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浙教版7年级上期中复习（1-4章）
一．选择题（共25小题）
1．一家商店将某种服装按成本价每件a元提高50%标价，又以8折优惠卖出，则这种服装每件的售价是（ ）
A．0.8a元 B．0.4a元 C．1.2a元 D．1.5a元
【思路点拔】每件a元提高50%标价的标价是a（1+50%），然后乘以0.8就是售价．
解：根据题意得：a（1+50%）×80%＝1.2a．
故选：C．
2．某班共有x个学生，其中女生人数占45%，则男生人数是（ ）
A．45%x B． C．（1﹣45%）x D．
【思路点拔】根据男生人数＝全班人数×男生所占全班的百分比即可求出答案．
解：因为女生人数占45%，
所以男生占总数的（1﹣45%），
该班的男生人数是（1﹣45%）x，
故选：C．
3．如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是数a，b，c，d，且d﹣2a＝10，那么数轴的原点应是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【思路点拔】此题用排除法进行分析：分别设原点是点A或B或C或D．
解：方法1：若原点是A，则a＝0，d＝7，此时d﹣2a＝7，和已知不符，排除；
若原点是点B，则a＝﹣3，d＝4，此时d﹣2a＝10，和已知相符，正确．
故选B．
方法2：设A点数字为a，则D点数字为a+7，
d﹣2a＝10就转变成a+7﹣2a＝10
解得：a＝﹣3，再观察坐标可知原点是B点．
故选：B．
4．下列说法正确的是（ ）
A．是5的平方根 B．﹣2的平方根是±2
C．±4 D．±3
【思路点拔】A：由5的平方根是±判断；
B：负数没有平方根进行判断；
C：开立方求出结果，然后判断；
D：求出算术平方根，然后判断．
解：A，∵5的平方根是±，∴正确，
B∵负数没有平方根，∴B错误，
C∵4，∴C错误，
D∵3∴D错误．
故选：A．
5．若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则的平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．
【思路点拔】先根据非负数的性质求出a与b的值，再代入进行计算即可．
解：由题可知，
，
解得，
则2，
则的平方根是．
故选：C．
6．有下列说法：
①相反数大于本身的数是负数；
②实数与数轴上的点一一对应；
③是分数；
④平方根是它本身的数是0和1；
其中正确的为（ ）
A．①②④ B．①② C．②③ D．①③④
【思路点拔】①负数的相反数是正数，所以负数的相反数大于它本身；
②实数与数轴上的点一一对应；
③有理数包括整数和分数，是无理数；
④平方根是它本身的数只有0，1的平方根是±1；
由此判断即可．
解：①相反数大于本身的数是负数，正确；
②实数与数轴上的点一一对应，正确；
③是无理数，不是分数，错误；
④平方根是它本身的数是0，错误；
故正确的是①②，
故选：B．
7．下列说法中正确的个数是（ ）
①（﹣3）2的平方根是+3；
②﹣m2没有平方根；
③非负数a的平方根是非负数；
④负数没有平方根；
⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据平方根的定义逐个判断即可．
解：（﹣3）2的平方根是±3，则①错误；
当m＝0时，﹣m2的平方根是0，则②错误；
正数的平方根有2个，它们互为相反数，其中一个是负数，则③错误；
负数没有平方根，则④正确；
0的平方根等于本身，则⑤错误；
综上，正确的个数是1个，
故选：A．
8．已知2m﹣4与m﹣5是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣1或3 D．﹣3或1
【思路点拔】根据平方根的定义进行计算即可．
解：2m﹣4与m﹣5相等时，即2m﹣4＝m﹣5，
解得m＝﹣1，
2m﹣4与m﹣5互为相反数时，即2m﹣4+m﹣5＝0，
解得m＝3．
故选：C．
9．代数式，，x+y，，中是整式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】直接利用整式的定义分析得出答案．
解：代数式，，x+y，，中整式有，x+y，，中，共4个．
故选：D．
10．比较大小错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】利用“正数大于负数和零，而零大于负数，两个负数大小比较大小，绝对值大的反而小”进行分析即可．
解：A．，故A正确，不符合题意；
B．，
∵，
∴，故B错误，符合题意；
C．，故C正确，不符合题意；
D．，，
∵，
∴，故D正确，不符合题意．
故选：B．
11．设甲糖果的单价为m元/千克，乙糖果的单价为10元/千克，则2千克甲糖果和n千克乙糖果混合而成的什锦糖果的单价为（ ）
A．元/千克 B．元/千克
C．元/千克 D．元/千克
【思路点拔】混合前后总数量和总价不变．混合的糖果的单价＝总价÷总数量．
解：依题意得，混合后糖果总价为（2m+10n），总质量为（2+n）千克，
故混合的糖果的单价（元/千克）．
故选：C．
12．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（ ）
A．b＞0 B．|a|＞﹣b C．a+b＞0 D．a﹣b＞0
【思路点拔】由图知，a＞0＞b，|a|＜|b|，进一步判断处理．
解：由图知，a＞0＞b，|a|＜|b|，
A、b＞0；错误，本选项不合题意；
B、∵|a|＜|b|，b＜0
∴|a|＜﹣b；原表述错误，本选项不合题意；
C、∵a＞0＞b，|a|＜|b|，
∴a+b＜0；原表述错误，本选项不合题意；
D、∵a＞0＞b，
∴a﹣b＞0；原表述正确，本选项符合题意；
故选：D．
13．将一块长a米，宽b米的长方形空地按如图所示的方式分为草坪和小路两部分，则小路（长方形内空白部分）的面积为（ ）
A．a+2b﹣2 B．2b﹣a+2 C．2a+b﹣2 D．2a﹣b+2
【思路点拔】方法1：将两个阴影小长方形平移，可得一个长（a﹣2）米，宽（b﹣1）米的长方形，根据小路（长方形内空白部分）的面积＝长方形空地的面积﹣草坪的面积列式即可；
方法2：将两个阴影小长方形平移，可得一个长（a﹣2）米，宽（b﹣1）米的长方形，根据小路（长方形内空白部分）的面积＝长a米，宽1米的长方形的面积+长（b﹣1）米，宽2米的长方形的面积列式即可．
解：方法1：由题意可得，
小路（长方形内空白部分）的面积＝ab﹣（a﹣2）（b﹣1）
＝ab﹣（ab﹣a﹣2b+2）
＝ab﹣ab+a+2b﹣2
＝a+2b﹣2．
方法1：由题意可得，
小路（长方形内空白部分）的面积＝a×1+2（b﹣1）＝a+2b﹣2．
故选：A．
14．近似数为1.70的准确数x的取值范围是（ ）
A．1.695≤x＜1.705且x≠1.7
B．1.65≤x＜1.75且x≠1.7
C．1.7＜x＜1.75
D．1.695≤x≤1.705且x≠1.7
【思路点拔】根据近似数通长用四舍五入的方法得到，精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入，即可得出答案．
解：根据取近似数的方法可得：
1.70可以大于或等于1.695的数，0后面的一位数字，满5进1得到；
或由小于1.705的数，舍去1后的数字得到，
则近似数1.70所表示的准确数x的范围是1.695≤x＜1.705且x≠1.7．
故选：A．
15．数a四舍五入后的近似值为6.1，则a的取值范围是（ ）
A．6.05≤a＜6.15 B．6.14≤a≤6.15
C．6.144≤a≤6.149 D．6.0≤a≤6.2
【思路点拔】近似值是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则应进1；若下一位小于5，则应舍去．
解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是6.05≤a＜6.15．
故选：A．
16．已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（ ）
A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5
【思路点拔】根据绝对值的定义以及有理数混合运算法则进行计算即可．
解：由于a，b为有理数，ab≠0，
当a＞0、b＞0时，且2+3＝5．
当a＞0、b＜0时，且2﹣3＝﹣1．
当a＜0、b＞0时，且2+3＝1．
当a＜0、b＜0时，且2﹣3＝﹣5．
故选：D．
17．已知a、b、c在数轴上位置如图，则|a+b|+|a+c|﹣|b﹣c|＝（ ）
A．0 B．2a+2b C．2b﹣2c D．2a+2c
【思路点拔】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．
解：由图可知，c＜a＜0＜b，|c|＞|b|＞|a|，
则|a+b|+|a+c|﹣|b﹣c|
＝a+b﹣a﹣c﹣b+c
＝0．
故选：A．
18．如图是一个运算程序的示意图，若第1次输入x的值为125，则第2019次输出的结果为（ ）
A．1 B．5 C．25 D．125
【思路点拔】利用运算程序进行运算，观察运算结果出现的规律，利用规律解答即可得出结论．
解：第1次输入x的值为125，输出的结果为25，
第2次输入x的值为25，输出的结果为5，
第3次输入x的值为5，输出的结果为1，
第4次输入x的值为1，输出的结果为5，
第5次输入x的值为5，输出的结果为1，
第6次输入x的值为1，输出的结果为5，
......，
从第三次开始，第奇数次输出的结果为1，第偶数次输出的结果为5，
∵2019﹣2＝2017是奇数，
∴第2019次输出的结果为1，
故选：A．
19．已知关于x的两个多项式A＝x2﹣ax﹣2，B＝x2﹣2x﹣3，其中a为常数，下列说法：
①若A﹣B的值始终与x无关，则a＝﹣2；
②关于x的方程A+B＝0始终有两个不相等的实数根；
③若A B的结果不含x2的项，则a；
④当a＝1时，若的值为整数，则x的整数值只有2个．
以上结论正确的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拔】根据A﹣B＝（2﹣a）x+1，A﹣B的值始终与x无关，可得a＝2；根据A+B＝2x2﹣（a+2）x﹣5＝0，利用判别式Δ＞0，可得关于x的方程A+B＝0始终有两个不相等的实数根；根据A B＝x4﹣（2+a）x3+（2a，﹣5）x2+（3a+4）x+6，当2a﹣5＝0时，A B的结果不含x2的项；④根据1，由的值为整数，可得x﹣3＝±1，求出x的值．
解：①∵A＝x2﹣ax﹣2，B＝x2﹣2x﹣3，
∴A﹣B＝（x2﹣ax﹣2）﹣（x2﹣2x﹣3）＝（2﹣a）x+1，
∵A﹣B的值始终与x无关，
∴a＝2，
故①不符合题意；
②A+B＝x2﹣ax﹣2+x2﹣2x﹣3＝2x2﹣（a+2）x﹣5＝0，
∵Δ＝（a+2）2+40＞0，
∴关于x的方程A+B＝0始终有两个不相等的实数根，
故②符合题意；
③A B＝（x2﹣ax﹣2） （x2﹣2x﹣3）＝x4﹣（2+a）x3+（2a，﹣5）x2+（3a+4）x+6，
∵A B的结果不含x2的项，
∴2a﹣5＝0，
解得a；
故③符合题意；
④当a＝1时，A＝x2﹣x﹣2，
∴1，
∵的值为整数，
∴x﹣3＝±1，
解得x＝4或x＝2，
故④符合题意；
故选：B．
20．若代数式2a2+5a﹣1的值为3，则8﹣2a2﹣5a的值为（ ）
A．﹣5 B．4 C．8 D．11
【思路点拔】将2a2+5a﹣1＝3变形为2a2+5a＝4，再整体代入8﹣（2a2+5a）计算即可．
解：∵2a2+5a﹣1＝3，
∴2a2+5a＝4，
∴8﹣2a2﹣5a＝8﹣（2a2+5a）＝8﹣4＝4．
故选：B．
21．当x＝1时，整式ax3+bx﹣1的值等于100，那么当x＝﹣1时，整式ax3+bx﹣1的值为（ ）
A．﹣100 B．100 C．﹣102 D．102
【思路点拔】先根据已知条件得到a+b﹣1＝100，进而得到a+b＝101，再根据当x＝﹣1时进行求解即可．
解：当x＝1时，a+b﹣1＝100，
解得：a+b＝101，
当x＝﹣1时，﹣a﹣b﹣1＝﹣（a+b）﹣1＝﹣101﹣1＝﹣102，
故选：C．
22．如图所示，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A2处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处．按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6…An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决．
解：由题意可得，
点A1表示的数为126，
点A2表示的数为123，
点A3表示的数为12，
…，
点An表示的数为12×（）n，
∵A1A的中点表示的数为（12+6）÷2＝9，
∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：9﹣12×（）2023＝9﹣3×（）2021＝9﹣3，
故选：B．
23．日本大地震引发福岛核电站受到严重的损坏，其中的放射性物质泄漏到了外部，在正式排污前，核污染水已存到了1300000吨，整个排污过程至少需要30年，将对整个海洋生态系统产生很大的危害，把1300000用科学记数法表示为（ ）
A．1.3×104 B．13×105 C．1.3×106 D．0.13×107
【思路点拔】根据科学记数法法则解答即可．
解：1300000＝1.3×106，
故选：C．
24．各个数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫做“水仙花数”．比如153是“水仙花数”，因为13+53+33＝153．以下四个数中不是水仙花数的是（ ）
A．370 B．371 C．345 D．407
【思路点拔】本题考查了有理数的乘方，根据“水仙花数”的定义，分别计算，即可得到答案．
解：A．33+73+03＝370，故370是“水仙花数”；
B．33+73+13＝371，故371是“水仙花数”；
C．33+43+53＝216≠345，故345不是“水仙花数”；
D．43+03+73＝407，故407是“水仙花数”．
故选：C．
25．已知两个多项式A＝x2+2x+2，B＝x2﹣2x+2，以下结论中正确的个数有（ ）
①若A+B＝12，则x＝±2；②若A+B+ax2﹣bx的值与x的值无关，则a+b＝﹣2；③若|A﹣B﹣8|+|A﹣B+4|＝12，则﹣1≤x≤2；④若关于y的方程（m﹣1）y＝A+B﹣2x2的解为整数，则符合条件的非负整数m有3个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】①根据条件解方程；
②先根据条件求出a，b的值，再代入求解；
③先化简，再分类讨论求解；
④先化简，再根据整除判断求解．
解：①∵A+B＝12，
∴（x2+2x+2）+（x2﹣2x+2）＝2x2+4＝12，
解得：x＝±2，
故①正确；
②∵A+B+ax2﹣bx＝（2+a）x2+4﹣bx，
∴a+2＝0，﹣b＝0，
∴a＝﹣2，b＝0，
∴a+b＝﹣2，
故②正确；
③∵|A﹣B﹣8|+|A﹣B+4|＝|4x﹣8|+|4x+4|＝12，
解得：﹣1≤x≤2，
故③正确；
④原方程可化为：（m﹣1）y＝4，
∴y的整数解为：±1，±2，±4，
∴m的值为：0，2，3，﹣1，5，﹣3，
∴非负整数m有0，2，3，5，四个，
故④是错误的；
故选：C．
二．填空题（共15小题）
26．设的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b＝ ．
【思路点拔】根据无理数大小可得出a，b的值，再代入计算即可．
解：∵4＜5＜9，
∴，
∴即
∵的整数部分是a，小数部分是b，
∴a＝6，，
则．
故答案为：．
27．用四舍五入法将2.594精确到0.01，所得到的近似数是 2.59 ．
【思路点拔】根据精确到0.01即精确到百分位，把千分位上的数按照四舍五入的要求取舍即可．
解：四舍五入法将2.594精确到0.01，可得：2.594≈2.59．
故答案为：2.59．
28．如果a＞3，化简：|1﹣a|﹣|a﹣3|＝ 2 ．
【思路点拔】根据绝对值的性质进行解题即可．
解：∵a＞3，
∴|1﹣a|﹣|a﹣3|＝a﹣1﹣（a﹣3）＝a﹣1﹣a+3＝2．
故答案为：2．
29．定义：若a﹣b＝0，则称a与b互为平衡数，若2x2﹣2与x+4互为平衡数，则代数式4x2﹣2x﹣9＝ 3 ．
【思路点拔】根据题意，2x2﹣2与x+4互为平衡数，得2x2﹣2﹣x﹣4＝0，得到2x2﹣x＝6，然后再整体代入即可得出答案．
解：∵2x2﹣2与x+4互为平衡数，
∴2x2﹣2﹣（x+4）＝0，
∴2x2﹣2﹣x﹣4＝0，
∴2x2﹣x＝6，
∴4x2﹣2x﹣9＝2（2x2﹣x）﹣9＝2×6﹣9＝3．
故答案为：3．
30．当x＝1时，ax3+bx+3＝5；则当x＝﹣2时，则多项式ax2﹣2bx﹣2的值为 6 ．
【思路点拔】根据x＝1时，ax3+bx+3＝5可得a+b＝2，然后将x＝﹣2代入ax2﹣2bx﹣2中，可得结果．
解：∵x＝1时，ax3+bx+3＝5，
即a+b＝2，
当x＝﹣2时，ax2﹣2bx﹣2＝4a+4b﹣2＝4（a+b）﹣2＝4×2﹣2＝6，
故答案为：6．
31．的算术平方根是 3 ，0的平方根是 0 ，﹣8的立方根是 ﹣2 |3.14﹣π|＝ π﹣3.14 ．
【思路点拔】先根据算术平方根的定义得到9，则9的算术平方根为3；0的平方根为0；根据立方根的定义得到﹣8的立方根为2；根据绝对值的意义易得到|3.14﹣π|＝π﹣3.14．
解：∵9，
∴9的算术平方根3；
0的平方根为0；
﹣8的立方根为2；
∵π＞3.14，
∴|3.14﹣π|＝π﹣3.14．
故答案为3；0；﹣2；π﹣3.14．
32．在数轴上与数﹣2相距2个单位长度的点表示的数为 0或﹣4 ．长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖 2 个表示整数的点．最多能覆盖 3 个表示整数的点；长为2001个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖 2001 个表示整数的点，最多能覆盖 2002 表示整数的点．
【思路点拔】到点﹣1的距离为2，则可以往左也可以往右，即有两种情况，需要分别计算；单位为2的木条，要覆盖最多的整数点，则需要一端放在一个整数点上，画出图形求解即可，其它同理可解答．
解：在数轴上与数﹣2相距2个单位长度的点有两个，即①﹣2+2＝0；②﹣2﹣2＝﹣4；
如图，长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖2个表示整数的点，最多能覆盖3个表示整数的点；
同理可得长为2001个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖2001个表示整数的点，最多能覆盖2002表示整数的点．
故答案为：0或﹣4；2，3，2001，2002．
33．已知﹣2xm﹣1y3和是同类项，则 （n﹣m）2021＝ ﹣1 ．
【思路点拔】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，由此即可求解．
解：∵﹣2xm﹣1y3和是同类项，
∴m﹣1＝n，m+n＝3，
∴n﹣m＝﹣1
∴（n﹣m）2021
＝（﹣1）2021
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
34．如图，用完全一样的木棍连续搭建三角形和正方形，公共边只用一根木棍．设搭建三角形的个数为m，搭建正方形的个数为n．
（1）若m＝5，n＝4，则搭建三角形和正方形共用 24 根木棍；
（2）若搭建三角形和正方形共用2023根木棍，并且搭建三角形的个数比正方形的个数少2，则m+n的值为 808 ．
【思路点拔】（1）结合图形，可知搭建m个三角形所用木棍数为：2m+1，搭建n个正方形所用木棍数为：3n+1，将m、n的值代入即可求得结果；
（2）根据题意列方程组，注意结果求得的是m+n，即不需要求得方程组的解，凑得m+n即可．
解：（1）由题意可知搭建m个三角形所用木棍数为：2m+1，
搭建n个正方形所用木棍数为：3n+1，
∴m＝5，n＝4时，共用木棍：2×5+1+3×4+1＝24根，
故答案为：24；
（2）由题意列方程组为：，
①﹣②得：3m+2n＝2019③，
①+③得：5m+5n＝4040，
解得：m+n＝808，
故答案为：808．
35．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论中：①a＜b；②a+b＜0；③a﹣b＜0；④ab＞0；⑤，其中正确的有 ①③⑤ ．（填序号）
【思路点拔】先观察数轴可知：a＜0，b＞0，|b|＞|a|，然后根据有理数的加减乘除法则对各个式子进行计算，然后判断即可．
解：观察数轴可知：a＜0，b＞0，|b|＞|a|，
∴①a＜b，故①的结论正确；
②a+b＞0，故②的结论错误；
③a﹣b＜0，故③的结论正确；
④ab＜0，故④的结论错误；
⑤，故⑤的结论正确；
综上可知：正确的有：①③⑤，
故答案为：①③⑤．
36．如图，组成正方形网格的小正方形边长为1，那么点A表示的数为 ．
【思路点拔】先根据网格和正方形的面积公式，求出，以数轴上点C为原点，BC为半径，交数轴于点A，则，即可求出点A表示的数．
解：∵组成正方形网格的小正方形边长为1，
∴正方形BCDE的面积为，
∴，
以数轴上点C为原点，BC为半径，交数轴于点A，
∴，
∵点C表示的数为1，
∴点A表示的数为，
故答案为：．
37．如图，数轴上A，B两点对应的数分别为﹣1，2，若数轴上的点C满足AC+BC＝5，则点C表示的数为 ﹣2或3． ．
【思路点拔】分两种情况进行讨论：①点C在点A的左侧；②点C在点B的右侧，再根据所给的条件进行求解即可．
解：设点C所表示的数为x，
①当点C在点A的左侧时，
∵AC+BC＝5，
∴﹣1﹣x+2﹣x＝5，
解得：x＝﹣2；
②点C在点B的右侧时，
∵AC+BC＝5，
∴x﹣（﹣1）+x﹣2＝5，
解得：x＝3，
综上所述，点C表示的数为﹣2或3．
故答案为：﹣2或3．
38．已知单项式3a3bm与﹣2anb2是同类项，则（m﹣n）2022值为 1 ．
【思路点拔】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，求出m，n的值，即可求出结果的值．
解：∵单项式3a3bm与﹣2anb2是同类项，
∴m＝2，n＝3，
∴（m﹣n）2022＝（2﹣3）2022＝1．
故答案为：1．
39．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：，，， ，，若a1＝2，则a2024的值是 ．
【思路点拔】分别求出a1，a2，a3，…，根据发现的规律即可解决问题．
解：由题知，
因为a1＝2，
则，
，
，
，
…，
由此可见，
这一列数按2，﹣3，，循环出现，
且2024÷4＝506，
所以．
故答案为：．
40．如图，数轴上A、B两点之间的距离为20，有一根木棒MN，MN在数轴上移动（M在N的左侧），当N移动到与A、B其中一个端点重合时，点M所对应的数为8，则当N移动到线段AB的中点时，点M所对应的数为 18或﹣2 ．
【思路点拔】解：设MN的长度为m，当点N与点A重合时，此时点M对应的数89，则点N对应的数为m+8，即可求解；当点N与点M重合时，同理可得，点M对应的数为﹣3，即可求解．
解：设MN的长度为m，
当点N与点A重合时，此时点M对应的数为8，则点N对应的数为m+8，
当点N到AB中点时，点N此时对应的数为：m+8+10＝m+18，
则点M对应的数为：m+18﹣m＝18；
当点N与点B重合时，
同理可得，点M对应的数为﹣2，
故答案为：18或﹣2．
三．解答题（共20小题）
41．已知排好顺序的一组数：．
（1）在这组数中，有理数有 3 个，无理数有 5 个；
（2）若从这组数中任取两个相邻的数，将左侧的数记为m，右侧的数记为n，则m﹣n的值中共有 3 个正数；
（3）若从这组数中任取两个不同的数a和b，则ab的值中共有 5 个有理数．
【思路点拔】（1）把各二次根式化为最简二次根式，再根据无理数与有理数的定义解答即可；
（2）任取两个相邻的数计算出结果，判断出其正负即可；
（3）根据两个有理数相乘的结果为有理数；两个同类二次根式相乘结果为有理数解答即可．
解：（1）2，2，3，3，，，
在这组数中，有理数有，，，其它是无理数，
故答案为：3，5；
（2）若从这组数中任取两个相邻的数，将左侧的数记为m，右侧的数记为n，则m﹣n的值为正数的有，
0；
2＜0；
2﹣3＝﹣1＜0；
3﹣30；
0；
（）＞0．
30．
综上所述，正数有3个，
故答案为：3；
（3）∵2，2，3，3，，，
∴2318；
2×3＝6；
（）＝2×（）；
（）＝3×（）＝﹣2；
333，
有理数共5个．
故答案为：5．
42．将下列各数填入相应的括号内：
﹣2.5，0，8，，﹣1.121121112 ，，﹣0.．
正数集合：{ 8，，， …}；
有理数集合：{ ﹣2.5，0，8，，﹣0.， …}；
负数集合：{ ﹣2.5，﹣1.121121112 ，﹣0.， …}；
无理数集合：{ ，﹣1.121121112 ， …}．
【思路点拔】直接利用正数、有理数、负数、无理数的定义分别分析得出答案．
解：正数集合：{8，，，…}；
有理数集合：{﹣2.5，0，8，，﹣0.，…}；
负数集合：{﹣2.5，﹣1.121121112 ，﹣0.，…}；
无理数集合：{，﹣1.121121112 ，…}．
故答案为：8，，；﹣2.5，0，8，，﹣0.；﹣2.5，﹣1.121121112 ，﹣0.；，﹣1.121121112 ．
43．为节约水资源，某市自来水公司对本市自来水实行阶梯收费，收费标准如下，第一阶梯：每户每月用水不超过20m3的，按每m3按4元收费；第二阶梯：每户每月超过20m3但不超过50m3的，超过的部分按每m3按6元收费；第三阶梯：每户每月超过50m3的，超过的部分按每m3按10元收费．根据上面内容解答下列问题：
（1）小明家今年2月份用了30m3的自来水，他家应付的自来水费是 140 元；
（2）若小明家5月份用了am3（a大于20但没超过50）的自来水，那么他家应付的自来水费用含a的代数式表示是 80+6（a﹣20） 元；
（3）若小明家7月份用了bm3（b大于50）的自来水，那么他家应付的自来水费用含b的代数式表示是 260+10（b﹣50） 元；当b＝80时，求出小明家7月份的自来水费用．
【思路点拔】（1）根据题目中对应的用水量收费标准，当用水量是30m3时，自来水费是20×4+（30﹣20）×6＝140元；
（2）根据题意，代数式表示是80+6（a﹣20）；
（3）据题意，代数式表示是260+10（b﹣50），当b＝80时，自来水费用是560元．
解：（1）根据题意：当小明家今年2月份用30m3的自来水，他家应付的自来水费是20×4+（30﹣20）×6＝140元．
故答案为：140；
（2）根据题意：当小明家5月份用了am3（a大于20但没超过50）的自来水，那么他家应付的自来水费用含a的代数式表示是80+6（a﹣20）元．
故答案为：80+6（a﹣20）；
（3）根据题意：当小明家7月份用了bm3（b大于50）的自来水，那么他家应付的自来水费用含b的代数式表示是260+10（b﹣50），
当b＝80时，自来水费用是260+10（80﹣50）＝560元．
答：小明家7月份的自来水费用是560元．
故答案为：260+10（b﹣50）．
44．如图两个4×4网格都是由16个边长为1的小正方形组成．
（1）图①中的阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影正方形的面积为 10 ，若这个正方形的边长为a，则a＝ ；
（2）请在图②中画出面积是5的正方形，使它的顶点在网格的格点上，若这个正方形的边长为b，则b＝ ；
（3）请你利用以上结论，在图③的数轴上表示实数a，b和﹣a，﹣b，并将它们用“＜”号连接．
【思路点拔】（1）用大正方形的面积分别减去4个直角三角形的面积得到阴影部分的面积，然后根据正方形的面积公式得到a的值；
（2）仿照图①画出面积是5的正方形，利用正方形的面积公式得到b的值；
（3）利用无理数的估算在数轴上表示实数a，b和﹣a，﹣b，从而得到它们的大小关系．
解：（1）这个阴影正方形的面积＝4×4﹣41×3＝10，
若这个正方形的边长为a，则a；
（2）如图②，若这个正方形的边长为b，则b；
故答案为10；；；
（3）如图③，﹣a＜﹣b＜b＜a．
45．根据背景素材，探索解决问题．
周末小明打算去露营基地野餐
素材1 路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地；
素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km）如下：﹣3，+5，+2，﹣4，﹣11；
素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，每千米车费加价2元，消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券．
问题解决
任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离；
任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费；
任务3 该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，求最低总车费．
【思路点拔】（1）根据正负数的意义列出算式计算即可求解；
（2）根据题意列出算式计算即可求解；
（3）根据题意，面包店到水果店用7折券，奶茶店到露营基地用7折券，总车费最省，列出算式计算即可求解；
解：任务1：﹣3+5+2﹣4﹣11＝﹣11（km），
答：露营基地在家的西边11km处；
任务2：8+（5﹣3）×2＝12（元），
答：炸鸡店到面包店所需费用12元；
任务三：8+12+8×0.7+[8+（4﹣3）×2]+[8+（11﹣3）×2]×0.7
＝8+12+8+10×0.8+24×0.7，
＝52.8（元），
答：面包店到水果店用7折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费52.8元．
46．甲乙两家网购平台以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同，甲平台规定：凡超过1000元的电器，超出部分的金额打八折：乙平台规定：凡超过500元的电器，超出部分的金额按90%收取，两家平台均免费送货并赠送运费险，若某顾客购买电器的价格是x元，请回答下列问题：
（1）当x＝800时，该顾客应选择在哪家平台下单比较划算？
（2）当x＞2000时，分别用代数式表示在两家平台购买电器所需支付的费用；
（3）当x＝3500时，该顾客应该选择哪家平台下单比较划算？请说明理由．
【思路点拔】（1）当x＝800时，甲购物平台没有优惠，乙购物平台有优惠，顾客应选择在乙购物平台下单比较划算；
（2）当x＞2000时，在甲商场的费用是：1000+超过1000元的部分×80%；在乙商场的费用是：500+超过500元的部分×90%，列出代数式化简即可；
（3）把x＝3500代入（2）中的代数式，计算结果比较即可解答．
解：（1）顾客购买电器的价格是x＝800元时，
甲购物平台没有优惠，需要付费800元，
乙购物平台有优惠，需要付费500+90%×（800﹣500）＝770（元），
∴顾客应选择在乙购物平台下单比较划算．
（2）顾客购买电器的价格是x＞2000元时，
甲购物平台需要付费：1000+80%（x﹣1000）＝（0.8x+200）（元），
乙购物平台需要付费：500+90%（x﹣500）＝（0.9x+50）（元），
（3）当x＝3500时，
甲购物平台需要付费：0.8×3500+200＝3000（元），
乙购物平台需要付费：0.9×3500+50＝3200（元），
∵3000＜3200，
∴该顾客应该选择甲购物平台下单比较划算．
47．【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+m2﹣3x的值与x无关，求m的值
【能力提升】
（2）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【思路点拔】（1）根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）设AB＝x，先求出S1、S2，从而可得S1﹣S2，再根据“当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变”可知S1﹣S2的值与x的值无关，由此即可得．
解：（1）（2x﹣3）m+m2﹣3x＝2mx﹣3m+m2﹣3x＝（2m﹣3）x﹣3m+m2，
∵关于x的多项式（2x﹣3）m+m2﹣3x的值与x的取值无关，
∴2m﹣3＝0，
解得m．
（2）设AB＝x，
由图可知，S1＝a（x﹣3b）＝ax﹣3ab，S2＝2b（x﹣2a）＝2bx﹣4ab，
则S1﹣S2＝ax﹣3ab﹣（2bx﹣4ab）
＝ax﹣3ab﹣2bx+4ab
＝（a﹣2b）x+ab．
∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，
∴S1﹣S2的值与x的值无关，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
48．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值为3，求代数式x2﹣（a+b）+（﹣cd）3的值．
【思路点拔】根据a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值为3，可以得到a+b＝0，cd＝1，x2＝9，然后代入所求式子计算即可．
解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值为3，
∴a+b＝0，cd＝1，x2＝9，
∴x2﹣（a+b）+（﹣cd）3
＝9﹣0+（﹣1）3
＝9﹣0+（﹣1）
＝8．
49．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，一1的差倒数为，现已知，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，以此类推．
（1）x2＝ ，x3＝ 4 ，x4＝ ；
（2）计算x1 x2 x3的值；
（3）计算x1x2…x2023的值．
【思路点拔】（1）按照差倒数的定义进行运算即可；
（2）将（1）中的数据代入计算即可；
（3）根据三个一循环，共有674个（﹣1）相乘再乘（）即可．
解：（1），x2，x34，x4，……，
故答案为：；4；；
（2）x1 x2 x3＝（）4＝﹣1；
（3）∵2023÷3＝674余1，
∴x1x2…x2023＝（﹣1）674×（）．
50．数轴是初中数学的一个重要的工具，研究数轴可以发现许多重要的规律．例如数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
解决问题：操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），
（1）沿原点0折叠数轴，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示的点重合；
（2）沿实数1折叠数轴，使表示﹣1的点与表示3的点重合，回答以下问题：
①表示0的点与表示 2 的点重合；表示5的点与表示 ﹣3 的点重合；
②表示点与表示 2 的点重合；
③若数轴上A、B两点之间的距离为13（A在B的右侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是 7.5 ；点B表示的数是 ﹣5.5 ．
（3）已知数轴上A，B两点分别表示的数为a，b，点P表示数5，折叠数轴，使A，B两点重合，此时P，Q两点重合，求点Q表示的数．（用含a，b的代数式表示）
【思路点拔】（1）根据题意确定纸片是沿着原点进行折叠的，再求解即可；
（2）①由题意确定纸片是沿着表示1的点进行折叠的，再求解即可； ②先求解表示的点与表示1的点之间的距离为：，再列式计算即可；③先求解A，B间的距离的一半，再由①的折痕点列式计算即可；
（3）先求解折痕点表示的数为：，由点P表示数5，折叠数轴，此时P，Q两点重合，可得P，Q两点到折痕点的距离相等，再分两种情况讨论即可．
解：（1）∵表示1的点与表示﹣1的点重合，
∴纸片是沿着原点进行折叠的，
∴表示﹣2的点与表示2的点重合；
（2）∵表示﹣1的点与表示3的点重合，
又∵，
∴纸片是沿着表示1的点进行折叠的，
①表示0的点与表示2的点重合；表示5的点与表示﹣3的点重合；
②表示的点与表示1的点之间的距离为：，
∴，
∴表示的点与表示的点重合；
③∵数轴上A、B两点之间的距离为13（A在B的右侧），且A、B两点经折叠后重合，
∴，
∴1+6.5＝7.5，1﹣6.5＝﹣5.5，
∴点A表示的数是7.5；点B表示的数是﹣5.5．
（3）∵数轴上A，B两点分别表示的数为a，b，折叠数轴，使A，B两点重合，
∴折痕点表示的数为：，
∵点P表示数5，折叠数轴，此时P，Q两点重合，
∴P，Q两点到折痕点的距离相等，
∴当P在折痕点的左边时，Q表示的数为：，
当P在折痕点的右边时，，
综上：Q表示的数为：a+b﹣5．
51．已知A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1，
（1）求A﹣3B；
（2）若A﹣3B的值与a的取值无关，求b的值．
【思路点拔】（1）先去括号，再合并同类项即可解答；
（2）根据已知可得含a项的系数和为0，然后进行计算即可解答．
解：（1）∵A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1，
∴A﹣3B
＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1+3a2+6ab﹣3，
＝7ab﹣3a﹣4；
（2）∵A﹣3B
＝7ab﹣3a﹣4
＝（7b﹣3）a﹣4，
∵A﹣3B的值与a的值无关，
∴7b﹣3＝0，
∴b．
52．先化简再求值：2（a2b﹣2ab）﹣3（a2b﹣3ab）+a2b，其中a＝﹣2，．
【思路点拔】先去括号合并同类项，再代入求值．
解：2（a2b﹣2ab）﹣3（a2b﹣3ab）+a2b
＝2a2b﹣4ab﹣3a2b+9ab+a2b
＝5ab．
当a＝﹣2，时，
原式＝5×（﹣2）
＝﹣2．
53．近年来，电商多选择在11月11日促销．今年的促销期间，某电商客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为a厘米、b厘米、c厘米的箱子，并发现有如图所示的甲、乙两种打包方式（每条打包带绕一圈，且不计接头处的长）．回答下列问题：
（1）用含a，b，c的式子表示甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度：甲需要 （4a+2b+6c） 厘米，乙需要 （2a+4b+6c） 厘米；
（2）当a＞b＞c时，两种打包方式中，哪种方式节省打包带？并用作差法证明你的结论．
【思路点拔】（1）根据题意列式计算即可；
（2）利用作差法求解即可．
解：（1）甲需要：2×2（a+c）+2（b+c）＝（4a+2b+6c）（厘米），
乙需要：2（a+c）+2×2（b+c）＝（2a+4b+6c）（厘米），
即甲需要（4a+2b+6c）厘米，乙需要（2a+4b+6c）厘米，
故答案为：（4a+2b+6c），（2a+4b+6c）；
（2）乙种方式节省打包带，证明如下：
（4a+2b+6c）﹣（2a+4b+6c）
＝4a+2b+6c﹣2a﹣4b﹣6c
＝2a﹣2b，
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴2a﹣2b＞0，
∴（4a+2b+6c）＞（2a+4b+6c），
∴乙种方式节省打包带．
54．【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除
方法：三位数割掉末位数字c得两位数，再用减去c的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，36﹣4×2＝28，因为28是7的倍数，所以364能被7整除．
【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除．
【推理验证】已知三位数．
（1）请用含a，b，c的代数式表示和“割尾法”后所得的差．
（2）现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析．
分析：要证被7整除，需把表示成7的倍数．
已知①．
因为是7的倍数，可设（1）中的代数式＝7k（k为整数）②．
只需把②式变形代入①式即可．
请根据上述分析写出推理过程．
【思路点拔】类比解决：根据题干举例进行解答即可；
（1）根据题意表示出，，求解即可；
（2）先设，将表示成7（10k+3c）即可证明．
解：类比解决：能，理由如下：
对于三位数455，割掉末位数字5得45，45﹣5×2＝35，因为35是7的倍数，所以455能被7整除．
（1）∵，，
∴；
（2）设，
∴10a+b＝7k+2c，
∴，
∴能被7整除．
55．如图，在数轴上，点O为原点，点A在数轴上表示的数为a，点B表示的数为b，有理数a、b满足|a+8|+（b﹣12）2＝0．点P从A点出发，以每秒2个单位长的速度向终点B运动，设点P运动的时间为t．
（1）a＝ ﹣8 ，b＝ 12 ；
（2）若点P在线段AO上运动时，点C为线段BP中点，t为何值时，2PO＝BC；
（3）若在点P从点A出发的同时，点Q以每秒4个单位长的速度从原点出发，在原点与点B之间作往返运动，当点P到达点B时，点P与点Q同时停止运动．求t为何值时，P与Q相遇．
【思路点拔】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2）根据两点间的距离公式列出方程即可求解；
（3）依次分析第一次相遇、第二次相遇、第三次相遇情况，根据两点间距离公式列出方程求解即可．
解：（1）∵有理数a、b满足|a+8|+（b﹣12）2＝0．
∴a+8＝0，b﹣12＝0，
解得a＝﹣8，b＝12．
故答案为：﹣8，12；
（2）点P在线段AO上运动时，t≤4，
BP＝20﹣2t，BC＝10﹣t，PO＝8﹣2t，
∵2PO＝BC，
∴2（8﹣2t）＝10﹣t，
解得t＝2，
答：t＝2时，2PO＝BC；
（3）点P与点Q第一次相遇：
从第四秒开始P在原点，Q在实数8的位置如图，
则2t1+4t1＝8，解得t1，
∴t＝4+t1＝4；
从第六秒开始Q在原点，P在实数4的位置如图，
则4t2﹣2t2＝4，解得t2＝2，
∴t＝6+2＝8，
从第八秒开始，点P、Q同时在实数8处向右运动，则第9秒，点P、Q在数轴上的位置如图：
则2t3+4t3＝2，解得t3，
∴t＝9．
综上分析，当t、8、时，P与Q相遇．
56．综合与探究
如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足|a+4|+（c﹣12）2＝0，b＝2．
（1）a＝ ﹣4 ．
（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 6 表示的点重合．
（3）点P从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时点Q从点C处以2个单位长度/秒的速度先向左运动，在点Q到达点B后，再以原来的速度向右运动，设运动的时间为t（秒），当t为何值时，点P，Q之间的距离是点C，Q之间的距离的2倍？
【思路点拔】（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）先求出折痕对应的数，然后列方程求解即可；
（2）分三种情况求解：点Q到达点B前；点Q从点B返回后，到达点C前；点Q从点B返回后，到达点C后．
解：（1）∵|a+4|+（c﹣12）2＝0，
∴a+4＝0，c﹣12＝0，
∴a＝﹣4，c＝12，
故答案为：﹣4；
（2）折痕对应的数为．
设点B与数x表示的点重合，由题意得，
x﹣4＝4﹣2，
∴x＝6．
故答案为：6；
（3）点Q到达点B需（12﹣2）÷2＝5秒，
点Q返回点C需（12﹣2）×2÷2＝10秒．
点Q到达点B前，
点P表示的数为﹣4﹣t，点Q表示的数为12﹣2t，
∵PQ＝2CQ，
∴12﹣2t﹣（﹣4﹣t）＝2[12﹣（12﹣2t）]，
∴；
点Q从点B返回后，到达点C前，
点P表示的数为﹣4﹣t，点Q表示的数为2+2（t﹣5）＝2t﹣8，
∵PQ＝2CQ，
∴2t﹣8﹣（﹣4﹣t）＝2[12﹣（2t﹣8）]，
∴；
点Q从点B返回后，到达点C后，
点P表示的数为﹣4﹣t，点Q表示的数为2+2（t﹣5）＝2t﹣8，
∵PQ＝2CQ，
∴2t﹣8﹣（﹣4﹣t）＝2[（2t﹣8）﹣12]，
∴t＝36；
综上可知，t的值为秒或秒或36秒．
57．点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c满足（b+12）2+|c﹣8|＝0，且a是绝对值最小的有理数．
（1）a值为 0 ，b的值为 ﹣12 ，c的值为 8 ；
（2）已知点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点B出发，以3个单位/秒的速度向右运动，点Q从点C出发，速度为2个单位/秒．
①若在点P出发的同时点Q向左运动，当点P和点Q在数轴上相遇时，求此时点P表示的数；
②若点P运动到AB中点处时，点Q再出发也向右运动，则P运动几秒时，PQ＝4．
【思路点拔】（1）利用非负性质求出b，c，利用绝对值最小的有理数是0，求出a，
（2）①设t秒时点P和点Q相遇，根据题意列出方程即可，
②设P点运动t秒时，这两点之间的距离为PQ＝4个单位长度，分点P追上点Q前或点P超过点Q后两种情况讨论求解，
解：（1）（b+12）2+|c﹣8|＝0，
∴b+12＝0，c﹣8＝0，
∴b＝12，c＝8，
∵a是绝对值最小的有理数，
∴a＝0，
故答案为：0，﹣12，8，
（2）①设P点运动t秒时，此时，点P，Q表示的数分别是﹣12+3t，8﹣2t，
根据题意得：﹣12+3t＝8﹣2t，
解得：t＝4，
当t＝4时，﹣12+3t＝﹣12+3×4＝0，
∴点P和点Q在数轴上相遇时，点P表示的数为0，
②∵B表示的数为﹣12，点A表示的数为0，
∴AB中点表示的数为﹣6，
∴点P运动到AB中点的时间为：[（﹣6）﹣（﹣12）]÷3＝2秒，
设P运动时间为t秒，此时P表示的数为﹣12+3t，
当t＞2时，Q表示的数为8+2（t﹣2），
∵PQ＝4，
在点P追上点Q前，
8+2（t﹣2）﹣（﹣12+3t）＝4，
解得：t＝12，
在点P追上点Q后，
（﹣12+3t）﹣[8+2（t﹣2）]＝4，
解得t＝20，
故P运动12秒或20秒时，PQ＝4，
58．如图，在4×4的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．
（1）图中正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？
（2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值，
（3）若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答：
①点P表示的数为多少？
②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2023重合？
【思路点拔】（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案；
（2）利用无理数估算的方法即可求得x和y；将x和y代入计算即可；
（3）①根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，②判断2023﹣1是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论．
解：（1）正方形ABCD的面积为；
∴正方形ABCD的边长为；
∵，
∴，
∴这个值在3与4之间；
（2）由（1）可知，，
∴；
（3）①∵点A表示的数为1，正方形ABCD的边长为，
∴点P表示的数为：；
②不存在．
理由：假设存在正整数n，则，
，
，
∵n为正整数，
∴为有理数，而为无理数，
∴上式等式不成立．即不存在正整数n．
59．【阅读】如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN＝n﹣m．
【应用】请用上面的知识解答下面的问题：
如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣16和6．
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点P，使得，求点P表示的数；
（3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP＝4OQ时的运动时间t的值．
【思路点拔】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之间的距离；
（2）分三种情况：①点P在B点右边时，②点在线段AB上；③点在线段A的左边时，根据求解即可；
（3）根据点Q的运动方向分两种情况：①当t≤3时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；
②当t＞3时，点Q从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据OP＝4OQ列出关于t的方程，解方程即可．
解：（1）根据题可得：6﹣（﹣16）＝22，
（2）①当P在B点右边时，不存在，
②当P在AB之间时，22÷4＝5.5，﹣16+5.5＝﹣10.5，
∴点P表示的数为﹣10.5，
③当P在A点左边时，22÷2＝11，﹣16﹣11＝﹣27，
∴点P表示的数为﹣27，
∴点P表示的数为﹣10.5或﹣27；
（3）当0＜t≤3时，
16﹣4t＝4（6﹣2t），解得t＝2，
当3＜t≤4时，
16﹣4t＝4×3（t﹣3），解得，
当t＞4时，
4t﹣16＝4×3（t﹣3），解得t＝2.5（舍去），
∴t的值为：2或．
60．如图，两摞规格完全相同的课本整齐叠放在讲台上．请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题：
（1）每本课本的厚度为 0.5 cm；
（2）若有一摞上述规格的课本x本，整齐叠放在讲台上，请用含x的代数式表示出这一摞数学课本的顶部距离地面的高度；
（3）当x＝56时，若从中取走14本，求余下的课本的顶部距离地面的高度．
【思路点拔】（1）利用提供数据88﹣86.5等于3本书的高度，即可求出一本课本的厚度，进而得出课桌的高度；
（2）高出地面的距离＝课桌的高度+x本书的高度，把相关数值代入即可；
（3）把x＝56﹣14代入（2）得到的代数式求值即可．
解：（1）书的厚度为：（88﹣86.5）÷（6﹣3）＝0.5cm；
故答案为：0.5；
（2）∵x本书的高度为0.5x，课桌的高度为85，
∴高出地面的距离为85+0.5x；
（3）当x＝56﹣14＝42时，85+0.5x＝106．
答：余下的课本的顶部距离地面的高度106cm．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版7年级上期中复习（1-4章）
一．选择题（共25小题）
1．一家商店将某种服装按成本价每件a元提高50%标价，又以8折优惠卖出，则这种服装每件的售价是（ ）
A．0.8a元 B．0.4a元 C．1.2a元 D．1.5a元
2．某班共有x个学生，其中女生人数占45%，则男生人数是（ ）
A．45%x B． C．（1﹣45%）x D．
3．如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是数a，b，c，d，且d﹣2a＝10，那么数轴的原点应是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4．下列说法正确的是（ ）
A．是5的平方根 B．﹣2的平方根是±2
C．±4 D．±3
5．若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则的平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．
6．有下列说法：
①相反数大于本身的数是负数；
②实数与数轴上的点一一对应；
③是分数；
④平方根是它本身的数是0和1；
其中正确的为（ ）
A．①②④ B．①② C．②③ D．①③④
7．下列说法中正确的个数是（ ）
①（﹣3）2的平方根是+3；
②﹣m2没有平方根；
③非负数a的平方根是非负数；
④负数没有平方根；
⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知2m﹣4与m﹣5是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣1或3 D．﹣3或1
9．代数式，，x+y，，中是整式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．比较大小错误的是（ ）
A． B．
C． D．
11．设甲糖果的单价为m元/千克，乙糖果的单价为10元/千克，则2千克甲糖果和n千克乙糖果混合而成的什锦糖果的单价为（ ）
A．元/千克 B．元/千克
C．元/千克 D．元/千克
12．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（ ）
A．b＞0 B．|a|＞﹣b C．a+b＞0 D．a﹣b＞0
13．将一块长a米，宽b米的长方形空地按如图所示的方式分为草坪和小路两部分，则小路（长方形内空白部分）的面积为（ ）
A．a+2b﹣2 B．2b﹣a+2 C．2a+b﹣2 D．2a﹣b+2
14．近似数为1.70的准确数x的取值范围是（ ）
A．1.695≤x＜1.705且x≠1.7
B．1.65≤x＜1.75且x≠1.7
C．1.7＜x＜1.75
D．1.695≤x≤1.705且x≠1.7
15．数a四舍五入后的近似值为6.1，则a的取值范围是（ ）
A．6.05≤a＜6.15 B．6.14≤a≤6.15
C．6.144≤a≤6.149 D．6.0≤a≤6.2
16．已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（ ）
A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5
17．已知a、b、c在数轴上位置如图，则|a+b|+|a+c|﹣|b﹣c|＝（ ）
A．0 B．2a+2b C．2b﹣2c D．2a+2c
18．如图是一个运算程序的示意图，若第1次输入x的值为125，则第2019次输出的结果为（ ）
A．1 B．5 C．25 D．125
19．已知关于x的两个多项式A＝x2﹣ax﹣2，B＝x2﹣2x﹣3，其中a为常数，下列说法：
①若A﹣B的值始终与x无关，则a＝﹣2；
②关于x的方程A+B＝0始终有两个不相等的实数根；
③若A B的结果不含x2的项，则a；
④当a＝1时，若的值为整数，则x的整数值只有2个．
以上结论正确的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
20．若代数式2a2+5a﹣1的值为3，则8﹣2a2﹣5a的值为（ ）
A．﹣5 B．4 C．8 D．11
21．当x＝1时，整式ax3+bx﹣1的值等于100，那么当x＝﹣1时，整式ax3+bx﹣1的值为（ ）
A．﹣100 B．100 C．﹣102 D．102
22．如图所示，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A2处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处．按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6…An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（ ）
A． B．
C． D．
23．日本大地震引发福岛核电站受到严重的损坏，其中的放射性物质泄漏到了外部，在正式排污前，核污染水已存到了1300000吨，整个排污过程至少需要30年，将对整个海洋生态系统产生很大的危害，把1300000用科学记数法表示为（ ）
A．1.3×104 B．13×105 C．1.3×106 D．0.13×107
24．各个数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫做“水仙花数”．比如153是“水仙花数”，因为13+53+33＝153．以下四个数中不是水仙花数的是（ ）
A．370 B．371 C．345 D．407
25．已知两个多项式A＝x2+2x+2，B＝x2﹣2x+2，以下结论中正确的个数有（ ）
①若A+B＝12，则x＝±2；②若A+B+ax2﹣bx的值与x的值无关，则a+b＝﹣2；③若|A﹣B﹣8|+|A﹣B+4|＝12，则﹣1≤x≤2；④若关于y的方程（m﹣1）y＝A+B﹣2x2的解为整数，则符合条件的非负整数m有3个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共15小题）
26．设的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b＝ ．
27．用四舍五入法将2.594精确到0.01，所得到的近似数是 ．
28．如果a＞3，化简：|1﹣a|﹣|a﹣3|＝ ．
29．定义：若a﹣b＝0，则称a与b互为平衡数，若2x2﹣2与x+4互为平衡数，则代数式4x2﹣2x﹣9＝ ．
30．当x＝1时，ax3+bx+3＝5；则当x＝﹣2时，则多项式ax2﹣2bx﹣2的值为 ．
31．的算术平方根是 ，0的平方根是 ，﹣8的立方根是 |3.14﹣π|＝ ．
32．在数轴上与数﹣2相距2个单位长度的点表示的数为 ．长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖 个表示整数的点．最多能覆盖 个表示整数的点；长为2001个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖 个表示整数的点，最多能覆盖 表示整数的点．
33．已知﹣2xm﹣1y3和是同类项，则 （n﹣m）2021＝ ．
34．如图，用完全一样的木棍连续搭建三角形和正方形，公共边只用一根木棍．设搭建三角形的个数为m，搭建正方形的个数为n．
（1）若m＝5，n＝4，则搭建三角形和正方形共用 根木棍；
（2）若搭建三角形和正方形共用2023根木棍，并且搭建三角形的个数比正方形的个数少2，则m+n的值为 ．
35．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论中：①a＜b；②a+b＜0；③a﹣b＜0；④ab＞0；⑤，其中正确的有 ．（填序号）
36．如图，组成正方形网格的小正方形边长为1，那么点A表示的数为 ．
37．如图，数轴上A，B两点对应的数分别为﹣1，2，若数轴上的点C满足AC+BC＝5，则点C表示的数为 ．
38．已知单项式3a3bm与﹣2anb2是同类项，则（m﹣n）2022值为 ．
39．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：，，， ，，若a1＝2，则a2024的值是 ．
40．如图，数轴上A、B两点之间的距离为20，有一根木棒MN，MN在数轴上移动（M在N的左侧），当N移动到与A、B其中一个端点重合时，点M所对应的数为8，则当N移动到线段AB的中点时，点M所对应的数为 ．
三．解答题（共20小题）
41．已知排好顺序的一组数：．
（1）在这组数中，有理数有 个，无理数有 个；
（2）若从这组数中任取两个相邻的数，将左侧的数记为m，右侧的数记为n，则m﹣n的值中共有 个正数；
（3）若从这组数中任取两个不同的数a和b，则ab的值中共有 个有理数．
42．将下列各数填入相应的括号内：
﹣2.5，0，8，，﹣1.121121112 ，，﹣0.．
正数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
43．为节约水资源，某市自来水公司对本市自来水实行阶梯收费，收费标准如下，第一阶梯：每户每月用水不超过20m3的，按每m3按4元收费；第二阶梯：每户每月超过20m3但不超过50m3的，超过的部分按每m3按6元收费；第三阶梯：每户每月超过50m3的，超过的部分按每m3按10元收费．根据上面内容解答下列问题：
（1）小明家今年2月份用了30m3的自来水，他家应付的自来水费是 元；
（2）若小明家5月份用了am3（a大于20但没超过50）的自来水，那么他家应付的自来水费用含a的代数式表示是 元；
（3）若小明家7月份用了bm3（b大于50）的自来水，那么他家应付的自来水费用含b的代数式表示是 元；当b＝80时，求出小明家7月份的自来水费用．
44．如图两个4×4网格都是由16个边长为1的小正方形组成．
（1）图①中的阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影正方形的面积为 ，若这个正方形的边长为a，则a＝ ；
（2）请在图②中画出面积是5的正方形，使它的顶点在网格的格点上，若这个正方形的边长为b，则b＝ ；
（3）请你利用以上结论，在图③的数轴上表示实数a，b和﹣a，﹣b，并将它们用“＜”号连接．
45．根据背景素材，探索解决问题．
周末小明打算去露营基地野餐
素材1 路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地；
素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km）如下：﹣3，+5，+2，﹣4，﹣11；
素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，每千米车费加价2元，消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券．
问题解决
任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离；
任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费；
任务3 该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，求最低总车费．
46．甲乙两家网购平台以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同，甲平台规定：凡超过1000元的电器，超出部分的金额打八折：乙平台规定：凡超过500元的电器，超出部分的金额按90%收取，两家平台均免费送货并赠送运费险，若某顾客购买电器的价格是x元，请回答下列问题：
（1）当x＝800时，该顾客应选择在哪家平台下单比较划算？
（2）当x＞2000时，分别用代数式表示在两家平台购买电器所需支付的费用；
（3）当x＝3500时，该顾客应该选择哪家平台下单比较划算？请说明理由．
47．【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+m2﹣3x的值与x无关，求m的值
【能力提升】
（2）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
48．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值为3，求代数式x2﹣（a+b）+（﹣cd）3的值．
49．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，一1的差倒数为，现已知，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，以此类推．
（1）x2＝ ，x3＝ ，x4＝ ；
（2）计算x1 x2 x3的值；
（3）计算x1x2…x2023的值．
50．数轴是初中数学的一个重要的工具，研究数轴可以发现许多重要的规律．例如数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
解决问题：操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），
（1）沿原点0折叠数轴，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示的点重合；
（2）沿实数1折叠数轴，使表示﹣1的点与表示3的点重合，回答以下问题：
①表示0的点与表示 的点重合；表示5的点与表示 的点重合；
②表示点与表示 的点重合；
③若数轴上A、B两点之间的距离为13（A在B的右侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是 ；点B表示的数是 ．
（3）已知数轴上A，B两点分别表示的数为a，b，点P表示数5，折叠数轴，使A，B两点重合，此时P，Q两点重合，求点Q表示的数．（用含a，b的代数式表示）
51．已知A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1，
（1）求A﹣3B；
（2）若A﹣3B的值与a的取值无关，求b的值．
52．先化简再求值：2（a2b﹣2ab）﹣3（a2b﹣3ab）+a2b，其中a＝﹣2，．
53．近年来，电商多选择在11月11日促销．今年的促销期间，某电商客服在为买家包装商品时用到长、宽、高分别为a厘米、b厘米、c厘米的箱子，并发现有如图所示的甲、乙两种打包方式（每条打包带绕一圈，且不计接头处的长）．回答下列问题：
（1）用含a，b，c的式子表示甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度：甲需要 厘米，乙需要 厘米；
（2）当a＞b＞c时，两种打包方式中，哪种方式节省打包带？并用作差法证明你的结论．
54．【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除
方法：三位数割掉末位数字c得两位数，再用减去c的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，36﹣4×2＝28，因为28是7的倍数，所以364能被7整除．
【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除．
【推理验证】已知三位数．
（1）请用含a，b，c的代数式表示和“割尾法”后所得的差．
（2）现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析．
分析：要证被7整除，需把表示成7的倍数．
已知①．
因为是7的倍数，可设（1）中的代数式＝7k（k为整数）②．
只需把②式变形代入①式即可．
请根据上述分析写出推理过程．
55．如图，在数轴上，点O为原点，点A在数轴上表示的数为a，点B表示的数为b，有理数a、b满足|a+8|+（b﹣12）2＝0．点P从A点出发，以每秒2个单位长的速度向终点B运动，设点P运动的时间为t．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）若点P在线段AO上运动时，点C为线段BP中点，t为何值时，2PO＝BC；
（3）若在点P从点A出发的同时，点Q以每秒4个单位长的速度从原点出发，在原点与点B之间作往返运动，当点P到达点B时，点P与点Q同时停止运动．求t为何值时，P与Q相遇．
56．综合与探究
如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足|a+4|+（c﹣12）2＝0，b＝2．
（1）a＝ ．
（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 表示的点重合．
（3）点P从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时点Q从点C处以2个单位长度/秒的速度先向左运动，在点Q到达点B后，再以原来的速度向右运动，设运动的时间为t（秒），当t为何值时，点P，Q之间的距离是点C，Q之间的距离的2倍？
57．点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c满足（b+12）2+|c﹣8|＝0，且a是绝对值最小的有理数．
（1）a值为 ，b的值为 ，c的值为 ；
（2）已知点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点B出发，以3个单位/秒的速度向右运动，点Q从点C出发，速度为2个单位/秒．
①若在点P出发的同时点Q向左运动，当点P和点Q在数轴上相遇时，求此时点P表示的数；
②若点P运动到AB中点处时，点Q再出发也向右运动，则P运动几秒时，PQ＝4．
58．如图，在4×4的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．
（1）图中正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？
（2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值，
（3）若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答：
①点P表示的数为多少？
②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2023重合？
59．【阅读】如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN＝n﹣m．
【应用】请用上面的知识解答下面的问题：
如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣16和6．
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点P，使得，求点P表示的数；
（3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP＝4OQ时的运动时间t的值．
60．如图，两摞规格完全相同的课本整齐叠放在讲台上．请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题：
（1）每本课本的厚度为 cm；
（2）若有一摞上述规格的课本x本，整齐叠放在讲台上，请用含x的代数式表示出这一摞数学课本的顶部距离地面的高度；
（3）当x＝56时，若从中取走14本，求余下的课本的顶部距离地面的高度．
