方程的根与函数的零点

课件13张PPT。3.1.1方程的根与函数的零点一元二次方程 ( )的
根与二次函数 的图象有
什么关系?思考？先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，如：方程 与函数 方程 与函数方程 与函数（3，0）（-1，0）这样，方程 的两个实根就是函数
的图象与X轴交点的横坐标。方程 有两个根 ， ；函数 的图象与x轴有两个交点
（-1，0），（3，0），如左图。方程 有两个相等的实根
函数 的图象与X轴有惟一的交点（1，0），如左图。 这样，方程
的实数根就是函数
的图象与X轴的交点的横坐标。（1，0）方程 无实数根，函数
的图象与X轴没有交点，如左图。上述关系对一般的一元二次方程
及其相应的二次函数 也成立。零点的概念对于函数 ，我们把使 的实数X叫做函数 的零点。这样，函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与X轴的交点的横坐标，所以方程 有实数根 函数 有零点
函数 的图象与X轴有交点由些可知，求方程 的实数根，就是确定函数
的零点。函数零点的求法：
①（代数法）求方程 的根。②（几何法）
对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 二次函数设判别式 ，我们有：
（1）当 时，一元二次方程有两个不等的实数
根 ，相应的二次函数的图象与X轴有两个交点
（ ，0），（ ，0）为二次函数的两个零点。
（2）当 时，一元二次方程有两个相等的实数根
，相应的二次函数的图象与X轴有惟一的交点
（ ，0）为二次函数的惟一的零点。
（3）当 时，一元二次方程没有实数根，相应的二
次函数的图象与X轴没有交点，二次函数没有零点。探究观察二次函数 的图象（如下图），
我们发现函数 的区间[-2，1]上有
零点，计算 与 的乘积，你能发现
这个乘积有什么特点？在区间[2，4]上是否也具有
这种特点呢？0（＜或＞）1 在区间[-2，1]上有零点____



2 在区间[2，4]上有零点______

____0（＜或＞）5-4＜-35＜可以发现， ，函数 在区间
（-2，1）内有零点 ，它是方程
的一个根。同样地， ，函数
在（2，4）内有零点 ，它是方程
的另一个根。同学们可以任意画几个函数图象，观察图象，看看是否能得
出同样的结果。观察下列函数 图象。1）在区间[a，b]上 （有/无）零点。
0（＜或＞）
2）在区间[b，c]上 （有/无）零点。
0（＜或＞）
3）在区间[c，d]上 （有/无）零点。
0（＜或＞）
有有有＜＜＜一般地，我们有：
如果函数 在区间[a，b]上的图象是连续不
断的一条曲线，并且有 那么，函数
在区间（a，b ）内有零点，即存在
使得 ，这个c也就是方程 的根。总结一下例1，求函数 的零点的个数。解：用计算机作出 的对应值表和图象。问题：
1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？由表和图象可知， ，
则 ，这说明函
数在区间（2，3）内有零点。
由于函数 的定义域（0， ）内是增函数，所以它仅有一个零点。随堂练习利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根。利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间。第一课时结束！谢谢！