（新情景试题·生活应用型）如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化．
(1)用含有、的式子表示绿化的面积；
(2)若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积．
20．（新情景试题·游戏活动型）有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来．
(1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率；
(2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．
21．（新情景试题·社会热点型）芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．试解决下列问题：
(1)求前三季度生产量的平均增长率；
(2)按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？
22．用适当的方法解下列方程
(1)．
(2)．
23．（新情景试题·生活应用型）我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个．该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ；
(2)请补全条形统计图，若该中学有2000名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有
人；
(3)从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
24．（新情景试题·生活应用型）某商店对最新款台灯的销量进行统计，经统计7月份台灯的销售量为个，9月份台灯的销售量为个．
(1)求该款台灯7月份到9月份销售量的月平均增长率；
(2)若该台灯的进价为元/个，当售价为元/个时，月销售量为个，在此基础上售价每上涨1元，月销售量就会减少个，为了实现每月元的销售利润，而且尽可能让顾客得到实惠，则每个台灯的售价应定多少元？
25．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知，，点D为x轴上一点，坐标为，连接点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．
(1)连接，当点P在线段上运动，且满足时，求直线的表达式；
(2)连接，求点P在整个运动过程中的面积S关于t的函数表达式；
(3)在点P的运动过程中，是否存在某个位置使得为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
26．（新情景试题·综合与实践）【问题探究】
（1）如图1，在菱形中，，点E、F分别在边、上，连接、、，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，求证：；
【问题解决】
（2）如图2，有一个正方形草地，，现计划将该草地扩建成四边形，，，连接，与边有交点，交点为M，边与边有交点，交点为N，连接，计划沿三边修建围栏，在区域建儿童活动区，请求出需要围栏的总长（即的周长）．
答案解析部分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B A A C D A
1．A
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方把左边配成完全平方式即可，掌握配方法是解题的关键．
【详解】解：移项得，，
配方得，，
即，
故选：．
2．C
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【详解】解：设盒子中黑色棋子可能有x颗，
经检验，符合题意．
∴盒子中黑色棋子可能有颗．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关键，完全平方公式变形应用；掌握一元二次方程根与系数的关系是关键；由根与系数的关系得：，；通分后运用完全平方公式即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，；
∴；
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
同时闭合、，灯泡会发光，根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，根据概率公式，即可解答．
【详解】解：同时闭合、，灯泡会发光，
根据题意列出表格如下：
由表可知，应该有6种情况，能使灯泡发光的情况有2种，
∴能使灯泡发光的概率．
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查直角三角形的性质及勾股定理，掌握直角三角形斜边的中线是斜边的一半是解题的关键，过点M作于E，首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理求出的长度，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：过M作于E，
∵，，M是的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
∴的面积为，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是分两种情况考虑，画出对应图形．
分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，当时，

矩形中，，，
∴，
由折叠性质可得：，，，则点在上，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴，则，
如图，当时，

∴，
由折叠性质可得：，
∴四边形为正方形，
∴，则，
综上，或1，
故选．C．
7．D
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，证明三角形全等．
连接，由菱形的性质推出，判定、是等边三角形，得到，由，推出，判定，得到，于是得到．
【详解】解：连接，
∵四边形是菱形，
，
∴、是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
8．A
【分析】本题主要考查二次函数的增长率问题．根据题意可知，原价为25元，第一次降价后的价格是元，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为，则即可求得函数关系式．
【详解】解：原价为25元，
第一次降价后的价格是，
第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，
则函数解析式为：，
故选：A．
9．
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中、两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：列表得：
项目必考，再从、、、四项中随机抽考两项，
共有12种等可能的结果，恰好选中、两位同学的有2种情况，
（恰好选中、．
故答案为：．
10．
【分析】根据平行线的性质得到，由折叠得：，利用两个平角定义，最后根据三角形内角和等于即可求出答案．
本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
【详解】解：∵长方形纸片，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可．
【详解】解： 与是“同族二次方程”，
，
∴，
，
∴，
，
最小值为，
最小值为，
即最小值为．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了平移的性质，一元二次方程的应用，设道路的宽为，则试验田平移后构成的长方形的长为，宽为，根据题意列出方程即可求解，根据图形正确列出方程是解题的关键．
【详解】解：设道路的宽为，则试验田平移后构成的长方形的长为，宽为，
由题意得，，
整理得，，
解得，（不合，舍去）
∴道路的宽为，
故答案为：．
13．
【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值．本题考查了等腰直角三角形的性质,垂直平分线的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识的综合应用，解题时注意转化思想的运用．
【详解】解：如图，连接，，
∵中，，
∴是等腰直角三角形
∵点是的中点，
∴是的中线，
∴，
即是的垂直平分线，
则，
，
当、、三点共线时，的值最小，
中，， 是的中点，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程：
（1）根据题意只需要证明即可；
（2）利用十字相乘法把原方程左边分解因式得到，则可解得，再根据m为正整数，方程的两个解都为整数进行求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得，
，
∵，
∴，
∴原方程有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∵m为正整数，且关于x的一元二次方程的两个根也都是整数，
∴是整数，
∴．
15．(1)；
(2)有一个人讲解E．三顾茅庐的概率为．
【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可；
（）画出树状图，利用概率公式计算即可；
本题考查了概率公式求概率，树状图法或列表法求概率，熟练掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键．
【详解】（1）解：∵一共有A．牛郎织女传说、B．蔡伦造纸传说、C．仓颉传说、D．陕北民谚、E．三顾茅庐这五个故事传说，
∴甲所抽取的卡片正面是C．仓颉传说的概率为，
故答案为：；
（2）解：根据题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，有一个人讲解E．三顾茅庐的结果数为种，
∴有一个人讲解E．三顾茅庐的概率为．
16．(1)12
(2)的值为
【分析】本题考查了根与系数的关系．也考查了等腰直角三角形的性质．
（1）当时，利用因式分解法解方程得到直角三角形的两直角边分别为3，4，然后利用勾股定理计算出斜边，从而得到三角形的周长；
（2）利用判别式的意义得到，解得，再利用根与系数的关系得到两直角边的和为，则．
【详解】（1）解：当时，
方程为，
∴，
∴，，
此时两直角边长分别为3，4，
则斜边，
∴的周长为；
（2）解：当为等腰直角三角形时，即方程有两个相等的实数根，
则，
∴，
∴，
∵两根之和为，
∴，
∴舍去；
当时，方程，
∴，
∴的值为．
17．(1)矩形
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是：
（1）先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形的判定即可得证；
（2）先利用菱形的性质得出，，，然后勾股定理求出，然后利用等面积法求出，即可求解．
【详解】（1）证明：在菱形中，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键；
（1）由直角三角形斜边上中线的性质得：，即可得证；
（2）由（1）知，由等边对等角得：，由三角形外角性质求得的度数，则由即可求解．
【详解】（1）证明：∵，E是的中点，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∴，
∴．
19．(1)
(2)平方米
【分析】本题考查多项式乘多项式，
（1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可；
（2）把相应的值代入（1）中运算即可；
解答的关键是掌握相应的运算法则和公式．
【详解】（1）解：由题意得：
（平方米），
∴绿化的面积为平方米；
（2）当，时，
（平方米），
∴此时绿化的面积为平方米．
20．(1)；
(2)不公平，理由见详解
【分析】本题考查了概率及利用列表法求概率判断游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握概率的求法是解题关键，即如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率是．
（1）列举出所有可能数，再利用概率公式即可求出概率；
（2）利用列表法列举所有可能的结果，再利用概率公式求出两人的获胜概率即可得出答案．
【详解】（1）解：第一次抽取卡片共有4种等可能的结果，其中卡片上数字是正数的结果有2种，
∴第一次抽取的卡片上数字是正数的概率是；
（2）解：列表如下：
0 1 2
1 0
0 0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 4
由表可知，共有16种等可能结果，其中结果为负数的有4种结果，结果为正数的有5种结果，
所以小亮获胜的概率，小明获胜的概率，
∴此游戏不公平．
21．(1)前三季度生产量的平均增长率为
(2)该目标不能实现
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确的列方程求解是解题的关键；
（1）根据平均增长率问题列方程求解即可；
（2）根据增长率求出第四季度的芯片生产量再比较作答即可．
【详解】（1）解：设前三季度生产量的平均增长率为x，
依题意得：，
解得：（舍去），
答：前三季度生产量的平均增长率为；
（2）解：第四季度的芯片生产量为万个，
，
该目标不能实现．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选用解方程的方法是关键．
（1）移项后，用直接开平方法求解即可；
（2）提取公因式即可利用因式分解求解．
【详解】（1）解：移项，得：，
开平方，得：，
∴；
（2）解：，
即，
∴或，
∴．
23．(1)200；
(2)条形统计图见解析，600
(3)树状图见解析，恰好抽到甲、丙两名同学的概率为
【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用树状图法求概率．
（1）由选择C专业的人数除以所占百分比即可求出总数，由乘以选择A（旅游管理）专业的人数所占的比例即可得出扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数；
（2）求出B专业的人数，补全条形统计图即可，根据该中学选择“信息技术”专业意向的学生所占比例估计实际人数；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次被调查的学生有（人）．
扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：
．
（2）解：条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
（人）．
∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生约有600人．
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共2种，
∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为．
24．(1)
(2)元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
（1）设月平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可；
（2）设每个台灯的售价应定价为元，依题意得，，整理得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：设月平均增长率为，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴月平均增长率为；
（2）解：设每个台灯的售价应定价为元，
依题意得，，整理得，，
解得，，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
∴每个台灯的售价应定元．
25．(1)
(2)
(3)存在，点P坐标为或或或
【分析】本题是一次函数综合题，考查矩形的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用三角形全等分类讨论作答．
（1）由全等三角形的性质可求，利用待定系数法可求解析式；
（2）分两种情形讨论，由三角形的面积公式可解决问题；
（3）分三种情形讨论，由等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
，
，
当时，，，
设直线的解析式为，
则：，
直线的解析式为；
（2）解：当点P在线段上时，如图1中，
，
当点P在线段上时，如图2中，
则，，
∴，
综上所述，；
（3）解：如图3中，
，，
，
①当时，；
②当时，当点在上时，点与点C关于直线对称，
；
当点在上时，，
；
④当时，设，
则：，
解得，
；
综上所述，满足条件的点P坐标为或或或．
26．（1）见详解；（2）需要围栏的总长为
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及正方形、菱形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及正方形、菱形的性质是解题的关键；
（1）由题意易得，然后可得，则可知，进而问题可求证；
（2）延长，交于点H，由题意易得四边形是正方形，然后可得，进而可得，然后问题可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
由旋转可知：，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：延长，交于点H，如图所示：
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴；
即需要围栏的总长为．