【新情境·新趋势】北师大版初中数学九年级上册期中情境模拟卷1（含解析）

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初三数学上册期中考试复习卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角
2．（新情景试题·生活应用型）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（新情景试题·生活应用型）某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．4 B． C． D．2
5．解一元二次方程时，可以将其转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（ ）
A．2 B． C．1 D．无法确定
7．（新情景试题·生活应用型）如图，青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形对角线与交于点，，则菱形的面积为（ ）
A．48 B．96 C．24 D．6
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（新情景试题·游戏活动型）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据：
抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000
杯口朝上频数 5 15 100 168 330 660 1100
杯口朝上频率 0.1 0.15 0.2 0.21 0.22 0.22 0.22
估计任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为 （结果精确到0.1）
10．如图，P是矩形内的任意一点，连接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，．给出以下结论：①；②；③若，则，其中正确结论的序号是 ．
11．（新情景试题·生活应用型）在学校运动会中，运动员小明与小刚各自要从铅球、跳高、跳远三个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是 ．
12．（新情景试题·生活应用型）某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价 ．
13．如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为 ．

三、解答题（本题共13小题，共81分。其中：14-20每题5分，21题每题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题10分）。
14．（新情景试题·游戏活动型）某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片．
(1)第一学习小组抽到《五经算术》的概率是__________________________．
(2)若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率．
某楼盘准备以每平方米9000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持续观望，房地产开发商为了加快资金周转，价格经过两次下调后，以每平方米7290元的均价开盘销售．求平均每次下调的百分率．
16．已知关于的一元二次方程．
(1)判断方程根的情况；
(2)设，是方程的两个根，求的值．
17．如图，点是正方形的边上的动点，，且，．
求证：．
18．若关于x的方程有两个实数根，．
(1)求m的取值范围；
(2)若满足，求实数m的值．
19．如图，在四边形中，，，，，点M从点D出发，以的速度向点C运动，同时点N从点B出发，以的速度向点A运动，点N到达点A停止，同时点M也停止，当点M运动多长时间时，四边形为矩形．
20．（新情景试题·游戏活动型）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
摸到白球的频率
(1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）；
(2)若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出白球”为必然事件，则 ；
(3)若先从袋子中取出x个白球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求x的值．
21．解方程：
(1)；
(2)．
22．（新情景试题·生活应用型）某校为了加强反霸凌相关方面的教育，提高学生的法律意识，举办了“霸凌！”法律知 识竞赛，从中随机抽取20名学生的成绩(成绩得分用x 表示，单位：分)：94，83，83，86， 94，88，96，100，97，82，94，82，84，89，88，93，98，94，93，92．整理数据，得到频数分布表和扇形统计图．
等级 成绩/分 频数
A a
B 7
C 4
D 5
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；20名学生成绩的中位数是 ．
(2)若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数．
(3)已知 A 等级中有2名男生，现从 A 等级中随机抽取2名同学成为学校法律宣讲员，试用列表法或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率
23．如图，在四边形中，，过点D分别作于点E，于点F．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)猜想与的数量关系，并说明理由．
为了加块新旧电池动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出．根据市场调查发现：这种电子产品的销售单价定为100元时，每天可销售出200个；若销售单价每降低2元，每天可多售出5个，已知每个电子产品的固定成本为50元，这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利润3000元．
25．（新情景试题·材料阅读理解型）【教材呈现】
如图是华师版八年级下册数学教材平行四边形的性质章节中的部分内容．
探究如图，在中，连接，，并设它们相交于点，与，与有什么关系？
（1）如图，在中，与数量关系为______，与数量关系为______；
【性质应用】
（2）如图，的对角线相交于点，过点且与分别相交于点，连接．
求证：四边形是平行四边形；
若，，周长是，，则的长是______．
26．如图，是正方形内一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，与的平分线相交于．
(1)当四边形为菱形时，填空：______；
(2)试求的度数；
(3)如图，连接，交于，连接，当三点共线时，求证：四边形是菱形．
答案解析部分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A A C B B
1．B
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，根据正方形的判定和性质逐一判断即可解题．
【详解】解：A. 一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不符合题意；
B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴，说法正确，不符合题意；
D. 正方形的对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润销售量单位利润，设每台冰箱的定价元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，根据题意列方程即可；
【详解】解：设每台冰箱定价元时，种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，由题意得：
，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，画树状图，共有种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有种，再由概率公式求解即可，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．
【详解】解：把“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容分别记为，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的结果有种
∴他们两人选取的主题不同的概率是，
故选：．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
由题意得出，计算即可得出答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，根据直接开平方法求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
∴，
∴，
∴或
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，设与交于点，与交于点，证明，则面积面积，由此可得四边形面积面积，据此解答即可．
【详解】解：设与交于点，与交于点，
四边形，是正方形，
，．，，
，，
．
．
，
．
，
正方形的面积为，
，即两个正方形重叠部分的面积是
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目部分数目相应频率．部分的具体数目总体数目相应频率．
由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为．
【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查利用菱形性质计算菱形面积：对角线乘积的一半；直接根据菱形面积公式计算即可．
【详解】解：菱形对角线与交于点，，
菱形面积为，
故选：B．
9．0.2
【分析】本题考查用频率估计概率，根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率求解即可．
【详解】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在左右，故任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为0.2，
故答案为：0.2
10．②
【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对边相等可得，，设点到、、、的距离分别为、、、，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①②；根据三角形的面积公式即可判断③．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
设点到、、、的距离分别为、、、，
∴，
不能得出，故①错误，②正确；
根据，能得出，不能推出，即不能推出，故③错误；
故答案为：②．
11．
【分析】本题主要考查了列表法求概率，先列出表格得出所有可能出现的结果，进而得出符合条件的结果，再根据概率公式计算即可．
【详解】列表如下：
铅球 跳高 跳远
铅球 铅球，铅球 跳高，铅球 跳远，铅球
跳高 铅球，跳高 跳高，跳高 跳远，跳高
跳远 铅球，跳远 跳高，跳远 跳远，跳远
一共有9种符合条件的结果，每种结果出现的可能性相同，两人恰好都选择铅球项目的有1种，所以两人都选择铅球项目的概率是．
故答案为：．
12．25元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，利用平均每天售出的件数每件盈利每天的利润列出方程解答即可．
【详解】解：设每件衬衫应降价元．
根据题意得：，
整理，得，
解得，，
题目要求尽快减少库存，而选择降价越多则销售量越大，
取，
即若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价25元．
故答案为：25元．
13．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根据，即可得到的值．
【详解】解：∵，
∴矩形的面积为48，，
∴，
∵对角线交于点，
∴的面积为12，
∵
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
14．(1)；
(2)两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是．
【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可；
（）画出树状图，利用概率公式计算即可；
本题考查了概率公式，树状图或列表法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵共有张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，
∴第一学习小组抽到《五经算术》的概率是，
故答案为：；
（2）解：设正面分别写有《九章算术》，《周髀算经》，《五经算术》，《数術记遗》的卡片分别用表示，
画树状图，
一共有种等可能情况，两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》有种，
∴两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是．
15．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
设平均每次下调的百分率为，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果．
【详解】解：设平均每次下调的百分率为x．
，
解得：，（舍去）
答：平均每次下调的百分率为．
16．(1)方程有两个不相等的实数根
(2)
【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解；
（）利用根与系数的关系，，由，然后代入求解即可；
此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键．
【详解】（1）解：由整理得：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由（）得：，
∵，是方程的两个根，
∴，，
∴
．
17．证明见解析．
【分析】由四边形是正方形，得，，又，则，根据同角的余角相等得，再证明，由全等三角形的性质得，最后通过线段和差即可求证．
【详解】证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，线段和差，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是：
（1）由方程有两个实数根，得到，解不等式即可得到答案；
（2）根据，得出方程有两个相等的实数根，则，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
19．当点M运动秒时，四边形是矩形
【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键；设点N运动的时间为t，由题意易得，然后可得方程，进而问题可求解．
【详解】解：设点N运动的时间为t，由题意得，
∵，，
∴当时，四边形为矩形，
∴，
解得：，
∴当点M运动秒时，四边形是矩形．
20．(1)
(2)14
(3)1
【分析】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到白球的频率逐渐靠近于，
（2）根据白球的频率逐渐靠近于，从而得出摸到白球的概率，再用总球的个数乘以白球的概率即可得出盒子里白球的数量；根据盒子里有14个黑球，再根据“摸出白球”为必然事件，从而得出；
（3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近，
故答案为：；
（2）由（1）得白球的概率为，
故盒子里白球的数量为：(个)，
∴盒子里有个黑球，
∵若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，盒子里有14个黑球，“摸出白球”为必然事件，
，
故答案为：14；
（3）由（2）知白球6个，黑球14个，
根据题意得：
解得：，
则的值为1．
21．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
（）利用配方法将方程左边写成，再求解即可；
（）利用因式分解法将方程变形成，求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
22．(1)4，35，；
(2)名；
(3)．
【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，用样本估计总体，列表法与树状图法求概率等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）用20分别减去B、C、D等级的人数得到a的值，再计算B等级人数所占的百分比得到b的值，然后根据中位数的定义求出20名学生成绩的中位数；
（2）用2000乘以样本中A、B等级人数所占的百分比即可；
（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一男一女的结果数，然后根据概率公式求解；
【详解】（1）解：，
，
即，
将这20名学生的成绩从小到大的顺序排列，排在第10、11的成绩是：92、93，
∴20名学生成绩的中位数为：，
故答案为：4，35，；
（2）解：(名)，
∴估计该校2000名学生中，达到优秀等级的人数为1100名；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果数为8种，
∴恰好抽到一男一女的概率．
23．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：
（1）两组对边平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由此可证；
（2）结合菱形的性质，证明即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：．
理由：∵四边形为菱形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
24．这种电子产品降价后的销售单价为60元时，公司每天可获利润3000元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这种电子产品降价x元后，公司每天可获利润3000元，则每个电子产品的利润为元，销售量为个，再根据利润单个电子产品的利润销售量列出方程求解即可．
【详解】解：设这种电子产品降价x元后，公司每天可获利润3000元，
由题意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
∴，
∴这种电子产品降价后的销售单价为60元时，公司每天可获利润3000元．
25．（），；（）证明见解析；．
【分析】（）根据平行四边形的性质即可求解；
（）即可求证；
先证明四边形是正方形，得，，最后由勾股定理即可求解；
本题考查了平行四边形的判定，正方形的判定定理和性质定理，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（）∵四边形是平行四边形，
∴，，
故答案为：，；
（）证明：在中，
∵，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
由得四边形是平行四边形，
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵周长是，即，
∵，
∴，即，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：．
26．(1)；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】（）根据四边形为菱形，四边形是正方形，得，，，证明是等边三角形，则，通过等边对等角及角度和差即可求解；
（）由折叠性质得，则有，，设，则，通过角度和差及角平分线的定义即可求解；
（）由折叠性质得，则有，，由四边形是正方形，则，，由，，得，由平分，可得，证明，，，通过全等三角形的性质和菱形的判定方法求解．
【详解】（1）解：∵四边形为菱形，四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵四边形是正方形，
∴，，
∵将沿翻折得到，
∴，
∴，，
设，则，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
（3）∵将沿翻折，得到，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
由()得:，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵三点共线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．